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2023年九年级数学下册锐角三角函数同步讲义（人教版）
专题07 利用方位角、坡度角解直角三角形
学习目标
1. 正确理解方向角、坡度的概念。
2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力。
对知识点的解读
1.方位角
指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角。
2.解与坡度有关的问题
（1）坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
（2）坡度 (或坡比)
如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i， 即 i = h : l .
坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6.
（3）坡度与坡角的关系。即坡度等于坡角的正切值.
3．应用本专题的知识，可以解决：
(1)测量物体高度．
(2)有关航行问题．
(3)计算坝体或边路的坡度等问题．
解题思维方法
测底部不可到达物体的高度．如图，
在Rt△ABP中，
BP=xcotα
在Rt△AQB中，
BQ=xcotβ
BQ—BP=a，
即xcotβ-xcotα=a．
类型题例题解析
【例题1】（2022安徽）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：，，．
【例题2】如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．(i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)
(1)求点B距水平面AE的高度BH；
(2)求广告牌CD的高度．
(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732)
【例题3】如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．
（1）填空：∠BAC＝　　度，∠C＝　　度；
（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）．
【例题4】（2022山东烟台）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1）
（参考数据表）
计算器按键顺序 计算结果（已精确到0.001）
11.310
0.003
14.744
0.005
专题达标训练
1. （2022山东烟台）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（　　）
A. 北偏东70° B. 北偏东75° C. 南偏西70° D. 南偏西20°
2. （2022湖北宜昌）如图，岛在A岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的大小是_____．
3. （2022湖南株洲）如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段至山谷点处，再从点处沿线段至山坡②的山顶点处．如图2所示，将直线视为水平面，山坡①的坡角，其高度为0.6千米，山坡②的坡度，于，且千米．
（1）求的度数；
（2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程．
4．一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（　　）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
5．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．，斜坡长，斜坡的坡比为12∶5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿至少向右移________时，才能确保山体不滑坡．（取）
6．如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是________．（结果保留一位小数，）
7.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01 n mile）？
8.如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
9.如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多
少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？
10.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：
(1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)；
(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m).
11．如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛的点处，它沿着点的南偏东的方向航行．（1）渔船航行多远距离小岛最近(结果保留根号)？（2）渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行到点处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)？
12．（2020 陕西）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023年九年级数学下册锐角三角函数同步讲义（人教版）
专题07 利用方位角、坡度角解直角三角形
学习目标
1. 正确理解方向角、坡度的概念。
2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力。
对知识点的解读
1.方位角
指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角。
2.解与坡度有关的问题
（1）坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
（2）坡度 (或坡比)
如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i， 即 i = h : l .
坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6.
（3）坡度与坡角的关系。即坡度等于坡角的正切值.
3．应用本专题的知识，可以解决：
(1)测量物体高度．
(2)有关航行问题．
(3)计算坝体或边路的坡度等问题．
解题思维方法
测底部不可到达物体的高度．如图，
在Rt△ABP中，
BP=xcotα
在Rt△AQB中，
BQ=xcotβ
BQ—BP=a，
即xcotβ-xcotα=a．
类型题例题解析
【例题1】（2022安徽）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：，，．
【答案】96米
【解析】【分析】根据题意可得是直角三角形，解可求出AC的长，再证明是直角三角形，求出BC的长，根据AB=AC-BC可得结论．
【详解】∵A，B均在C的北偏东37°方向上，A在D的正北方向，且点D在点C的正东方，
∴是直角三角形，
∴，
∴∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°，
在Rt△ACD中，，CD=90米，
∴米，
∵，
∴
∴，
∴ 即是直角三角形，
∴，
∴米，
∴米，
答：A，B两点间的距离为96米．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题．
【例题2】如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．(i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)
(1)求点B距水平面AE的高度BH；
(2)求广告牌CD的高度．
(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732)
【答案】见解析。
【解析】(1)如图，过B作BG⊥DE于G，
在Rt△ABF中，
∵i=tan∠BAH==，
∴∠BAH=30.
∴BH=AB=5；
(2)由(1)得：BH=5，AH=5，
∴BG=AH+AE=5+15.
