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25.2.2 用列表法和画树状图法求概率
导学案
学习目标：
1.会用列表法计算概率.
2.会用画树状图法计算概率.
3.并通过比较概率大小作出合理的决策.
学习重难点：
会用列表法或画树状图法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策.
一、复习回顾
计算事件概率的公式：P（A）=.
二、情景引入
在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且结果较多时,用直接列举法(枚举法)很烦琐，有没有更好的方法呢
三、新课讲解
1.用列表法求概率
同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率:
(1)两枚骰子的点数相同;
(2)两枚骰子的点数和是9;
(3)至少有一枚骰子的点数为2.
当一次试验是掷两枚骰子时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
解:两枚骰子分别记为第1枚和第2枚,列表如下:
由表可知可能结果有36种,且它们出现的可能性相等.
(1)两枚骰子的点数相同(记为事件A)的结果有6种,即(1,1),(2,2) ,(3,3),(4,4) ,(5,5),(6,6),
所以P(A)==;
(2)两枚骰子点数的和是9(记为事件B)的结果有4种,即(6,3),(5,4),(4,5),(3,6),
所以P( B)==;
(3)至少有一枚骰子的点数为2(记为事件C)的结果有11种,即(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5)，(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2) ,
所以P(C)=
归纳
1.列表法就是用表格的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
2.适用条件:当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果,常采用列表法.
3.具体步骤:
(1)选其中的一次操作(或一个条件)为横行，另一次操作(或另一个条件)为竖列，列出表格;
(2)运用概率公式P（A）=计算概率.
注意：在运用列表法分析随机事件发生的概率时，注意行列中量的区别，如（1,2）与（2,1）表示不同结果.
2.用树状图法求概率
甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母A和B;乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C,D和E;丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I从三个口袋中各随机取出1个小球.
(1)取出的3个小球上恰好有1个,2个,3个元音字母的概率分别是多少
(2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少
（字母A,B,C,D,E,H,I中,A,E,I是元音字母,B,C,D,H是辅音字母.）
从三个口袋中各取1个小球,每个小球上的字母情况都能影响试验的结果,说明影响试验结果的因素有3个，所以采用画树状图法:
我们把甲口袋看成第一层,乙口袋看成第二层，丙口袋看成第三层画出树状图.
解:根据题意,可以画出树状图，如图，
由树状图可得所有等可能的结果共12种:ACH,ACI, ADH, ADI, AEH, AEI, BCH, BCI, BDH, BDI,BEH , BEI.
(1)只有1个元音字母(记为事件A)的结果有5种:ACH, ADH, BCI, BDI, BEH,
所以P(A)=；
有2个元音字母(记为事件B)的结果有4种:ACI,ADI, AEH,BEI ,
所以P(B)=；
全部为元音字母(记为事件C)的结果只有1种:AEI,
所以P(C)=.
(2)全是辅音字母(记为事件D)的结果有2种:BCH, BDH,
所以P(D)=.
你能用列表法解上面问题吗？
归纳
1.画树状图法是用树状图的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
2.适用条件:当一次试验涉及两个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有等可能的结果，通常采用画树状图法.
3.运用画树状图法求概率的步骤如下:
(1)画树状图;
(2)列出结果，确定公式P(A)=中m和n的值;
(3)利用公式P(A)=计算事件的概率.
敲黑板划重点
(1)用列举法求事件的概率包括直接列举法、列表法和画树状图法，用列举法求概率时，各种结果出现的可能性必须相同，必须列举出所有可能的结果，不能重复也不能遗漏.
(2)当试验包含两步时，用列表法比较方便，当然此时也可以用画树状图法;当试验包含三步或三步以上时，不能用列表法,用画树状图法比较方便.
(3)树状图中,从左到右(或从上往下)，每一条路径都表示一种可能的结果，并且每种结果出现的可能性相同.
四、例题精讲
1.用表格法求概率
例1五张形状、大小、背面完全相同的卡片上分别标有数字-3,-1,0,1,2, 将卡片洗匀后背面朝上放在桌面上，从中任意抽取两张,求所抽卡片上的数字的积是正数的概率.
解：
解题通法
用列表法求概率
当试验含有两个因素，且可能出现的结果比较多时，用直接列举法易出错，为了不重不漏地列出所有可能的结果，用列表法较好.
用列表法求概率的步骤:
(1)列表，即通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和关注的结果数m;
(2)利用概率公式P(A)=计算出事件的概率.
变式训练：
利用如图，所示的两个转盘玩配紫色游戏(红色和蓝色可以配成紫色),两个转盘各转一次,则指针所指区域可以配成紫色的概率为多少
解：
2.用画树状图法求概率
例2 A,B,C三人玩篮球传球游戏,游戏规则是:第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人,以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人.
(1)求两次传球后,球恰在B手中的概率;
(2)求三次传球后,球恰在A手中的概率.
解:
解题通法
用画树状图法求概率
当试验有三步时,适合采用画树状图的方法列举出所有可能的结果.
用画树状图法求概率的步骤:
(1)将第一步可能出现的a种等可能的结果写在第一层;
(2)若第二步有b种等可能的结果，则在第一层的每个结果下画出b个分支，将这b种结果写在第二层，以此类推，画出第三层;
(3)根据树状图求出所关注事件包含的结果数及所有等可能的结果数，再利用概率公式求解.
变式训练
小红上学要经过三个十字路口,每个路口遇到红绿灯的可能性都相等,小红希望上学时经过每个路口都是绿灯,此事件发生的概率是( ).
A. B. C. D.
分析：根据题意可画出如图所示的树形图.
由图可知所有可能出现的结果共有8种,
三个路口都是绿灯的结果只有1种,
故所求概率为 .故选B.
深入探究
图①是一电路AB的开关控制示意图,任意闭合两个开关，可能会使电路形成通路.
(1)补全如图②所示的树状图;
(2)求使电路形成通路的概率.
解：
我的收获
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