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24.2.1 点与圆的位置关系
导学案
学习目标：
1.掌握点与圆心的距离与半径的关系.
2.掌握不在同一直线上的三点确定一个圆，并能作出这个圆.
3.掌握三角形的外接圆和三角形外心等概念.
4.了解反证法的概念和反证法的证明命题一般步骤.
学习重难点：
重点：圆的确定.
难点：反证法.
一、复习回顾
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________
直径所对的圆周角是__________.
圆内角四边形的对角__________.
二、情境导入
我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为我国赢得荣誉.下图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆(圆心相同、半径不等的圆)构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何
计算的吗？
三、知识讲解
1.点与圆的位置关系
我们知道，圆上所有的点到圆心的距离都等于半径.如图，设⊙O的半径为r，点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外.容易看出：
OAr.
反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，就可以判断点和圆的位置关系.
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
点P在圆外 d>r；
点P在圆上 d=r；
点P在圆内 d*圆的外部可以看成到圆心的距离大于半径的点的集合；圆的内部部可以看成到圆心的距离小于半径的点的集合.
*符号 读作“等价于”，它表示从符号 的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.
敲黑板划重点
(1)判断点与圆的位置关系的实质是判断点到圆心的距离和半径的大小关系；
(2)已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系，反过来，由点与圆的位置关系也可以确定该点到圆心的距离与半径的关系.
2.圆的确定
要作圆关键要确定圆心的位置和半径的大小.
(1)过一点A作圆
以A点以外任意一点为圆心，以这一点到点A的距离为半径，可作无数个圆.
（2）过两点A、B作圆
连接AB，做线段AB的垂直平分线，以其垂直平分线上任意一点为圆心，以该点到点A（或点B）的距离为半径，可作无数个圆.
（3）过不在同一直线上的三点A、B、C作圆
连接AB、BC，分别作线段AB、BC的垂直平分线l 、l ，l 与l 相交于点O，以点O为圆心，OA（或OB、OC）为半径，可作唯一个圆.
结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆.
注意：（1）结论中的“确定”是“有且只有”的意思；（2）不能忽略“不在同一直线上”这个前提条件.
3.三角形的外接圆
三角形的外接圆：过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形.
三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径.
三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心在三角形的斜边的中点；钝角三角形的外心在其三角形的外部.
三角形外接圆的作法
（1）作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；
（2）以交点为圆心，交点到三顶点中任意一点的距离为半径作圆.
4.反证法
经过同一直线上的三点能作一个圆吗？
如图，假设过同一直线l上的A、B、C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P.则点P既在线段AB的垂直平分线l 上，又在线段BC的垂直平分线l 上，即点P为l 与l 的交点，而l ⊥l，l ⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以，过同一直线上的三点不能作圆.
假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立.这种方法叫做反证法.
用反证法证明命题的一般步骤
（1）假设命题的结论不成立；
（2）从假设出发，经过推理论证，得出与定理、公理、定理或已知条件相矛盾的结论；
（3）由矛盾断定所作假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.
注意：（1）当原命题的反面不止一种情况时，需要考虑结论的反面的所以情况，并一一否定，才能得出原命题成立；（2）推论论证时，要把假设作为新增条件参与论证.
四、例题精讲
1.点与圆的位置关系
例1如图所示,已知矩形ABCD的边AB=3 cm,AD=4 cm.
(1)以点A为圆心,4 cm为半径作⊙A,则点B,C,D与⊙A 的位置关系如何
(2)若以点A为圆心作⊙A ,使B,C,D三点中至少有一个点在圆内,且至少有一点在圆外,则⊙A的半径r的取值范围是什么
方法总结
解决此类问题，关键在转化为点到圆心的距离与半径大小的关系.
变式训练
若点B（a，0）在以点A（1，0）为圆心，以2为半径的圆内，则a的取值范围为（ ）
A.-1＜a＜3 B.a＜3 C.a＞-1 D.a＞3或a＜-1
2.确定圆的条件
例2 一个破圆轮残片如图所示,现要修复该圆轮,怎样确定这个圆轮残片的圆心和半径 (写出找圆心和半径的步骤)
方法总结
确定圆心的方法：
（1）利用圆的对称性将圆对折，确定圆的两条直径，两直径的交点即为圆心；
（2）根据圆心在弦的垂直平分线上.
变式训练
等边三角形的边长为a，求这个等边三角形外接圆的面积.
3.反正法
例3如图,AB、CD是⊙O内非直径的两条弦,求证:AB与CD不能互相平分.
变式训练
用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是( )
A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆心上 D.点在圆上或圆内
深入探究
已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，弦CE⊥AB于点F，C是的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，BC于点P，Q，求证：点P是△ACQ的外心．
我的收获
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