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气体实验定律
——高考一轮备考
【知识方法】
1．理想气体是指严格遵守气体实验定律的气体
(1)理想气体是一种经科学地抽象而建立的理想化模型，实际上不存在．理想气体分子之间不存在相互作用力，分子间没有分子势能，气体的内能只与温度有关．
(2)实际气体特别是那些不易液化的气体在压强不太大、温度不太低时都可当作理想气体来处理．
2．气体的三个实验定律
(1)等温变化：pV＝C或p1V1＝p2V2；(玻意耳定律)
(2)等容变化：＝C或＝；(查理定律)
(3)等压变化：＝C或＝；(盖—吕萨克定律)
(4)理想气体状态方程：＝C或＝或＋＝。
气体的三个实验定律都是理想气体状态方程的特例
3．外界对气体做功的计算
(1)气体等压变化中，对外做功大小为W＝pΔV。
(2)非等压变化可用p V图象中图线与坐标V轴包围的面积表示功，也可用W＝pΔV定性分析。
4.气体实验定律的解题方法
(1)选对象：根据题意，选出所研究的那一部分气体，这部分气体在状态变化过程中，其质量必须保持一定.
(2)找参量：找出作为研究对象的这部分气体发生状态变化前后的一组p、V、T数值或表达式.压强的确定往往是个关键，常需结合力学知识 如力的平衡条件或牛顿运动定律 才能写出表达式.
(3)认过程：过程表示两个状态之间的一种变化方式，除题中条件已直接指明外，在许多情况下，往往需要通过对研究对象跟周围环境的相互关系的分析才能确定.认清变化过程是正确选用物理规律的前提.
(4)列方程：根据研究对象状态变化的具体方式，选用气体状态方程或某一实验定律，代入具体数值，求出结果，最后分析讨论所得结果的合理性及其物理意义.
【考点例题】
【例题1】(2022·开封)如图所示，开口向上的汽缸C静置于水平桌面上，用一横截面积S＝50 cm2的轻质活塞封闭了一定质量的理想气体，一轻绳一端系在活塞上，另一端跨过两个定滑轮连着一劲度系数k＝2 800 N/m的竖直轻弹簧A，A下端系有一质量m＝14 kg的物块B。开始时，缸内气体的温度t1＝27 ℃，活塞到缸底的距离L1＝120 cm，弹簧恰好处于原长状态。已知外界大气压强恒为p0＝1.0×105 Pa，取重力加速度g＝10 m/s2，不计一切摩擦。现使缸内气体缓慢冷却，求：
(1)当B刚要离开桌面时汽缸内封闭气体的温度(用摄氏温度表示)；
(2)气体的温度冷却到－93 ℃时，B离桌面的高度H。
【例题2】(2022·河北)如图所示，一开口向上的汽缸固定在水平地面上，质量均为m、横截面积均为S的活塞A、B将缸内气体分成Ⅰ、Ⅱ两部分。在活塞A的上方放置一质量为2m的物块，整个装置处于平衡状态，此时Ⅰ、Ⅱ两部分气体的长度均为l0。已知大气压强与活塞质量的关系为p0＝，气体可视为理想气体且温度始终保持不变，不计一切摩擦，汽缸足够高。现将活塞A上面的物块取走，试求重新达到平衡状态后，A活塞上升的高度。
【例题3】（2020·兴城市）一种测量稀薄气体压强的仪器如图（a）所示，玻璃泡M的上端和下端分别连通两竖直玻璃细管和。长为，顶端封闭，上端与待测气体连通；M下端经橡皮软管与充有水银的容器R连通。开始测量时，M与相通；逐渐提升R直到中水银面与顶端等高，此时水银已进入，且中水银面比顶端低，如图（b）所示。设测量过程中温度、与相通的待测气体的压强均保持不变。已知和的内径均为，M的容积为，水银的密度为，重力加速度大小为。求：
(i)待测气体的压强
