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圆锥曲线定直线问题
方法提示：先猜后证
分析定直线的类型：是否与坐标轴垂直
特殊化得到答案
按常规方法写解题过程
典例
例1.如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，其上顶点为A．已知△F1AF2是边长为2的正三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点任作一动直线交椭圆C于M，N两点，记．若在线段MN上取一点R，使得，当直线运动时，点R在某一定直线上运动，求出该定直线的方程．
例2.已知双曲线E：的中心为原点O，左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点P是直线上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足．
（1）求实数的值；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M、N，在线段MN上去异于点M、N的点H，满足，证明点H恒在一条定直线上．
对点训练
1、已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，分别为左右顶点，直线：与椭圆交于两点，当时，是椭圆的上顶点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线交于点，证明：点在定直线上.
2、设椭圆的离心率为，直线过椭圆的右焦点，与椭圆交于点；若垂直于轴，则.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的左右顶点分别为，直线与直线交于点.求证：点在定直线上.
3、已知点，，动点满足直线AR与BR的斜率之积为.记R的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设经过点的直线l交曲线C于M，N两点，设直线BM，BN的斜率为，，直线AM与直线BN交于点G.
①求的值； ②求证点G在定直线上.
4、已知抛物线：，过轴上一点（不同于原点）的直线与交于两点，，与轴交于点.
（1）若，，求的值；
（2）若，过，分别作的切线，两切线交于点，证明：点在定直线方程上，求出此定直线.
5、已知两点在抛物线上，点满足．
（1）若线段，求直线的方程；
（2）设抛物线过两点的切线交于点．求证：点在一条定直线上．
6、在平面直角坐标系中，已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，右焦点F到右准线的距离为3.
（1）求椭圆C的方程;
（2）过点F作直线l (不与x 轴重合)和椭圆C交于M， N两点，设点.
①若的面积为，求直线l方程；
②过点M作与)轴垂直的直线l"和直线NA交于点P，求证：点P在一条定直线上.
7、已知椭圆：的离心率为，且经过点
1求椭圆的标准方程；
2已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过点的动直线与抛物线相交于A，B两个不同的点，在线段AB上取点Q，满足，证明：点Q总在定直线上．
8、已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P与A2Q交于点S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
9、设椭圆C：过点，且左焦点为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当过点的动直线l与椭圆C相交与两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足，证明：点Q总在某定直线上.
圆锥曲线定直线问题解析
方法提示：先猜后证
分析定直线的类型：是否与坐标轴垂直
特殊化得到答案
按常规方法写解题过程
典例
例1.如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，其上顶点为A．已知△F1AF2是边长为2的正三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点任作一动直线交椭圆C于M，N两点，记．若在线段MN上取一点R，使得，当直线运动时，点R在某一定直线上运动，求出该定直线的方程．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为△F1AF2是边长为2的正三角形，所以，，，
椭圆C的方程为；
（2）由题意知，直线MN的斜率必存在，设其方程为，并设，
由，消去得，
则，，
由得，故
设点R的坐标为，则由得
解得：
故点R在定直线上．
例2.已知双曲线E：的中心为原点O，左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点P是直线上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足．
（1）求实数的值；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M、N，在线段MN上去异于点M、N的点H，满足，证明点H恒在一条定直线上．
【答案】（1） （2）定值为 （3）
【解析】（1）设双曲线E的半焦距为c，由题意可得，解得．
（2）证明：由(1)可知，直线，点．设点，，因为，所以，所以.因为点在双曲线E上，所以，即.所以，所以直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值.
（3）证明：设点，且过点的直线l与双曲线E的右支交于不同两点，，则，，即，.设，则.即，.整理，得，故，将，代入，得．消去，，，得．所以点H恒在定直线上．
对点训练
1、已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，分别为左右顶点，直线：与椭圆交于两点，当时，是椭圆的上顶点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线交于点，证明：点在定直线上.
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】（1）当时，直线为，
令，得.即椭圆的上顶点为，所以，
又的周长为，即，又，解得，
所以椭圆的方程为 .
（2）设，由，消去得，所以
，又，所以直线的方程为，
直线的方程为， 联立直线、的方程得 .由得代入上式，得，解得，所以点在定直线上.
2、设椭圆的离心率为，直线过椭圆的右焦点，与椭圆交于点；若垂直于轴，则.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的左右顶点分别为，直线与直线交于点.求证：点在定直线上.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）由已知得，所以，所以椭圆的方程为；
（2）设，，
，
联立，得，
所以，
可得，，
所以，
又因为，
所以；
所以点在直线上．
3、已知点，，动点满足直线AR与BR的斜率之积为.记R的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设经过点的直线l交曲线C于M，N两点，设直线BM，BN的斜率为，，直线AM与直线BN交于点G.
