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动能定理
【知识方法】
1．对动能定理的理解
(1)动能定理表达式W＝ΔEk中，W表示所有外力做功的代数和。ΔEk为所研究过程的末动能与初动能之差，且物体的速度均是相对地面的速度。
(2)适用范围：直线、曲线、恒力、变力、单个物体、系统等均适用。
(3)如果在某个运动过程中包含有几个不同运动性质的阶段如加速、减速阶段，可以分段应用动能定理，也可以对全程应用动能定理，一般对全程列式更简单.
(4)因为动能定理中功和动能均与参考系的选取有关，所以动能定理也与参考系的选取有关.在中学物理中一般取地面为参考系.
2.抓好“一个过程、两个状态、四个关注”
(1)一个过程：明确研究过程，确定这一过程研究对象的受力情况和位置变化或位移信息。
(2)两个状态：明确研究对象的始、末状态的速度或动能情况，。
(3)四个关注
①建立运动模型，判断物体做了哪些运动。
②分析各个运动过程中物体的受力和运动情况。
③抓住运动模型之间的联系纽带，如速度、加速度、位移，确定初、末状态。
④根据实际情况分阶段或整个过程利用动能定理列式计算。
【考点例题】
【例题1】（2022·安徽）如图所示，竖直平面内一半径为R的半圆型轨道，两边端点等高，一个质量为m的质点从左端点由静止开始下滑，滑到最低点时对轨道压力为2mg，g为重力加速度，则此下滑过程克服摩擦力做的功是
A． B．
C． D．
【例题2】（2020·湖北）滑雪是冬奥会的比赛项目之一。如图所示，某运动员（可视为质点）从雪坡上先后以初速度之比vl：v2=3：4沿水平方向飞出，不计空气阻力，则运动员从飞出到落到雪坡上的整个过程中（ ）
A．运动员先后在空中飞行的时间相同
B．运动员先后落在雪坡上的速度方向不同
C．运动员先后落在雪坡上动量的变化量之比为3:4
D．运动员先后落在雪坡上动能的增加量之比为1:1
【例题3】（2022·全国）如图所示，水平轨道AB的距离L＝8m，质量m＝2kg、可视为质点的玩具车从A点以额定功率P＝10W启动，车在AB段运动时的阻力恒为f＝2N。当车由轨道边缘B点飞出后，恰能沿竖直光滑圆弧轨道CDE（D点为圆弧轨道的最低点）上C点的切线方向飞入圆弧轨道，且此时的速度大小为vC＝6m/s，∠COD＝60°，并从轨道边缘E点竖直向上飞出后上升的最大高度h＝0. 8m。不计空气阻力，g取10m/s2，则
A．玩具车运动到B点时的速度大小为m/s
B．玩具车发动机在水平轨道上工作的时间为0. 9s
C．圆弧轨道的半径为2m
D．玩具车对圆弧轨道的最大压力大小为56N
【例题4】（多选）（2020·全国）“雪如意”，北京2022年冬奥会的首座跳台滑雪场地，其主体建筑设计灵感来自于中国传统饰物“如意”。“雪如意”内的部分赛道可简化为由倾角为、高为h的斜坡雪道的顶端由静止开始下滑，到达底端后以不变的速率进入水平雪道，然后又在水平雪道上滑行s后停止。已知运动员与雪道间的动摩擦因数处处相同，不考虑空气阻力，则和运动员在斜坡雪道上克服摩擦力做的功W分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题5】（多选）（2020·全国）某人身系弹性绳自高空P点自由下落，图中a点是弹性绳的原长位置，c是人所到达的最低点，b是人静止地悬吊着时的平衡位置．不计空气阻力，则下列说法中正确的是(　　)
A．从P至c过程中重力的冲量大于弹性绳弹力的冲量
B．从P至c过程中重力所做功等于人克服弹力所做的功
C．从P至b过程中人的速度不断增大
D．从a至c过程中加速度方向保持不变
【例题6】（多选）（2022·云南）如图所示，光滑轨道ABCD是大型游乐设施过山车轨道的简化模型，最低点B处的进、出口靠近但相互错开，C是半径为R的圆形轨道的最高点，BD部分水平，末端D点与右端足够长的水平传送带无缝连接，传送带以恒定速度v逆时针转动。现将一质量为m的小滑块从轨道AB上某一固定位置A由静止释放，滑块能通过C点后再经D点滑上传送带，则（ ）
A．滑块过C点的最小速度为0
B．固定位置A到B点的竖直高度可能为2R
C．滑块可能重新回到出发点A处
D．传送带速度v越大，滑块与传送带摩擦产生的热量越多
【例题7】（多选）（2022·云南）如图所示，将一物体放在弹簧上，物体静止在A位置，用手把物体压至B位置，弹簧在弹性限度内，物体和弹簧不粘连。松手后，物体竖直向上运动到最高点的过程中，以下说法正确的是
A．物体到最高点的加速度一定为g
B．物体从B位置向上第一次运动到A位置的过程中，弹簧弹性势能与物体重力势能之和先减小后增加
C．物体从B位置向上运动的过程中，物体的机械能可能随高度的增加而增加
D．手把物体从A位置压到B位置，手对物体做的功等于物体回到A位置时具有的动能