在Rt△BGC中，
∵∠CBG=45， ∴CG=BG=5+15．
在Rt△ADE中，
∵∠DAE=60°，AE=15，∴DE=AE=15．
∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5-15=20-10≈2.7m．
答：宣传牌CD高约2.7米．
【例题3】如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．
（1）填空：∠BAC＝　　度，∠C＝　　度；
（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）．
【答案】见解析。
【解析】（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°；
故答案为：30，45；
（2）∵BP⊥AC，
∴∠BPA＝∠BPC＝90°，
∵∠C＝45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BP＝PC，
∵∠BAC＝30°，
∴PA＝BP，
∵PA+PC＝AC，
∴BP+BP＝10，
解得：BP＝5﹣5，
答：观测站B到AC的距离BP为（5﹣5）海里．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键．
【例题4】（2022山东烟台）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1）
（参考数据表）
计算器按键顺序 计算结果（已精确到0.001）
11.310
0.003
14.744
0.005
【答案】不得小于11度
【解析】【分析】根据题意可得DF＝AB＝0.15米，然后根据斜坡AC的坡比为1：2，可求出BC，CD的长，从而求出EB的长，最后在Rt△AEB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】如图：
由题意得：
DF＝AB＝0.15（米），
∵斜坡AC的坡比为1：2，
∴＝，＝，
∴BC＝2AB＝1.5（米），CD＝2DF＝0.3（米），
∵ED＝2.55米，
∴EB＝ED+BC﹣CD＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米），
在Rt△AEB中，tan∠AEB＝＝＝，
查表可得，∠AEB≈11.310°≈11°，
∴为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于11度．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握坡比是解题的关键．
专题达标训练
1. （2022山东烟台）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（　　）
A. 北偏东70° B. 北偏东75° C. 南偏西70° D. 南偏西20°
【答案】A
【解析】根据题意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝75°，从而求出∠BAC的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB＝∠ABE＝40°，从而求出∠DAC的度数，即可解答．
如图：由题意得：
∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB＝∠ABE＝40°，
∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，
∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70°．
．
【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
2. （2022湖北宜昌）如图，岛在A岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的大小是_____．
【答案】或者85度
【解析】过作交于，根据方位角的定义，结合平行线性质即可求解．
岛在A岛的北偏东方向，
，
岛在岛的北偏西方向，
，
过作交于，如图所示：
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度，理解方位角的定义，并熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
3. （2022湖南株洲）如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段至山谷点处，再从点处沿线段至山坡②的山顶点处．如图2所示，将直线视为水平面，山坡①的坡角，其高度为0.6千米，山坡②的坡度，于，且千米．
（1）求的度数；
（2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程．
【答案】（1）105° （2）
【解析】【分析】（1）根据山坡②的坡度，可求，即可求解；
（2）由余弦值和正弦值分别求出BC、AC即可求解；
【详解】(1)解：∵山坡②的坡度，
∴，
∴，
∵，
∴，
(2)∵，，
∴，
∴千米，
∵，，
∴，
∴，
∴该登山运动爱好者走过的路程．．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的综合应用，掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键．
4．一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（　　）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
【答案】C
【解析】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C＝∠CAB＝42°，根据等角对等边得出BC＝AB，求出AB即可．如图．
根据题意得：∠CBD＝84°，∠CAB＝42°，
∴∠C＝∠CBD﹣∠CAB＝42°＝∠CAB，
∴BC＝AB，
∵AB＝15×2＝30，
∴BC＝30，
即海岛B到灯塔C的距离是30海里．
5．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．，斜坡长，斜坡的坡比为12∶5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿至少向右移________时，才能确保山体不滑坡．（取）
【答案】10
【解析】如图，设点B沿BC向右移动至点H，使得∠HAD=50°，过点H作HF⊥AD于点F，
∵AB=26，斜坡的坡比为12∶5，则设BE=12a，AE=5a，
∴，解得：a=2，∴BE=24，AE=10，∴HF=BE=24，
∵∠HAF=50°，则，解得：AF=20，∴BH=EF=20-10=10，
故坡顶B沿至少向右移10时，才能确保山体不滑坡．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是________．（结果保留一位小数，）
【答案】20.8
【解析】证明△ABP是等腰三角形，过P作PD⊥AB，从而求得PD的长即可．
过P作PD⊥AB于D，∵AB=24，
∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°，∴∠BPD=30°，
∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB，∴AB=BP=24，
在直角△PBD中，PD=BP sin∠PBD=24×=≈20.8.故答案为：20.8.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出垂线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关键．
7.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01 n mile）？
【答案】130
【解析】如图 ，在Rt△APC中，
PC=PA·cos（90°－65°）
=80×cos25°
≈80×0.91
=72.505.
在Rt△BPC中，∠B=34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130n mile．
8.如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
【答案】见解析。
【解析】过A作AF⊥BC于点F，则AF的长是A到BC的最短距离.
∵BD∥CE∥AF，
∴∠DBA=∠BAF=60°，∠ACE=∠CAF=30°，
∴∠BAC=∠BAF－∠CAF=60°－30°=30°.
又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA
= 90°－60°=30°=∠BAC，
∴BC=AC=12海里，
∴AF=AC · cos30°=6 (海里)，
6≈10.392＞8，
故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
9.如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多
少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？
【答案】见解析。
【解析】用α表示坡角的大小，由题意可得
因此 α≈26.57°.
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，
从而 BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m．
10.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：
(1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)；
(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m).
【答案】见解析。
【解析】（1）斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4，
由计算器可算得α≈22°.
故斜坡CD的坡角α 为22°.
（2）分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、 F，由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m.
在Rt△ABE中
在Rt△DCF中，同理可得
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.
11．如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛的点处，它沿着点的南偏东的方向航行．（1）渔船航行多远距离小岛最近(结果保留根号)？（2）渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行到点处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)？
【答案】（1）；（2）南偏东；
【解析】（1）过点作的垂线交于点，
∵垂线段最短，上的点距离点最近，即为所求，由题意可知：∠BAF=30°，∠CAF=15°，
∴，
∴渔船航行时，距离小岛最近．
（2）在中，，∠DBC=60°，
∵∠ABD=45°，∠ABE=90°-30°=60°，∴，
.答：从处沿南偏东出发，最短行程.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
12．（2020 陕西）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．
【答案】见解析。
【分析】过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，可得四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，可以证明△BFN≌△CEM，得NF＝EM＝49，进而可得商业大厦的高MN．
【解析】如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，
∴∠CEF＝∠BFE＝90°，
∵CA⊥AM，NM⊥AM，
∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，
∴CE＝BF，ME＝AC，
∠1＝∠2，
∴△BFN≌△CEM（ASA），
∴NF＝EM＝31+18＝49，
由矩形性质可知：EF＝CB＝18，
∴MN＝NF+EM﹣EF＝49+49﹣18＝80（m）．
答：商业大厦的高MN为80m．
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