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22.3.3 实际问题与二次函数
导学案
学习目标：
1.会根据实际问题建立适当的平面直角坐标系.
2.能把实际问题的数据转化为坐标中的点.
3.会用待定系数法求出抛物线的表达式.
4.能利用二次函数的性质分析解决问题.
学习重难点：
重点：建立适当的平面直角坐标系.
难点：能利用二次函数的性质分析解决问题.
一、复习回顾
我们学习了哪些二次函数的表达式？
二、情境导入
我们生活中有许多抛物线的模型问题，如抛(投)物体，拱桥等，你能用抛物线的有关性质解决这类生活中的一些实际问题吗？
三、知识讲解
1.实物模型判断问题
如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4m,水面下降1,m，水面宽度增加多少
解1：建立如图所示的直角坐标系，
设这条抛物线表示的二次函数为y=ax .
由抛物线经过点A(2，-2)，可得-2=2 a，
∴a=
∴这条抛物线表示的二次函数为y=
当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3.
根据上面的函数解析式求出这时横坐标x =,x =.
水面下降1米后的水面宽度为m
∴水面下降1m，水面宽度增加m.
解2：建立如图平面直角坐标系,
设抛物线的顶点式y=ax +2 ,
∵B点坐标(2 , 0) ,
代入抛物线解析式得出: a=-0.5 ,
∴抛物线解析式为y=-0.5x+2，
当水面下降1米,通过抛物线在图上的观察y=-1,
把y=-1代入抛物线解析式得出:-1=-0.5x +2 ,
解得:x=±
∴水面宽度增加到m，
比原先的宽度当然是增加了(-4)米.
2.实物模型中的判断问题的基本思路
（1）建立适当的平面直角系；
（2）把实际问题中的数据与点的坐标联系起来；
（3）用待定系数法求出抛物线的表达式；
（4）利用二次函数的图象及性质去分析解决问题.
3. 建立适当的平面直角系时，要遵循以下两个原则
（1）所建立的平面直角坐标系能使求出的二次函数的表达式比较简单；
（2）根据已知点所在的位置建立坐标系求函数表达式比较简单.
四、例题精讲
例1某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC,其横截面如图所示,在图中建立的直角坐标系中,抛物线的解析式为y=-x +c且过顶点C(0,5)(长度单位:m)
(1)直接写出c的值;
(2)现因搞庆典活动,计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯,地毯的价格为20元/m ,求购买地毯需多少元 .
分析:
(1)根据二次函数顶点坐标可直接写出c的值;
(2)根据解析式求出A,B,C三点坐标,求出地毯的总长度,再根据地毯的价格求出购买地毯需要的钱.
方法总结
利用二次函数解决抛物线型的隧道、拱门和大桥等实际应用问题时，首先要把这些实际问题中的相应数据正确地落实到平面直角坐标系中的抛物线上，求出抛物线的表达式，通过二次函数的性质来解决测量问题、最值问题等.
变式训练：
为欢迎中外游客来西藏旅游观光，拉萨市旅游局决定对拉贡公路段的噶拉山隧道进行美化施工，已知隧道的横截面为抛物线，其最大高度为7米，底部宽度OE为14米，如图以O点为原点，OE所在直线为x轴建立平面直角坐标系。
（1）写出顶点M的坐标，并求出抛物线的解析式。
（2）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使C，D点在抛物线上，A，B点在地面OE上，设长OA为x米，“脚手架”三根木杆AD，DC，CB的长度之和为l米，当x为何值时，l最大，最大值是多少。
例2 如图,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间满足函数关系y=at +5t+c,已知足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5.
(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高 最大高度是多少
(2)若足球飞行的水平距离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系x=10t,已知球门的高度为2.44m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28,他能否将球直接射入球门
分析:本题考查了待定系数法求二次函数的解析式,以及二次函数的应用,正确求得解析式是解题的关键.
(1)由题意得:函数y=at +5t+c的图象经过(0,0.5)、(0.8,3.5),于是得到,求得抛物线的解析式为:y=t +5t+,当t=时,y最大=;
(2)把x=28代入x=10t得t=2.8,当t=2.8时,y==×2.8 +5×2.8+=2.25＜2.44,于是得到他能将球直接射入球门.
方法总结
物体运动的路线是抛物线型时，求最高就是求抛物线顶点的纵坐标，求最远就是求抛物线与x轴的交点的横坐标.
变式训练
杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处,其身体(看成一点)的路线是抛物线y=- x +3x+1的一部分(如图).
(1)求演员弹跳离地面的最大高度.
(2)已知人梯高BC=3.4米,在一次表演中,人梯到起跳点A的水平距离是4米,问这次表演是否成功 请说明理由.
拓展探究
如图,足球场上守门员在O处开出一高球,球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上),运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约4米高,球落地后又一次弹起.据实验测算,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.
(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式;
(2)足球第一次落地点C距守门员多少米 (取4=7)
(3)运动员乙要抢到第二个落点D,他应再向前跑多少米 (取2=5)

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