资源简介

24.4.1 弧长和扇形面积
导学案
学习目标：
1. 理解弧长的概念，理解弧长计算公式并会运用公式.
2. 理解扇形的概念，理解扇形面积公式并会运用公式.
3. 会用比例推导弧长和扇形的面积公式.
学习重难点：
重点:弧长和扇形面积公式的推导过程以及公式的应用.
难点: 公式的应用
一、情境导入
你会求圆的面积和周长吗？如果只有圆的一部分，它们的面积和周长又该怎么求呢？
二、知识讲解
1.弧长公式
观察特殊条件下的几个弧长的计算，有什么发现
已知半径为2,圆的周长是4π ;
当圆心角为180°时,弧长是 2π,弧为半圆;
当圆心角为360°时,弧长是4π,弧为圆周;
当圆心角为90°时,弧长是π， 弧为圆周的;
当圆心角为30°时,弧长是,弧为圆周的;
当圆心角为1°时,弧长是,弧为圆周的;
当圆心角为n°时,弧长是,弧为圆周的;
半径为r，360°的圆心角对应圆周长2πr,那么1°的圆心角所对的弧长=，n°的圆心角对的弧长是1°的圆心角所对的弧长的n倍.
n°的圆心角所对的弧长公式：l=.
注意：
(1)题目中若没有写明精确度，可用含π的代数式表示弧长,如弧长为3π,11π等.
(2)公式中的n和180表示倍数关系，没有单位.
⑶不要混淆弧长相等和弧相等，弧相等指两条弧全等，弧长相等指弧的长度相等.弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才是等弧.
2.扇形的面积
扇形：如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
类似地,推导出半径为r,圆心角为n°的扇形的面积.
因为圆的面积为πr
所以1°的圆心角对应的扇形面积为.
n°的圆心角对应的扇形面积为.
所以扇形的面积计算公式为：S扇形=
在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n°,半径r有关系,因此l和S扇形之间也有一定的关系,
列式表示为S扇形==××r=
3. 弓形面积
⑴弓形AMB的面积小于半圆面积
S弓形=S扇形OAB-S△OAB ;
⑵当弓形AMB的面积大于半圆面积
S弓形=S扇形OAB+S△OAB.
三、例题精讲
1.例用弧长公式计算
例1 制作弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料,试计算图中的管道的展直长度L(结果取整数).
方法总结
在弧长公式中的三个量：弧长、半径、圆心角的度数，根据弧长公式可以解决已知三个量中的两个量求第三个量.
变式训练
如图，△ABC是等边三角形，曲线CDEF叫作等边三角形的渐开线，其中，，的圆心依次是A，B，C，如果AB=1，计算曲线CDEF的长.
2.扇形的面积计算
例2 如图,AB为半圆O的直径,C为AO的中点,CD⊥AB交半圆于点D,以C为圆心,CD为半径画弧DE交AB于E点,若AB=8cm,求图中阴影部分的面积为(取准确值)
方法总结
求不规则图形的面积，应将不规则化为几个规则图形的面积的和差.
常用的方法：①作差法；②割补法；③拼凑法；④等积变形法；⑤迁移变换法；⑥化零为整法；⑦平移法等.
变式训练
将△ABC绕点B逆时针旋转到△A'BC'，使A、B、C'在同一直线上，若∠BCA= 90°,∠BAC=30，AB= 4cm，则图中阴影部分面积为________cm .
拓展探究
如图,等腰直角△ABC中,AB=AC=8,以AB为直径的半圆O交斜边BC于D,求阴影部分的面积为(结果保留π)
我的收获
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