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22.3.2 实际问题与二次函数
导学案
学习目标：
1.熟练掌握利润问题之间的等量关系.
2.会建立利润与售价之间的函数表达式.
3.能够根据自变量的取值范围，结合函数的增减性确定利润的最大值.
学习重难点：
重点：利用二次函数求销售问题中的最大利润问题.
难点：根据实际问题建立数学模型.
一、复习回顾
利润问题的常见等量关系
利润=售价-_____，总利润=单件利润×______.
二、情境导入
我们常看到各种商店、超市，他们每天销售的商品的销售量与单价有一定关系吗？怎么定价能使才能使其利润最大呢？
三、知识讲解
1.销售中的最大最大利润
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件;每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大
调整价格包括涨价和降价两种情况.
(1)我们先来看涨价的情况.
设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化。
涨价x元时，则每星期少卖10x件商品，实际卖出(300-10x)件，
销售额为 (60+x) (300-10x)元，买进商品需付40(300- 10x)元，
因此，所得利润 y=(60+x)(300- 10x) -40(300- 10x),
化简得y=- 10x +100x+6000,其中，0≤x≤30.
∴当x===5时，y最大===6250，
即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元
(2)在降价的情况下，
降价x元时，每星期多卖20x件，实际卖出 (300+20x)件，
销售额为 (60-x) (300+20x)元，买进商品需付40(300+20x)元，
∴所得利润y=(60-x)(300+20x) -40(300+ 20x),
即y=- 20x +100x+6000,
根据顶点公式知
当x=2.5时，y最大=6125，
即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元.
综上所述，应定价65元时，才能使一星期的利润最大，最大利润6250元.
2.利用二次函数解决实际生活中的利润问题应注意几点
（1）一般运用“总利润=每件商品所获利润×销售件数”或“总利润=总售价一总成本”建立利润与销售单价之间的二次函数关系式，求其图象的顶点坐标,获取最值.
（2）现实生活中的许多最值问题都可通过建立二次函数的模型进行解决.
（3）实际问题中的最大利润未必是顶点的纵坐标，即顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据函数的性质去确定最大值.
四、例题精讲
例1服装厂生产某品牌的T恤衫,每件的成本10元,根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5000件,并且表示每件降价0.1元,愿意多经销500件,问厂家批发单价是多少时可以获得最大利润.
方法总结
利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般步骤：
（1）找出销售单价与利润之间的函数关系表达式（注明自变量的取值范围）；
（2）顶点横坐标在自变量的取值范围内时，求出函数图象的顶点坐标；顶点横坐标不在自变量取值范围根据函数性质判定最高（低）点；
（3）根据顶点坐标或最高（低）点求得其最值，即为“最大利润”.
变式训练：
一件工艺品的进价为100元，以标价135元出售,每天可售出100件根据销售统计,若-件工艺品每降价1元则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价( )
A.3.6元 B.5元 C.10元 D.12元
例2 一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件、今年计划通过通当增加成本率提高产品的档次，以拓展市场，若今年这种玩具每件的成本比去年每件的成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年每件的出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(0(1)用含x的代数式表示:今年生产的这种玩具每件的成本为______元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为________元.
(2)求今年这种玩具每件的利润y(元)与x之间的函数关系式:
(3)设今年这种玩具的年销售利润为W万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是多少万元
分析:由题意知今年这种玩具每件的成本是去年的(1+0.7x)倍，每件的出厂价是去年每件的出厂价的(1+0.5x)倍.今年的年销售量是去年年销售量的(1+x)倍.
方法总结
本题利用建模思想求解，由今年与去年这种玩具的成本价、出厂价、销售量的倍数关系可以得到今年这种玩具的成本价、出厂价、销售量的表达式，再由“总利润=每件商品所获利润×销售件数"可得二次函数的表达式，进面求出其最大值.
变式训练
某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40元至70元之间.市场调查发现:若每箱以50元销售,平均每天可销售90箱,价格每降低1元,平均每天多销售3箱,价格每升高l元,平均每天少销售3箱.
(1)写出平均每天销售量y(箱)与每箱售价x(元)之间的函数关系式.(注明范围)
(2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W(元),与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数关系式.(每箱的利润=售价-进价)
(3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标,并求当x=40,70时W的值.在给出的坐标系中画出函数图象的草图.
(4)由函数图象可以看出,当牛奶售价为多少时,平均每天的利润最大 最大利润为多少？
？
拓展探究
草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是与的函数关系图象。
（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；
（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为w元，求w的最大值.

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