(ii)该仪器能够测量的最大压强
【例题4】（2020·贵州）如图，粗细均匀的弯曲玻璃管A、B两端开口，管内有一段水银柱，中管内水银面与管口A之间气体柱长为lA＝40 cm，右管内气体柱长为lB＝39 cm．先将开口B封闭，再将左管竖直插入水银槽中，设被封闭的气体为理想气体，整个过程温度不变，若稳定后进入左管的水银面比水银槽水银面低4 cm，已知大气压强p0＝76 cmHg，求：
①A端上方气柱长度；
②稳定后右管内的气体压强．
【例题5】（2020·山东）如图甲所示，水平放置的汽缸内壁光滑，活塞的厚度不计，在A、B两处设有限制装置，使活塞只能在A、B之间运动，A左侧汽缸的容积为V0，A、B之间容积为0.1V0，开始时活塞在A处，缸内气体压强为0.9p0（p0为大气压强），温度为297K，现通过对气体缓慢加热使活塞恰好移动到B，求：
(1)活塞移动到B时，缸内气体温度TB；
(2)在图乙中画出整个过程的p-V图线。
【例题6】如图所示，两个侧壁绝热、顶部和底部都导热的相同汽缸直立放置，汽缸底部和顶部均有细管连通，顶部的细管带有阀门K。两汽缸的容积均为V0，汽缸中各有一个绝热活塞(质量不同，厚度可忽略)。开始时K关闭，两活塞下方和右活塞上方充有气体(可视为理想气体)，压强分别为p0和；左活塞在汽缸正中间，其上方为真空；右活塞上方气体体积为。现使汽缸底与一恒温热源接触，平衡后左活塞升至汽缸顶部，且与顶部刚好没有接触；然后打开K，经过一段时间，重新达到平衡。已知外界温度为T0，不计活塞与汽缸壁间的摩擦。求：
(1)恒温热源的温度T；
(2)重新达到平衡后左汽缸中活塞上方气体的体积Vx。
【参考答案】
【例题1】【答案】　(1)－66 ℃　(2)15 cm
【解析】　(1)B刚要离开桌面时弹簧拉力为kx1＝mg，
由活塞受力平衡得p2S＝p0S－kx1，
根据理想气体状态方程有＝
代入数据解得T2＝207 K
当B刚要离开桌面时缸内气体的温度t2＝－66 ℃。
(2)由(1)得x1＝5 cm，当温度降至－66 ℃之后，若继续降温，则缸内气体的压强不变，
根据盖－吕萨克定律，
有＝
代入数据解得H＝15 cm。
【例题2】【答案】0.9l0
【解析】对Ⅰ部分气体，其初态压强p1＝p0＋，
末态压强为p′1＝p0＋
设末态时Ⅰ部分气体的长度为l1，
则由玻意耳定律可得p1l0S＝p1′l1S
解得l1＝l0
对Ⅱ部分气体，其初态压强为p2＝p0＋，末态压强为p′2＝p0＋
设末态时Ⅱ部分气体的长度为l2，则由玻意耳定律可得p2l0S＝p′2l2S
代入数据解得l2＝l0
故活塞A上升的高度为Δh＝l1＋l2－2l0＝0.9l0。
【例题3】【答案】(i)(ii)
【解析】(i)中气体等温变化。初态为
末态为
由等温变化有
解得
(ii)气体等温变化。初态为
末态为
有，解得
【例题4】【答案】①38cm；②78cmHg
【解析】①稳定后进入左管的水银面比水银槽水银面低4cm，则A管内气体的压强为PA1=(76+4) cmHg
由公式：P0VA0=PA1VA1，
代入数据得：LA1=38cm
②设右管水银面上升h，则右管内气柱长度为lB-h，气体的压强为；
由玻意尔定律得：
解得：h=1cm
所以右管内气体压强为
【例题5】【答案】(1)363K；(2)
【解析】
(1)活塞离开A处前缸内气体发生等容变化，初态
，
末态
根据查理定律得
代入数据解得，活塞刚离开A处时的温度
活塞由A移动到B的过程中，缸内气体作等压变化，由气态方程得
代入数据解得
