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圆锥曲线角度问题
方法提示
角度的证明往往转为斜率问题或者坐标问题，其中角相等问题优先考虑转为斜率之和为零处理，或者考虑用向量进行计算。
典例
例1、如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF1与y轴相交于点B，|AB|＝|F2B|，|OB|＝.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x 轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m(k≠0)与l1，l2分别交于M，N两点，求证：∠MF1N＝∠MF2N.
例2、已知椭圆的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，过定点的直线l交椭圆C于A，B两点，连接并延长交C于M，求证：.
例3、在平面直角坐标系xOy中，已知点E(0，2)，以OE为直径的圆与抛物线C∶x2=2py(p>0)交于点M，N(异于原点O)，MN恰为该圆的直径，过点E作直线交抛物线与A，B两点，过A，B两点分别做拋物线C的切线交于点P.
（1）求证∶点P的纵坐标为定值；
（2）若F是抛物线C的焦点，证明∶∠PFA=∠PFB.
综合练习
1、已知动圆Q经过定点，且与定直线相切（其中a为常数，且）.记动圆圆心Q的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线？
（2）设点P的坐标为，过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明：.
2、椭圆：，经过点，且离心率为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆E交于，PQ两点，点，O为坐标原点，证明：.
3、已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上．
（1）求的方程；
（2）若直线与椭圆相交于，两点，试问：在轴上是否在点，当变化时，总有？若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
4、已知椭圆中心为原点，离心率，焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过定点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由.
5、在直角坐标系中，曲线与直线交与，两点．
（1）当时，分别求在点和处的切线方程；
（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．
6、已知椭圆的中心为原点，离心率，焦点，斜率为的直线与交于两点．
（1）若线段的中点为为上一点，且成等差数列，求点的坐标；
（2）若过点轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．
7、如图，已知点F为抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|=3.
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知点G(-1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为∠AGB的平分线.
8、设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为.
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，直线不与轴重合，求的值.
9、已知椭圆的短轴长是2，且离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知，若直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，是否存在常数，使恒成立，并说明理由．
圆锥曲线角度问题解析
方法提示
角度的证明往往转为斜率问题或者坐标问题，其中角相等问题优先考虑转为斜率之和为零处理，或者考虑用向量进行计算。
典例
例1、如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF1与y轴相交于点B，|AB|＝|F2B|，|OB|＝.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x 轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m(k≠0)与l1，l2分别交于M，N两点，求证：∠MF1N＝∠MF2N.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）连接AF2，由题意得|AB|＝|F2B|＝|F1B|，所以BO为△F1AF2的中位线．
又因为BO⊥F1F2，所以AF2⊥F1F2，且|AF2|＝2|BO|＝.
又离心率e＝，a2＝b2＋c2，得a2＝9，b2＝8，
故所求椭圆C的标准方程为.
（2）证明：由题可知，l1的方程为x＝－3，l2的方程为x＝3.
直线l的方程分别与直线l1，l2的方程联立得M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，
所以＝(－2，－3k＋m)， ＝(4,3k＋m)，所以·＝－8＋m2－9k2.
联立得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0.
因为直线l与椭圆C相切，所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0，
化简得m2＝9k2＋8.
所以·＝－8＋9k2＋8－9k2＝0，所以⊥，故∠MF1N＝.
同理＝(－4，－3k＋m)， ＝(2,3k＋m)，
所以⊥，∠MF2N＝.故∠MF1N＝∠MF2N.
例2、已知椭圆的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，过定点的直线l交椭圆C于A，B两点，连接并延长交C于M，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由题意，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆，
可得圆O的方程为，
因为圆O与直线相切，所以，
由及，解得，
所以椭圆C的方程为.
（2）由题意可知直线l的斜率必存在，设直线，
联立方程组，消去y得，
有，整理得，
设，，则，，
有
其中
所以，所以.
例3、在平面直角坐标系xOy中，已知点E(0，2)，以OE为直径的圆与抛物线C∶x2=2py(p>0)交于点M，N(异于原点O)，MN恰为该圆的直径，过点E作直线交抛物线与A，B两点，过A，B两点分别做拋物线C的切线交于点P.
（1）求证∶点P的纵坐标为定值；
（2）若F是抛物线C的焦点，证明∶∠PFA=∠PFB.
【答案】（1）定值为-2；（2）见解析
【解析】（1）以OC为直径的圆为x2+(y-1)2=1.
由题意可知该圆与抛物线交于一条直径，
由对称性可知交点坐标为(1，1)，(-1，1)
代入抛物线方程可得2p=1.
所以抛物线的方程为x2=y.
设A，B，所以
所以直线AB的方程为，即
因为直线AB过点C(0，2)，所以，所以①.
因为，所以直线PA的斜率为，直线PB的斜率为
直线PA的方程为，即，
同理直线PB的方程为
联立两直线方程，可得P
由①可知点P的纵坐标为定值-2.