①求的值； ②求证点G在定直线上.
【答案】（1），（2），点G在直线上，证明见解析
【解析】（1）因为直线AR与BR的斜率之积为，所以，即
故曲线C的方程为
（2）易知直线l的斜率不为，设直线的方程为
由可得，
设，则，
，
设，记直线与的交点
则，
即，
，故
即点G在直线上.
4、已知抛物线：，过轴上一点（不同于原点）的直线与交于两点，，与轴交于点.
（1）若，，求的值；
（2）若，过，分别作的切线，两切线交于点，证明：点在定直线方程上，求出此定直线.
【答案】（1）1（2）交点在直线上
【解析】（1）设，，，，
由，得，，，
所以，，
设：，
联立，则，
，所以，
则，，
所以.
（2）设，，即，有.
过的切线方程为，即，所以过的切线方程为
两方程联立得，，
由（1）知，，所以，，
所以，即交点在直线上.
5、已知两点在抛物线上，点满足．
（1）若线段，求直线的方程；
（2）设抛物线过两点的切线交于点．求证：点在一条定直线上．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）设，
与联立得，
，
，
，
又，即，
解得：（舍），所以直线的方程
（2）证明：过点的切线：，①，
过点的切线：，②，
联立①②得点，所以点在定直线上．
6、在平面直角坐标系中，已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，右焦点F到右准线的距离为3.
（1）求椭圆C的方程;
（2）过点F作直线l (不与x 轴重合)和椭圆C交于M， N两点，设点.
①若的面积为，求直线l方程；
②过点M作与)轴垂直的直线l"和直线NA交于点P，求证：点P在一条定直线上.
【答案】（1）；（2）①，②见解析
【解析】（1）由题意：解得：，所以椭圆的方程为
（2）①当直线l斜率不存在时，方程为，此时，不合题意;
当直线斜率存在时，设方程为.
由，消去y得：.设.
由题意，， 且
所以
因为， 的面积为
所以，即，解得，
所以直线的方程为.
②当直线的斜率不存在时，直线NA的方程为：.令，得，
所以直线与的交点坐标．
当直线的斜率存在时，由①知，
由直线的方程为：
令，得
所以直线与的交点的坐标为，
综上所述，点在一条定直线上，
7、已知椭圆：的离心率为，且经过点
1求椭圆的标准方程；
2已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过点的动直线与抛物线相交于A，B两个不同的点，在线段AB上取点Q，满足，证明：点Q总在定直线上．
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】（1）由题意可知解得，，故椭圆的方程为．
（2）证明：由已知可得抛物线的标准方程为，
设点Q，A，B的坐标分别为，，，
由题意知，不妨设A在P，Q之间，设，，
又点Q在P，B之间，故，
，，
由可得解得，，
点A在抛物线上，
，即，，
由可得解得，，
点B在抛物线上，，
即，，．
由可得，
，，
点Q总在定直线上
8、已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P与A2Q交于点S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）设椭圆C的方程为，
∵ ，，∴，，
∴椭圆C的方程为．
（2）取，得，，
直线A1P的方程是，直线A2Q的方程是，它们交点为．
若，，由对称性可知，
若点S在同一条直线上，由直线只能为l：．
以下证明对于任意的m，直线A1P与A2Q的交点S均在直线l：上，
事实上，由，得，
记，，则，，
记A1P与l交于点，由，得，
设A2Q与l交于点，由，得，
∵
，
∴，即与重合，
这说明，当m变化时，点S恒在定直线l：上．
9、设椭圆C：过点，且左焦点为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当过点的动直线l与椭圆C相交与两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足，证明：点Q总在某定直线上.
【答案】（1）， （2）
【解析】（1）由题意：，解得，．所求的求椭圆C的方程．
（2）方法一：设点，，，
由题设，、、、均不为0，且，
又P、A、Q、B四点共线，可设，，
于是，　　　　　　　①
，　　　　　　　②
由于，在椭圆上，将①②分别带入C的方程，
整理得：　　③
　　④
由④－③得．
∵，∴．即点总在直线上．
方法二：设点，，，
由题设，、、、均不为0，
又P、A、Q、B四点共线，可设，，
于是：，；
，．
从而　　① 　　　　②
又点A，B在椭圆上，即　　　　③ 　　　　④
①＋2×②并结合③，④得，即点总在直线上．

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