【例题8】（多选）（2020·定远）如图所示，一弹性轻绳(绳的弹力与其伸长量成正比)左端固定，在A点弹性绳自然长度等于AB，跨过由轻杆OB固定的定滑轮连接一个质量为m的小球，小球穿过竖直固定的杆。初始时ABC在一条水平线上，小球从C点由静止释放滑到E点时速度恰好为零。已知C、E两点间距离为h，D为CE的中点，小球在C点时弹性绳的拉力为，小球与杆之间的动摩擦因数为0.5，弹性绳始终处在弹性限度内。下列说法正确的是
A．小球在D点时速度最大
B．若在E点给小球一个向上的速度v，小球恰好能回到C点，则v=
C．小球在CD阶段损失的机械能等于小球在DE阶段损失的机械能
D．若仅把小球质量变为2m，则小球到达E点时的速度大小v=
【例题9】（2022·山阳）游乐场中有各种各样的玩具车如图，其中有一种玩具车的运动情况可以简化为如下模型：如图所示，轨道ABCD位于竖直平面内，水平轨道AB与过山圆弧轨道相切于B点；C与圆心O等高；质量m＝50kg的小车（可视为质点）静止在水平轨道上的点A；己知A点与B点相距L＝40m，竖直圆轨道的半径R＝10m，圆弧光滑；小车在水平轨道AB间运动时受到的阻力恒为其重力的0.3倍。其它摩擦与空气阻力均忽略不计，重力加速度为g＝10m/s2。若小车用自带的电动机提供动力，电动机输出功率恒为P0＝5kW。试求：
（1）若小车刚好能到达C点，求小车经过最低点B时对轨道的压力；
（2）若小车在某一时刻关闭发动机，要使小车都不脱离轨道，则发动机工作时间的取值范围如何。
【例题10】（2020·全国）竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块B静止于水平轨道的最左端，如图（a）所示．t=0时刻，小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与B发生弹性碰撞（碰撞时间极短）；当A返回到倾斜轨道上的P点（图中未标出）时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止．物块A运动的v-t图像如图（b）所示，图中的v1和t1均为未知量．已知A的质量为m，初始时A与B的高度差为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力．
（1）求物块B的质量；
（2）在图（b）所描述的整个运动过程中，求物块A克服摩擦力所做的功；
（3）已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等，在物块B停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，然后将A从P点释放，一段时间后A刚好能与B再次碰上．求改变前面动摩擦因数的比值．
【参考答案】
【例题1】【答案】B
【解析】质点经过Q点时，由重力和轨道的支持力提供向心力，
由牛顿第二定律得：， 可得：vQ2=gR，
质点自P滑到Q的过程中，由动能定理得：mgR-Wf=-0 ，
则克服摩擦力所做的功为：Wf=．
【例题2】【答案】C
【解析】A．根据x=vt，，则
两次的初速度不同，则时间不同，选项A错误；
B．速度方向与水平方向的夹角
可知.运动员先后落在雪坡上的速度方向相同，选项B错误；
C．根据动量定理
则运动员先后落在雪坡上动量的变化量之比为3:4，选项C正确；
D．根据动能定理：
则运动员先后落在雪坡上动能的增加量之比为9:16，选项D错误；
【例题3】【答案】C
【解析】A．玩具车运动到B点时的速度
代入数据解得 ,选项A错误；
B．从A到B的运动过程中有牵引力和阻力做功，根据动能定理有
代入数据解得t=2. 5s,选项B错误；
CD．从C点运动到最大高度过程中，只有重力做功，所以机械能守恒，有
圆弧轨道的半径R=2m
玩具车到达D点时对轨道的压力最大，玩具车在D点速度为vD，从C到D过程中机械能守恒有
代入数据得玩具车对轨道的最大压力N,选项C正确，D错误.
【例题4】【答案】BC
【解析】AB. 对整个过程，由动能定理得： 解得： A错误B正确。
CD. 再对整个过程，根据动能定理得 解得，运动员在斜坡雪道上克服摩擦力做的功 ，C正确D错误。
【例题5】【答案】BC
【解析】从P到c过程，根据动量定理，有PG-PF=0故重力的冲量等于拉力的冲量，故A错误；从P到c过程，根据动能定理，有WG-WF=0故重力的功等于克服弹力的功，故B正确；从P到a的过程中人做自由落体运动，速度增大；从a到b过程中，弹力小于重力，加速度向下，则人的速度不断增大，选项C正确；从a到b过程人做加速运动，加速度向下；从b到c过程中，弹力大于重力，加速度向上，做减速运动，则从a到c过程中加速度方向要变化，选项D错误；故选BC.
