专题07 利用方位角、坡度角解直角三角形 同步讲义(原卷版+解析版)

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2023年九年级数学下册锐角三角函数同步讲义(人教版)
专题07 利用方位角、坡度角解直角三角形
学习目标
1. 正确理解方向角、坡度的概念。
2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题;能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识,进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力。
对知识点的解读
1.方位角
指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角。
2.解与坡度有关的问题
(1)坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作 α .
(2)坡度 (或坡比)
如图所示,坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比),记作i, 即 i = h : l .
坡度通常写成 1∶m的形式,如i=1∶6.
(3)坡度与坡角的关系。即坡度等于坡角的正切值.
3.应用本专题的知识,可以解决:
(1)测量物体高度.
(2)有关航行问题.
(3)计算坝体或边路的坡度等问题.
解题思维方法
测底部不可到达物体的高度.如图,
在Rt△ABP中,
BP=xcotα
在Rt△AQB中,
BQ=xcotβ
BQ—BP=a,
即xcotβ-xcotα=a.
类型题例题解析
【例题1】(2022安徽)如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,测得A,B均在C的北偏东37°方向上,沿正东方向行走90米至观测点D,测得A在D的正北方向,B在D的北偏西53°方向上.求A,B两点间的距离.参考数据:,,.
【例题2】如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°,已知山坡AB的坡度i=1:,AB=10米,AE=15米.(i=1:是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)
(1)求点B距水平面AE的高度BH;
(2)求广告牌CD的高度.
(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米.参考数据:≈1.414,≈1.732)
【例题3】如图是某区域的平面示意图,码头A在观测站B的正东方向,码头A的北偏西60°方向上有一小岛C,小岛C在观测站B的北偏西15°方向上,码头A到小岛C的距离AC为10海里.
(1)填空:∠BAC=  度,∠C=  度;
(2)求观测站B到AC的距离BP(结果保留根号).
【例题4】(2022山东烟台)如图,某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道.已知楼梯共有五级均匀分布的台阶,高AB=0.75m,斜坡AC的坡比为1:2,将要铺设的通道前方有一井盖,井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED=2.55m.为防止通道遮盖井盖,所铺设通道的坡角不得小于多少度?(结果精确到1)
(参考数据表)
计算器按键顺序 计算结果(已精确到0.001)
11.310
0.003
14.744
0.005
专题达标训练
1. (2022山东烟台)如图,某海域中有A,B,C三个小岛,其中A在B的南偏西40°方向,C在B的南偏东35°方向,且B,C到A的距离相等,则小岛C相对于小岛A的方向是(  )
A. 北偏东70° B. 北偏东75° C. 南偏西70° D. 南偏西20°
2. (2022湖北宜昌)如图,岛在A岛的北偏东方向,岛在岛的北偏西方向,则的大小是_____.
3. (2022湖南株洲)如图1所示,某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段至山谷点处,再从点处沿线段至山坡②的山顶点处.如图2所示,将直线视为水平面,山坡①的坡角,其高度为0.6千米,山坡②的坡度,于,且千米.
(1)求的度数;
(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.
4.一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,2小时后到达海岛B处.灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上,在海岛B的北偏西84°方向上.则海岛B到灯塔C的距离是(  )
A.15海里 B.20海里 C.30海里 D.60海里
5.如图,某校教学楼后面紧邻着一个山坡,坡上面是一块平地.,斜坡长,斜坡的坡比为12∶5.为了减缓坡面,防止山体滑坡,学校决定对该斜坡进行改造.经地质人员勘测,当坡角不超过50°时,可确保山体不滑坡.如果改造时保持坡脚A不动,则坡顶B沿至少向右移________时,才能确保山体不滑坡.(取)
6.如图,海上有一灯塔P,位于小岛A北偏东60°方向上,一艘轮船从北小岛A出发,由西向东航行到达B处,这时测得灯塔P在北偏东30°方向上,如果轮船不改变航向继续向东航行,当轮船到达灯塔P的正南方,此时轮船与灯塔P的距离是________.(结果保留一位小数,)
7.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80 n mile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01 n mile)?
8.如图,海岛A的周围8海里内有暗礁,鱼船跟踪鱼群由西向东航行,在点B处测得海岛A位于北偏东60°,航行12海里到达点C处,又测得海岛A位于北偏东30°,如果鱼船不改变航向继续向东航行.有没有触礁的危险?
9.如图,一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发, 沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多
少度?小刚上升了多少米(角度精确到0.01°,长度精确到0.1m)?
10.水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求:
(1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°);
(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m).