(2)P V图线如图。
【例题6】【答案】(1)T0　(2)V0
(1)与恒温热源接触后，在K未打开时，右活塞不动，两活塞下方的气体经历等压过程，
由盖—吕萨克定律得＝ ①
解得T＝T0。 ②
(2)由初始状态的力学平衡条件可知，左活塞的质量比右活塞的大。打开K后，右活塞必须升至汽缸顶才能满足力学平衡条件。
汽缸顶部与外界接触，底部与恒温热源接触，两部分气体各自经历等温过程，设在活塞上方气体压强为p，
由玻意耳定律得pVx＝· ③对下方气体由玻意耳定律得
(p＋p0)(2V0－Vx)＝p0· ④
联立③④式得 6V－V0Vx－V＝0
解得Vx＝，Vx＝－(不合题意，舍去)。机械振动和机械波
——高考一轮备考
【知识方法】
1．知识体系
波的传播
(1)沿波的传播方向上各质点的起振方向与波源的起振方向一致。
(2)介质中各质点随波振动，但并不随波迁移。
(3)沿波的传播方向上波每个周期传播一个波长的距离。
(4)在波的传播过程中，同一时刻如果一个质点处于波峰，而另一质点处于波谷，则这两个质点一定是反相点。
3.判断波的传播方向和质点振动方向的方法　
方法 图象
①微平 移法 沿波的传播方向将波的图象进行一微小平移，然后由两条波形曲线来判断 例如：波沿x轴正方向传播，t时刻波形曲线如图中实线所示．将其沿v的方向移动一微小距离Δx，获得如图中虚线所示的图线可以判定：t时刻质点A振动方向向下，质点B振动方向向上，质点C振动方向向下
②“上、下坡”法 沿着波的传播方向看，上坡的点向下振动，下坡的点向上振动，即“上坡下、下坡上”．例如：图中A点向上振动，B点向下振动，C点向上振动
③同侧法 质点的振动方向与波的传播方向在波的图象的同一侧．如图所示
4．波的叠加问题
(1)两个振动情况相同的波源形成的波，在空间某点振动加强的条件为Δx＝nλ，振动减弱的条件为Δx＝nλ＋。两个振动情况相反的波源形成的波，在空间某点振动加强的条件为Δx＝nλ＋，振动减弱的条件为Δx＝nλ。
(2)振动加强点的位移随时间而改变，振幅最大。
5．波的多解问题
由于波的周期性、波传播方向的双向性，波的传播问题易出现多解现象。
【考点例题】
【例题1】（2022 泸县）关于机械振动，下列说法正确的是（　）
A．某两种机械波发生干涉时，振动加强点的位移始终处于最大
B．机械波从一种介质进入另一种介质时，波长和波速都发生变化，但频率不会发生变化
C．只有波长比障碍物的尺寸小的时候才会发生明显的衍射现象 D．向人体内发射频率已知得超声波被血管中血液反射后又被仪器接收，测出反射波的频率就能知道血流的速度，这种方法利用了多普勒效应
E．波传播方向上各质点与振源振动周期相同，是因为各质点的振动均可看做在其相邻的前一质点驱动力作用下的受迫振动
【例题2】（2020 绵阳）如图所示为一列沿x轴正方向传播的简谐横波t＝ls时刻波形图，该时刻M点开始振动，再过1.5s，N点开始振动。下列判断正确的是（　　）
A．波的传播速度4m/s
B．质点M的振动方程y＝0.5sin（2πt）
C．质点M、N相位相差是π
D．t＝0.5s时刻，x＝1.0m处质点在波峰
E．t＝2.5s时刻，质点M．N与各自平衡位置的距离相等
【例题3】（2020 齐齐哈尔）图示为振幅、频率相同的两列横波相遇时形成的干涉图样，实线与虚线分别表示的是波峰和波谷，图示时刻，M是波峰和波峰的相遇点．已知两列波的振幅均为A．下列说法中正确的是（　　）
A．图示时刻位于M处的质点正向波传播的方向移动
B．P处的质点始终处在平衡位置