【例题6】【答案】CD
【解析】A．若滑块恰能通过点时，有：
得：,则滑块过点的最小速度为，A错误；
B．由到根据机械能守恒定律知：
联立解得到点的竖直高度最小值：,B错误；
C．若滑块从传送带上返回到点速度大小不变，则滑块可重新回到出发点点，C正确；
D．滑块与传送带摩擦产生的热量：
是滑块与传送带间的相对路程，传送带速度越大，相同的时间内产生的相对路程越大，产生热量越多，D正确。
【例题7】【答案】CD
【解析】A、物体释放后在弹簧弹力和重力的作用下，先向上做加速度减小的变加速直线运动，后向上做加速度增大的变减速直线运动，若最高点已经和弹簧分离，则物体只受重力而加速度为重力加速度为g，若最高点没有和弹簧分离，则加速度小于重力加速度；故A错误.
B、物体从B到A的过程，A点为重力等于弹力的位置，是运动中加速度为零而速度最大的位置；物体和弹簧的系统机械能守恒，，因动能一直增大到最大，则弹簧弹性势能与物体重力势能之和一直减小；B错误.
C、物体上升的过程中，因弹性势能随形变量的减小而逐渐变小，则物体的机械能随形变量的减小而增大，即弹性势能转化为物体的机械能；而物体和弹簧分离后物体的机械能不变；故C正确.
D、物体从A位置到B再回到A的位置，重力做功和弹簧弹力做功为零，对此过程由动能定理可知；故D正确.
【例题8】【答案】AB
【解析】A：当小球运动到某点P点，弹性绳的伸长量是，小球受到如图所示的四个力作用，其中，将正交分解，则、，的竖直分量。据牛顿第二定律得：，解得：，即小球的加速度先随下降的距离均匀减小到零，再随下降的距离反向均匀增大。据运动的对称性可知，小球运动到CE的中点D点时，加速度为零，速度最大。故A项正确。
B：对小球从C运动到E过程，应用动能定理得：；若小球恰能从E点回到C点，应用动能定理得：；联立解得：、。故B项正确。
C：小球在全程所受摩擦力大小不变，小球在CD段所受弹力竖直分量较小；则小球在CD段时摩擦力和弹力做的负功比小球在DE段时摩擦力和弹力做的负功少，小球在CD阶段损失的机械能小于小球在DE阶段损失的机械能。故C项错误。
D：若仅把小球质量变为2m，对小球从C运动到E过程，应用动能定理得：，解得：小球到达E点时的速度大小。故D项错误。
【例题9】
【答案】（1）1500N，方向竖直向下；3000N，方向竖直向下（2）t1≤2.2s；t2≥3.7s
【解析】（1）情形1：小车没有通过C点，根据全过程动能定理可得，小车发动机工作时间满足：
解得
情形1：小车通过D点，根据全过程动能定理可得，小车发动机工作时间满足：
解得
（2）由于情形1：小车发动机工作时间取最大值时，小车刚好到达C点返回，到达B点速度大小满足：
解得
小车到达B点圆形轨道支持力满足：
解得：
根据牛顿第三定律可得小车对圆形轨道的压力为1500N，方向竖直向下；
对情形2：小车发动机工作时间取最小值时，到达B点速度大小满足：
解得
小车到达B点圆形轨道支持力满足：
解得：
根据牛顿第三定律可得小车对圆形轨道的压力为3000N，方向竖直向下；
【例题10】【答案】（1）3m （2） （3）
【解析】（1）物块A和物块B发生碰撞后一瞬间的速度分别为、，弹性碰撞瞬间，动量守恒，机械能守恒，即：
联立方程解得：；
根据v-t图象可知，,解得：
（2）设斜面的倾角为，根据牛顿第二定律得
当物块A沿斜面下滑时：，由v-t图象知：
当物体A沿斜面上滑时：，由v-t图象知：
解得：；
又因下滑位移
则碰后A反弹，沿斜面上滑的最大位移为：
其中为P点离水平面得高度，即
解得
故在图（b）描述的整个过程中，物块A克服摩擦力做的总功为：
（3）设物块B在水平面上最远的滑行距离为，设原来的摩擦因为为
则以A和B组成的系统，根据能量守恒定律有：
设改变后的摩擦因数为，然后将A从P点释放，A恰好能与B再次碰上，即A恰好滑到物块B位置时，速度减为零，以A为研究对象，根据能量守恒定律得：
又据（2）的结论可知：，得：
联立解得，改变前与改变后的摩擦因素之比为：．

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