11.如图,一艘渔船位于小岛的北偏东方向,距离小岛的点处,它沿着点的南偏东的方向航行.(1)渔船航行多远距离小岛最近(结果保留根号)?(2)渔船到达距离小岛最近点后,按原航向继续航行到点处时突然发生事故,渔船马上向小岛上的救援队求救,问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短,最短航程是多少(结果保留根号)?
12.(2020 陕西)如图所示,小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元,他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN.他俩在小明家的窗台B处,测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数,由于楼下植物的遮挡,不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数.于是,他俩上楼来到小华家,在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数,竟然发现∠1与∠2恰好相等.已知A,B,C三点共线,CA⊥AM,NM⊥AM,AB=31m,BC=18m,试求商业大厦的高MN.
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2023年九年级数学下册锐角三角函数同步讲义(人教版)
专题07 利用方位角、坡度角解直角三角形
学习目标
1. 正确理解方向角、坡度的概念。
2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题;能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识,进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力。
对知识点的解读
1.方位角
指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角。
2.解与坡度有关的问题
(1)坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作 α .
(2)坡度 (或坡比)
如图所示,坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比),记作i, 即 i = h : l .
坡度通常写成 1∶m的形式,如i=1∶6.
(3)坡度与坡角的关系。即坡度等于坡角的正切值.
3.应用本专题的知识,可以解决:
(1)测量物体高度.
(2)有关航行问题.
(3)计算坝体或边路的坡度等问题.
解题思维方法
测底部不可到达物体的高度.如图,
在Rt△ABP中,
BP=xcotα
在Rt△AQB中,
BQ=xcotβ
BQ—BP=a,
即xcotβ-xcotα=a.
类型题例题解析
【例题1】(2022安徽)如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,测得A,B均在C的北偏东37°方向上,沿正东方向行走90米至观测点D,测得A在D的正北方向,B在D的北偏西53°方向上.求A,B两点间的距离.参考数据:,,.
【答案】96米
【解析】【分析】根据题意可得是直角三角形,解可求出AC的长,再证明是直角三角形,求出BC的长,根据AB=AC-BC可得结论.
【详解】∵A,B均在C的北偏东37°方向上,A在D的正北方向,且点D在点C的正东方,
∴是直角三角形,
∴,
∴∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°,
在Rt△ACD中,,CD=90米,
∴米,
∵,

∴,
∴ 即是直角三角形,
∴,
∴米,
∴米,
答:A,B两点间的距离为96米.
【点睛】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题的应用,解一般三角形,求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题.
【例题2】如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°,已知山坡AB的坡度i=1:,AB=10米,AE=15米.(i=1:是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)
(1)求点B距水平面AE的高度BH;
(2)求广告牌CD的高度.
(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米.参考数据:≈1.414,≈1.732)
【答案】见解析。
【解析】(1)如图,过B作BG⊥DE于G,
在Rt△ABF中,
∵i=tan∠BAH==,
∴∠BAH=30.
∴BH=AB=5;
(2)由(1)得:BH=5,AH=5,
∴BG=AH+AE=5+15.
在Rt△BGC中,
∵∠CBG=45, ∴CG=BG=5+15.
在Rt△ADE中,
∵∠DAE=60°,AE=15,∴DE=AE=15.
∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5-15=20-10≈2.7m.
答:宣传牌CD高约2.7米.
【例题3】如图是某区域的平面示意图,码头A在观测站B的正东方向,码头A的北偏西60°方向上有一小岛C,小岛C在观测站B的北偏西15°方向上,码头A到小岛C的距离AC为10海里.
(1)填空:∠BAC=  度,∠C=  度;
(2)求观测站B到AC的距离BP(结果保留根号).
【答案】见解析。
【解析】(1)由题意得:∠BAC=90°﹣60°=30°,∠ABC=90°+15°=105°,
∴∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°;
故答案为:30,45;
(2)∵BP⊥AC,
∴∠BPA=∠BPC=90°,
∵∠C=45°,
∴△BCP是等腰直角三角形,
∴BP=PC,
∵∠BAC=30°,
∴PA=BP,
∵PA+PC=AC,
∴BP+BP=10,
解得:BP=5﹣5,
答:观测站B到AC的距离BP为(5﹣5)海里.
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,通过解直角三角形得出方程是解题的关键.
【例题4】(2022山东烟台)如图,某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道.已知楼梯共有五级均匀分布的台阶,高AB=0.75m,斜坡AC的坡比为1:2,将要铺设的通道前方有一井盖,井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED=2.55m.为防止通道遮盖井盖,所铺设通道的坡角不得小于多少度?(结果精确到1)
(参考数据表)
计算器按键顺序 计算结果(已精确到0.001)
11.310
0.003
14.744
0.005
【答案】不得小于11度
【解析】【分析】根据题意可得DF=AB=0.15米,然后根据斜坡AC的坡比为1:2,可求出BC,CD的长,从而求出EB的长,最后在Rt△AEB中,利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.