C．从图示时刻开始起经过四分之一周期，P处的质点将处于波谷位置
D．从图示时刻开始起经过四分之一周期，M处的质点到达平衡位置
E．M处的质点为振幅加强点，其振幅为2A
【例题4】（2020 广州）用单摆测定重力加速度g的实验。如图，甲、乙、丙分别是三位同学做出的单摆周期平方与摆长的T2﹣L图线。其中甲、乙平行，乙、丙均过原点，根据乙求出的g值接近当地重力加速度的值，则下列分析正确的是 （　　）
A．根据甲求出的g值大于根据乙求出的g值
B．根据丙求出的g值大于根据乙求出的g值
C．根据T2﹣L图线，可以由g求出g的值
D．甲不过原点的原因可能是误将悬点到摆球上端的距离记为摆长L
E．丙偏离乙的原因可能是记录时误将摆球经过平衡位置的次数当成全振动的次数
【例题5】关于机械振动和机械波，下列说法正确的是（　　）
A．共振是受迫振动的一种特殊情况
B．机械波传播过程中，介质中的单个质点的能量是守恒的
C．当障碍物的尺寸比波长大很多时，就不能观察到明显的波的衍射现象
D．如图所示，频率恒定的声源按路线a→b→c→d→a逆时针做匀速圆周运动，观察者在圆心不动，则观察者接收到的声波频率始终与声源频率相同
E．同一机械波在不同介质中传播时，频率往往不同
【例题6】（2020 肥东）如图所示，实线是沿x轴传播的一列简谐横波在t＝0时刻的波形图，虚线是这列波在t＝0.2s时刻的波形图，已知该波的波速是0.8m/s，则下列说法中正确的是（　　）
A．这列波的波长是 14cm
B．这列波的周期是 0.15s
C．这列波一定沿 x 轴负方向传播
D．从 t＝0 时刻开始，x＝5cm 处的质点经 0.1s 振动到波峰
E．每经过 0.15s 介质中的质点就沿 x 轴移动 12cm
【例题7】（2020 天山）如图甲为一列简谐横波在t＝0时刻的波形图，图乙为介质中平衡位置在x＝2m处的质点P以此时刻为计时起点的振动图象。下列说法正确的是（　　）
A．这列波的波长是4 m
B．这列波的传播速度是20 m/s
C．经过0.15 s，质点P沿x轴的正方向传播了3 m
D．t＝0.1 s时，质点Q的运动方向沿y轴正方向
E．t＝0.35 s时，质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离
【例题8】（2020 浑江）小王在实验室做单摆实验时得到如图甲所示的单摆振动情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的左右最远位置，此时的摆动角度为θ，小王通过实验测得当地重力加速度为g＝10m/s2，并且根据实验情况绘制了单摆的振动图象如图乙所示，设图中单摆向右摆动为正方向。求：
（i）单摆的振幅、摆长约为多少；
（ii）估算单摆振动时最大速度v。（可能用到的公式1﹣cosθ＝2sin2）（计算结果均保留三位有效数字）
【例题9】（2022 临武）如图（a），一列简谐横波沿x轴传播，实线和虚线分别为t1＝0时刻和t2时刻的波形图，P、Q分别是平衡位置为x1＝l.0m和x2＝4.0m的两质点。图（b）为质点Q的振动图象，求：
（i）波的传播速度和t2的大小；
（ii）质点P的位移随时间变化的关系式。
【例题10】（2022 四川）如图所示，一列简谐横波沿x轴负方向传播，在t1＝0时刻波形如图中的实线所示，t2＝0.5s时刻的波形如图中虚线所示，若该列波的周期T＞0.5s，试求：
①该列波的波长、周期T和波速v；
②x轴上质点P在t＝0时刻的运动方向和t＝3.0s内通过的路程。
