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24.2.2 切线长定理
导学案
学习目标：
1.理解切线长的概念.
2.掌握切线长定理,能用切线长定理进行有关计算和证明.
3.理解三角形的内切圆和三角形的内心的概念
学习重难点：
重点:切线长定理及其运用.
难点:切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题.
一、复习回顾
1.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.
二、情境导入
过圆外一点可以做几条切线，它们之间有什么关系？
三、知识讲解
1.切线长定理
⑴切线长的定义:经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长.如图中的线段PA、PB.
⑵切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
证明:如图，连接OA、0B.
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∠OAP=∠OBP.
∵OA=OB ，PO= PO，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
符号语言
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
敲黑板划重点
(1)如图是切线长定理的一个基本图形，还可以得到很多结论，如PO⊥AB，AC= BC，= ， OA⊥PA，OB⊥PB.∠AOB+∠APB= 180°，∠AOP=∠BOP，∠1=∠2=∠3=∠4等.
(2)利用切线长定理可以证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系等.
2.三角形内切圆
一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切
因为圆心到角两边的距离相等，所以圆心在角的平分线上，则圆心是两个内角的平分线的交点;
归纳
⑴三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形.
⑵三角形的内心：三角形内切圆的圆心，叫作三角形的内心.
⑶三角形内心的性质：到三角形三边距离相等，且等于内切圆的半径.
三角形的外心与内心有什么区别？
⑴概念
外心(三角形的外接圆圆心，即三角形三边垂直平分线的交点).
内心(三角形的内切圆圆心，即三角形三条角平分线的交点).
⑵性质
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.
三角形的内心到三角形三边的距离相等.
⑶位置
外心不一定在三角形的内部，内心一定在三角形的内部.
四、例题精讲
1.切线长定理的有关计算
例1如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9， BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的长.
方法总结
利用切线长定理进行几何计算时，要注意构成切线长定理的基本图形.作过切点的半径，连接圆外一点与圆心是常用的作辅助线的方法，由于切线长定理涉及的线段、角较多，因此熟记基本图形的相关结论是解题的关键，而三角形的有关性质在解决有关切线问题时，也起到了很好的辅助作用.
变式训练
如图，P是⊙O外一点PA、PB分别和相⊙O切于点A、B， C是劣弧AB上任意一点， 过C作⊙O切线DE，交PA、PB于点D、E，已知 PDE的周长为8cm， ∠DOE = 70°.
(1)求∠P的度数;
(2)求PA的长.
2. 切线长定理的证明
例2如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，BC为⊙O的直径，连接AB、AC、OP.求证：（1）∠APB=2∠ABC；（2）AC∥OP.
方法总结
在解决圆的多条切线问题时，一般要用到切线长定理和与切线长定理有关的结论，注意要分清各切线之间的关系.
变式训练
如图，AB是⊙O的直径，AD、BC、CD是⊙O的切线，切点分别是A、B、E；DO、AE相交于点F，CO、BE相交于点G.求证：
(1)CO⊥DO；
(2)四边形EFOG是矩形.
深入探究
如图，AB ， BC，CD分别与⊙O相切于点E、F、G，且AB// CD，BO=6， CO=8.
(1)判断△OBC的形状，并证明你的结论;
(2)求BC的长;
(3)求⊙O的半径OF的长.
我的收获
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