【详解】如图:
由题意得:
DF=AB=0.15(米),
∵斜坡AC的坡比为1:2,
∴=,=,
∴BC=2AB=1.5(米),CD=2DF=0.3(米),
∵ED=2.55米,
∴EB=ED+BC﹣CD=2.55+1.5﹣0.3=3.75(米),
在Rt△AEB中,tan∠AEB===,
查表可得,∠AEB≈11.310°≈11°,
∴为防止通道遮盖井盖,所铺设通道的坡角不得小于11度.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,熟练掌握坡比是解题的关键.
专题达标训练
1. (2022山东烟台)如图,某海域中有A,B,C三个小岛,其中A在B的南偏西40°方向,C在B的南偏东35°方向,且B,C到A的距离相等,则小岛C相对于小岛A的方向是(  )
A. 北偏东70° B. 北偏东75° C. 南偏西70° D. 南偏西20°
【答案】A
【解析】根据题意可得∠ABC=75°,AD∥BE,AB=AC,再根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C=75°,从而求出∠BAC的度数,然后利用平行线的性质可得∠DAB=∠ABE=40°,从而求出∠DAC的度数,即可解答.
如图:由题意得:
∠ABC=∠ABE+∠CBE=40°+35°=75°,AD∥BE,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=75°,
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠C=30°,
∵AD∥BE,
∴∠DAB=∠ABE=40°,
∴∠DAC=∠DAB+∠BAC=40°+30°=70°,
∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70°.

【点睛】本题考查了方向角,等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
2. (2022湖北宜昌)如图,岛在A岛的北偏东方向,岛在岛的北偏西方向,则的大小是_____.
【答案】或者85度
【解析】过作交于,根据方位角的定义,结合平行线性质即可求解.
岛在A岛的北偏东方向,

岛在岛的北偏西方向,

过作交于,如图所示:



故答案为:.
【点睛】本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度,理解方位角的定义,并熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键.
3. (2022湖南株洲)如图1所示,某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段至山谷点处,再从点处沿线段至山坡②的山顶点处.如图2所示,将直线视为水平面,山坡①的坡角,其高度为0.6千米,山坡②的坡度,于,且千米.
(1)求的度数;
(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.
【答案】(1)105° (2)
【解析】【分析】(1)根据山坡②的坡度,可求,即可求解;
(2)由余弦值和正弦值分别求出BC、AC即可求解;
【详解】(1)解:∵山坡②的坡度,
∴,
∴,
∵,
∴,
(2)∵,,
∴,
∴千米,
∵,,
∴,
∴,
∴该登山运动爱好者走过的路程..
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的综合应用,掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键.
4.一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,2小时后到达海岛B处.灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上,在海岛B的北偏西84°方向上.则海岛B到灯塔C的距离是(  )
A.15海里 B.20海里 C.30海里 D.60海里
【答案】C
【解析】根据题意画出图形,根据三角形外角性质求出∠C=∠CAB=42°,根据等角对等边得出BC=AB,求出AB即可.如图.
根据题意得:∠CBD=84°,∠CAB=42°,
∴∠C=∠CBD﹣∠CAB=42°=∠CAB,
∴BC=AB,
∵AB=15×2=30,
∴BC=30,
即海岛B到灯塔C的距离是30海里.
5.如图,某校教学楼后面紧邻着一个山坡,坡上面是一块平地.,斜坡长,斜坡的坡比为12∶5.为了减缓坡面,防止山体滑坡,学校决定对该斜坡进行改造.经地质人员勘测,当坡角不超过50°时,可确保山体不滑坡.如果改造时保持坡脚A不动,则坡顶B沿至少向右移________时,才能确保山体不滑坡.(取)
【答案】10
【解析】如图,设点B沿BC向右移动至点H,使得∠HAD=50°,过点H作HF⊥AD于点F,
∵AB=26,斜坡的坡比为12∶5,则设BE=12a,AE=5a,
∴,解得:a=2,∴BE=24,AE=10,∴HF=BE=24,
∵∠HAF=50°,则,解得:AF=20,∴BH=EF=20-10=10,
故坡顶B沿至少向右移10时,才能确保山体不滑坡.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题,掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
6.如图,海上有一灯塔P,位于小岛A北偏东60°方向上,一艘轮船从北小岛A出发,由西向东航行到达B处,这时测得灯塔P在北偏东30°方向上,如果轮船不改变航向继续向东航行,当轮船到达灯塔P的正南方,此时轮船与灯塔P的距离是________.(结果保留一位小数,)
【答案】20.8
【解析】证明△ABP是等腰三角形,过P作PD⊥AB,从而求得PD的长即可.