【参考答案】
【例题1】【答案】BDE
【解析】A、两列机械波发生干涉时，振动加强点的振幅增大，但位移并不是始终处于最大，故A错误；
B、机械波从一种介质进入另一种介质时频率不变；波在不同的介质中的传播速度不同，由v＝λf可知，波长也会发生变化，故B正确；
C、只有波长比障碍物的尺寸大或相差不多的时候才会发生明显的衍射现象，故C错误；
D、向人体发射频率已知的超声波，超声波被血管中的血流反射后又被仪器接收，测出反射波的频率变化就能知道血流的速度，这种方法的原理是“多普勒效应”，故D正确；
E、根据机械波传播的特点可知，波传播方向上各质点与振源振动周期相同，是因为各质点的振动均可看做在其相邻的前一质点驱动力作用下的受迫振动。故E正确；
【例题2】【答案】ACE
【解析】A、质点M和N相距6m，波的传播时间为1.5s，则波速v4m/s，故A正确。
B、波长λ＝4m，根据波长、波速和周期的关系可知，T1s，圆频率2π rad/s，质点M起振方向向上，t＝1s时开始振动，则质点M的振动方程为y＝0.5sin（2πt﹣2π），故B错误。
C、相隔半波长奇数倍的两个质点，相位相差为π，质点M、N相隔1.5λ，故相位相差π，故C正确。
D、t＝0.5s＝0.5T，波传播到x＝4.0m处，此时x＝1.0m处质点处于波谷，故D错误。
E、t＝2.5s＝2.5T，N点开始振动，质点M、N相隔1.5λ，振动情况完全相反，故质点M．N与各自平衡位置的距离相等，E正确。
【例题3】【答案】BDE
【解析】A、振动的质点只是在各自的平衡位置附近振动，不会“随波逐流”，故A错误；
BC、P点是波谷和波峰叠加，位移始终为零，即处于平衡位置，故B正确；
D、从该时刻起，经过四分之一周期，质点M到达平衡位置，故D正确；
E、由图知M点是波峰和波峰叠加，是振动加强点，其振幅为2A，故E正确；
【例题4】【答案】BDE
【解析】AB、根据单摆的周期公式T＝2π得：T2，根据数学知识可知，T2﹣L图象的斜率k，当地的重力加速度为：g
由于甲乙平行即斜率k相等，所以甲求出的g值等于根据乙求出的g值，由于丙的斜率小于乙的斜率，则根据丙求出的g值大于根据乙求出的g值，故A错误，B正确；
C、根据单摆的周期公式T＝2π得：，则重力加速度，故C错误；
D、对于甲，若测量摆长时忘了加上摆球的半径，则摆长变成摆线的长度L，则有：T2，
根据数学知识可知，对T2﹣L图象来说，T2，乙线T2斜率相等，两者应该平行，是截距，
故做出的T2﹣L图象中甲线的原因可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长L．故D正确；
E、实验中误将摆球经过平衡位置的次数当成全振动的次数，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，图线的斜率k偏小，故E正确；
【例题5】【答案】ACD
【解析】A、共振是受迫振动时，外加频率和固有频率接近时，振幅增大的一种现象，故A正确；
B、机械波传播过程，能量随波的传播而传播；由介质中的单个质点的速度变化可得到其能量随振动做周期性变化，故B错误；
C、波的衍射现象发生在障碍物的尺寸与波长接近时，当障碍物的尺寸比波长大很多时，观测到的是直线传播，故C正确；
D、观察者在圆心不动，那么，观察者和声源的距离不变，故观察者接收到的声波频率始终与声源频率相同，故D正确；
E、同一机械波在不同介质中传播时，周期不变，但是传播速度不同，故波长不同，故E错误；