（2），，
注意到两角都在内，可知要证，即证，
，，
所以，
又，所以，
同理式得证.
综合练习
1、已知动圆Q经过定点，且与定直线相切（其中a为常数，且）.记动圆圆心Q的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线？
（2）设点P的坐标为，过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明：.
【答案】（1），它是以F为焦点，以直线为准线的抛物线；（2）证明见解析.
【解析】（1）设，由题意得，化简得，
所以动圆圆心Q的轨迹方程为，
它是以F为焦点，以直线为准线的抛物线.
（2）不妨设.
因为，所以，
从而直线的斜率为，解得，即，
又，所以轴.
要使，只需.
设直线m的方程为，代入并整理，得.
所以，解得或.
设，，
则，.
.
故存在直线m，使得，
此时直线m的斜率的取值范围为.
2、椭圆：，经过点，且离心率为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆E交于，PQ两点，点，O为坐标原点，证明：.
【答案】（1）
【解析】（1）由题设知，，，
又，解得，所以椭圆的方程为.
（2）证明：由（1）可得椭圆的右焦点为，
当直线斜率存在时，设直线的方程为，，，
代入椭圆方程，
可得，易知，
，，
则，
，
则；
当直线PQ斜率不存在时，PQ垂直x轴，
由对称性易知，
综上，.
3、已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上．
（1）求的方程；
（2）若直线与椭圆相交于，两点，试问：在轴上是否在点，当变化时，总有？若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】（1）由题可知，解得，，．
所求的方程为；
（2）设存在定点，并设，，，．
由，消可得．
，．
，，即．
，整理为．
．
可得．即，．
存在定点满足题意．
4、已知椭圆中心为原点，离心率，焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过定点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，
【解析】（1），，∴，
所以椭圆的标准方程：.
（2）假设存在这样的点，且设，
直线，联立得，.
设，，则，.
若成立，则直线与的倾斜角互补，斜率互为相反数，
，即.
即，整理得：，
所以，则，即.
若与无关，则.
故在轴上存在点，使得当变动时，总有.
5、在直角坐标系中，曲线与直线交与，两点．
（1）当时，分别求在点和处的切线方程；
（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．
【解答】（1）联立，可得，，或，．
，故在处的导数值为，
在处的切线方程为，即．
故在处的导数值为，
在处的切线方程为，即．
故所求切线方程为或．
（2）存在符合题意的点，证明如下：
设为符合题意的点，，，，，直线，的斜率分别为，．
将代入得方程整理得．
，．
．
当时，有，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，
故，所以符合题意．
6、已知椭圆的中心为原点，离心率，焦点，斜率为的直线与交于两点．
（1）若线段的中点为为上一点，且成等差数列，求点的坐标；
（2）若过点轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．
【答案】（1）；（2）存在这样的点Q满足题意，且坐标为，理由见解析．
【解析】（1）依题意设椭圆的标准方程为，又，，
所以，，所以，
设，则
，
因为，所以，
同理，
所以，
又成等差数列，故，
.
（2）假设存在这样的点，且设，又，
联立消去并整理得，
所以，即，
，
因为，所以与倾斜角互补，
所以，
，
，
，
，
对任意实数恒成立，所以，故存在这样的点，且．
7、如图，已知点F为抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|=3.
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知点G(-1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为∠AGB的平分线.
【答案】（1）y2=4x；（2）证明见解析.
【解析】（1）由抛物线定义可得|AF|=2+=3，解得p=2.∴抛物线E的方程为y2=4x.
（2）∵点A(2，m)在抛物线E上，∴m2=4×2，解得m=±2 ，
由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)，
由A(2，2，F(1，0)，
∴直线AF的方程为y=2 (x-1)，
由 得2x2-5x+2=0，解得x=2或，∴B.
又G(-1，0)，∴kGA=，kGB=
∴kGA+kGB=0，
∴∠AGF=∠BGF.
∴GF为∠AGB的平分线.
8、设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为.
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，直线不与轴重合，求的值.
【答案】（1）的方程为或；（2）1.
【解析】（1）由已知得，的方程为，
由已知可得，点的坐标为或.
所以的方程为或；
（2）因为直线不与轴重合，故由（1）得与轴垂直时，根据对称性得，
当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，，，，
当，直线，的斜率之和为，
由，得，
将代入，得，
所以.
则，
从而，故，的倾斜角互补，所以，
综上，.
9、已知椭圆的短轴长是2，且离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知，若直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，是否存在常数，使恒成立，并说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，理由见解析.
【解析】（1）因椭圆的短轴长是2，则，而离心率，解得，
所以椭圆方程为.
（2）存在常数，使恒成立，
由消去y并整理得：，
设，，则，，
又，，
，
则有，而线段AB的中点为M，于是得，并且有
所以存在常数，使恒成立.

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