过P作PD⊥AB于D,∵AB=24,
∵∠PAB=90°-60°=30°,∠PBD=90°-30°=60°,∴∠BPD=30°,
∴∠APB=30°,即∠PAB=∠APB,∴AB=BP=24,
在直角△PBD中,PD=BP sin∠PBD=24×=≈20.8.故答案为:20.8.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,正确作出垂线,转化为直角三角形的计算是解决本题的关键.
7.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80 n mile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01 n mile)?
【答案】130
【解析】如图 ,在Rt△APC中,
PC=PA·cos(90°-65°)
=80×cos25°
≈80×0.91
=72.505.
在Rt△BPC中,∠B=34°,
因此,当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时,它距离灯塔P大约130n mile.
8.如图,海岛A的周围8海里内有暗礁,鱼船跟踪鱼群由西向东航行,在点B处测得海岛A位于北偏东60°,航行12海里到达点C处,又测得海岛A位于北偏东30°,如果鱼船不改变航向继续向东航行.有没有触礁的危险?
【答案】见解析。
【解析】过A作AF⊥BC于点F,则AF的长是A到BC的最短距离.
∵BD∥CE∥AF,
∴∠DBA=∠BAF=60°,∠ACE=∠CAF=30°,
∴∠BAC=∠BAF-∠CAF=60°-30°=30°.
又∵∠ABC =∠DBF-∠DBA
= 90°-60°=30°=∠BAC,
∴BC=AC=12海里,
∴AF=AC · cos30°=6 (海里),
6≈10.392>8,
故渔船继续向正东方向行驶,没有触礁的危险.
9.如图,一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发, 沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多
少度?小刚上升了多少米(角度精确到0.01°,长度精确到0.1m)?
【答案】见解析。
【解析】用α表示坡角的大小,由题意可得
因此 α≈26.57°.
在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=26.57°,AC=240m,
从而 BC=240×sin26.57°≈107.3(m).
答:这座山坡的坡角约为26.57°,小刚上升了约107.3 m.
10.水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求:
(1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°);
(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m).
【答案】见解析。
【解析】(1)斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4,
由计算器可算得α≈22°.
故斜坡CD的坡角α 为22°.
(2)分别过点B、C作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为点E、 F,由题意可知BE=CF=23m , EF=BC=6m.
在Rt△ABE中
在Rt△DCF中,同理可得
在Rt△ABE中,由勾股定理可得
故坝底AD的长度为132.5m,斜坡AB的长度为72.7m.
11.如图,一艘渔船位于小岛的北偏东方向,距离小岛的点处,它沿着点的南偏东的方向航行.(1)渔船航行多远距离小岛最近(结果保留根号)?(2)渔船到达距离小岛最近点后,按原航向继续航行到点处时突然发生事故,渔船马上向小岛上的救援队求救,问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短,最短航程是多少(结果保留根号)?
【答案】(1);(2)南偏东;
【解析】(1)过点作的垂线交于点,
∵垂线段最短,上的点距离点最近,即为所求,由题意可知:∠BAF=30°,∠CAF=15°,
∴,
∴渔船航行时,距离小岛最近.
(2)在中,,∠DBC=60°,
∵∠ABD=45°,∠ABE=90°-30°=60°,∴,
.答:从处沿南偏东出发,最短行程.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题,结合航海中的实际问题,将解直角三角形的相关知识有机结合,体现了数学应用于实际生活的思想.
12.(2020 陕西)如图所示,小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元,他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN.他俩在小明家的窗台B处,测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数,由于楼下植物的遮挡,不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数.于是,他俩上楼来到小华家,在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数,竟然发现∠1与∠2恰好相等.已知A,B,C三点共线,CA⊥AM,NM⊥AM,AB=31m,BC=18m,试求商业大厦的高MN.
【答案】见解析。
【分析】过点C作CE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F,可得四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形,可以证明△BFN≌△CEM,得NF=EM=49,进而可得商业大厦的高MN.
【解析】如图,过点C作CE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F,
∴∠CEF=∠BFE=90°,
∵CA⊥AM,NM⊥AM,
∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形,
∴CE=BF,ME=AC,
∠1=∠2,
∴△BFN≌△CEM(ASA),
∴NF=EM=31+18=49,
由矩形性质可知:EF=CB=18,
∴MN=NF+EM﹣EF=49+49﹣18=80(m).
答:商业大厦的高MN为80m.
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