【例题6】【答案】BCD
【解析】A、从图中可以看出波长为：λ＝12cm，故A错误；
B、已知波速为：v＝0.8m/s，由v，得周期为：Ts＝0.15s，故B正确；
C、因为 t＝0.2sT，因每经过一个周期波动图象重复一次，所以只要看经过的振动情况即可，由波形平移法知，该波一定沿x轴负方向传播，故C正确；
D、从t＝0时刻开始经0.1s波向左传播的距离为：x＝vt＝0.1×0.8＝0.08m＝8cm
根据波形的平移法知，t＝0时刻x＝13cm处的波峰传到x＝5cm处，所以从t＝0时刻开始，x＝5cm处的质点经0.1s振动到波峰，故D正确；
E、简谐横波向前传播的过程中介质中质点只在自己的平衡位置附近上下振动，并不向前移动。故E错误。
【例题7】【答案】ABE
【解析】A、由甲图知：这列波的波长 λ＝4m，故A正确。
B、由乙图读出，该波的周期 T＝0.2s，则波速为 v20 m/s，故B正确。
C、由乙图读出，t＝0时刻质点的速度向下，则由波形的平移法可知，这列波沿x轴正方向传播。简谐横波传播过程中，质点只在自己平衡位置附近上下振动，并不随波向前传播，故C错误。
D、图示时刻Q点沿y轴正方向运动，t＝0.1s，质点Q的运动方向沿y轴负方向。故D错误。
E、t＝0.35s＝1.75T，经过0.35 s时，质点P到达波峰，而质点Q位于平衡位置与波谷之间，故质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离。故E正确。
【例题8】【答案】（i）单摆的振幅为5cm，摆长约为1.01m；
（ii）估算单摆振动时最大速度为0.157m/s。
【解析】（i）根据图乙中单摆的振动图象可知，单摆的振幅：A＝5cm
单摆振动的周期：T＝2s
根据单摆的周期公式：T＝2π
可得：lm≈1.01m
（ii）对摆球从B到O的过程运用动能定理可得：mgl（1﹣cosθ）①
又因为：1﹣cosθ＝2sin2②
由于θ角很小，近似有：sin③
联立①②③式可得：vA0.157m/s
【例题9】【答案】（1）0.2n+0.05s（n＝0、1、2…）；
（2）y＝10sin（10πt） cm。
【解析】（1）由图（a）知波长λ＝8m ①
由图（b）知质点的振动周期为T＝0.2s ②
根据波速和波长、周期关系有v ③
结合图（a）（b）可知，横波沿正X方向传播，故从t1＝0至t2＝△t时刻有nλ+2＝v△t④
联立上式解得v＝40m/s
t2＝△t＝0.2n+0.05s（n＝0、1、2…）
（2）质点P作简谐运动的位移表达式为y＝Asin（ t+φ）⑤
由图（a）知A＝10cm，t＝0时y＝5cm且向y轴负方向运动，代入上式解得
y＝10sin（10πt） cm
【例题10】【答案】①该列波的波长是8m、周期T是2s，波速v是4m/s；②在x轴上质点P在t＝0时刻的运动方向向下，t＝3.0s内通过的路程是30cm。
【解析】①由图知，该列波的波长 λ＝8m
因T＞0.5s，则波在0.5s内传播的距离小于一个波长，根据波形平移法知：0.5s
得：T＝2s
故波速为：v4m/s；
②简谐横波沿x轴负方向传播，根据波形平移法知在x轴上质点P在t＝0时刻的运动方向向下。
因t＝3.0s＝1.5T，所以质点P在t＝3.0s内通过的路程为：S＝1.5×4A＝6×5cm＝30cm

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