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24.2.2 切线的判定与性质
导学案
学习目标：
1. 掌握切线的判定定理，能判断-条直线是否为圆的切线.
2. 掌握切线的性质定理，能用切线的性质解决相关问题.
学习重难点：
重点:探索圆的切线的判定和性质,并能运用它们解决与圆的切线相关的计算和证明等问题.
难点:探索圆的切线的判定方法和解决相关问题时怎样添加辅助线.
一、复习回顾
直线与圆的的位置有哪些？他们有哪些性质和判定方法？
二、情境导入
直线与圆相切是直线与圆的特殊关系，下面，我们来研究直线和圆相切的情况.
三、知识讲解
1.切线的判定
如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则围心O到直线l的距离是⊙O 的半径，直线l和⊙O相切吗？
切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
该判定定理两个条件:①经过半径的外端;②垂直于这条半径.
判断一条直线是圆的切线的方法:
定义法:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线;
数量关系法:到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;
判定定理法:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.切线的性质
将切线的判定定理反过来,如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA⊥直线l吗？
圆的切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.
3.切线的性质定理的推论:
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点;
(2)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
敲黑板划重点
(1)切线和圆只有一个公共点;
(2)圆心到切线的距离等于半径;
(3)切线垂直于过切点的半径;
(4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点;
(5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
四、例题精讲
1.证明直线是圆的切线
例1如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,D在AB的延长线上,且∠BCD=∠A.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,CD=4,求BD的长.
方法总结
证明圆的切线有两种方法：
(1)当直线与圆有明确的公共点时,应连接圆心和公共点，即得到“半径”,再证明“直线与半径垂直”,简称为“连半径，证垂直”;
(2)当直线与圆没有明确的公共点时，应过圆心作直线的垂线段,再证明“垂线段等于半径”,简称为“作垂直，证半径”.
变式训练
如图, △ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与⊙O相切于点D.
求证:AC是⊙O的切线.
2.切线的性质
例2 如图，AB为⊙O的直径, PQ切⊙O于T, AC⊥PQ于C,交⊙O于D.
求证:AT平分∠BAC;
方法总结
已知圆的切线时，常作过切点的半径，可得半径垂直于切线;或过圆心作切线的垂线，得垂足为切点.
变式训练
如图，AB与⊙O相切于点B,线段OA与弦BC垂直于点D,∠AOB=60°, BC=4 cm,则切线AB= cm.
深入探究
如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在⊙O上，∠CAB= 30°.
求证:DC是⊙O的切线.
我的收获
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