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圆锥曲线中点弦问题
题型识别：弦中点，斜率积用点差
若，是椭圆上不重合的两点，点为的中点，的值为定值么？
答题模版
第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则，
第二步：两式相减得，
第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得
类型1 求中点弦直线斜率或方程
典例1：已知椭圆：，为坐标原点，作斜率为的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，直线与的夹角为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，设，，，则，，将，两点坐标代入椭圆方程，两式相减得，则，设直线的倾斜角为，则，设直线的倾斜角为，则，则，解得.
对点训练
1.已知是直线被椭圆所截得线段的中点，则直线的方程是
A． B． C． D．
2.已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知双曲线上存在两点M,N关于直线对称，且MN的中点在抛物线上，则实数m的值为（ ）
A．4 B．-4 C．0或4 D．0或-4
类型2 求曲线的标准方程
典例2：已知椭圆的左右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与椭圆交于两点，的中点是，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则，1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，∵P为线段AB的中点，∴2xp＝x1+x2，2yp＝y1+y2，∴ ，又kAB＝2，∴，即，∴
对点训练
1.椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2.若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3.已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为( )
B． C． D．
类型三 点差法求离心率
典例3：已知A，B是椭圆E：的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意方程可知，，设,则 ,，整理得：，①又，得，即，②联立①②，得，即，解得．
对点训练
1.设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为( ).
A． B． C． D．
2.经过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．[2，+∞） B．（1，2） C．（1，2] D．（2，+∞）
3.已知双曲线的两条渐近线分别为与，与为上关于原点对称的两点，为上一点且，则双曲线离心率的值为（ ）
A． B． C． D．
综合训练
1.已知 ，，，其中，是常数且，若的最小值是，满足条件的点是椭圆 一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
2.已知椭圆的右焦点为，离心率，过点的直线交椭圆于两点，若中点为，则直线的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．
3.已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为，若的斜率之和为-2，则 （ ）
A．-4 B． C．4 D．6
4.若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过F直线l与双曲线交于M，N两点，且MN的中点为，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
5.椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )
A． B． C． D．
6.中心为原点，一个焦点为F（0,5）的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
7.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M为椭圆C上异于A，B的一点，直线AM和直线BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8.已知椭圆，的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
圆锥曲线中点弦问题解析
题型识别：弦中点，斜率积用点差
若，是椭圆上不重合的两点，点为的中点，的值为定值么？
答题模版
第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则，
第二步：两式相减得，
第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得
类型1 求中点弦直线斜率或方程
典例1：已知椭圆：，为坐标原点，作斜率为的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，直线与的夹角为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，设，，，则，，将，两点坐标代入椭圆方程，两式相减得，则，设直线的倾斜角为，则，设直线的倾斜角为，则，则，解得.
对点训练
1.已知是直线被椭圆所截得线段的中点，则直线的方程是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线和圆锥曲线交点为，，，，其中点坐标为，当斜率不存在时，显然不成立，设，分别代入圆锥曲线的解析式，并作差，利用平方差公式对结果进行因式分解，得，得，，所以，即：．
2.已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设直线l的方程为，代入双曲线方程，得到，得到，设，则，则，故，故选A．
3.已知双曲线上存在两点M,N关于直线对称，且MN的中点在抛物线上，则实数m的值为（ ）
A．4 B．-4 C．0或4 D．0或-4
【答案】D
【解析】∵MN关于y=x+m对称∴MN垂直直线y=x+m，MN的斜率﹣1，
MN中点P（x0，x0+m）在y=x+m上，且在MN上
设直线MN：y=﹣x+b，∵P在MN上，∴x0+m=﹣x0+b，∴b=2x0+m
由消元可得：2x2+2bx﹣b2﹣3=0
△=4b2﹣4×2（﹣b2﹣3）=12b2+12＞0恒成立，
∴Mx+Nx=﹣b，∴x0=﹣，∴b=
∴MN中点P（﹣，m）
∵MN的中点在抛物线y2=9x上，
∴∴m=0或m=﹣4
类型2 求曲线的标准方程
典例2：已知椭圆的左右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与椭圆交于两点，的中点是，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则，1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，∵P为线段AB的中点，∴2xp＝x1+x2，2yp＝y1+y2，∴ ，又kAB＝2，∴，即，∴
对点训练
1.椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点，，联立，得：， ．，＝．设是线段的中点，∴（）．∴直线的斜率为．则,代入①满足△＞0（＞0，＞0）．
2.若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意设该双曲线的标准方程为，，则且，则，即，则，即，则，所以，即该双曲线的方程为.
3.已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为( )
B． C． D．
【答案】A
【解析】设抛物线方程为，直线与抛物线方程联立求得，∴xA+xB=2p，∵xA+xB=2×2=4，∴p=2，∴抛物线C的方程为.
类型三 点差法求离心率
典例3：已知A，B是椭圆E：的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意方程可知，，设,则 ,，整理得：，①又，得，即，②联立①②，得，即，解得．
对点训练
1.设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为( ).
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当P是椭圆的上下顶点时,最大，则椭圆的离心率的取值范围为.
2.经过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．[2，+∞） B．（1，2） C．（1，2] D．（2，+∞）
【答案】A
【解析】已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴，离心率e2，∴e≥2，故选：A
3.已知双曲线的两条渐近线分别为与，与为上关于原点对称的两点，为上一点且，则双曲线离心率的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线的方程为，则直线的方程为，设点、，则点，，，，即，即，，解得，故选：B.
综合训练
1.已知 ，，，其中，是常数且，若的最小值是，满足条件的点是椭圆 一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ，，， 为正数，，， 的最小值是 ，所以 的最小值是 ，所以 ，满足 时取最小值，此时最小值为 ，得：，又：，所以，，．设以 为中点的弦交椭圆 于 ，，由中点坐标公式知 ，，把 ， 分别代入 ，得 两式相减得 ，所以 ．所以此弦所在的直线方程为 ，即 ．
2.已知椭圆的右焦点为，离心率，过点的直线交椭圆于两点，若中点为，则直线的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得.设，由题得，所以，两式相减得，所以，所以，所以.
3.已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为，若的斜率之和为-2，则 （ ）
A．-4 B． C．4 D．6
【答案】A
【解析】设，则，，，两式相减，得，即，即，同理，得，所以.
4.若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过F直线l与双曲线交于M，N两点，且MN的中点为，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，是双曲线的焦点，则双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，且，，直线MN过焦点F，则，则有，变形可得，，，，又由，且，，变形可得：，又由，则，解可得：，，则要求双曲线的方程为：.
5.椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，设中点为，直线的斜率为，直线的斜率为.由于在椭圆上，故，两式相减得，化简为，即.
6.中心为原点，一个焦点为F（0,5）的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知得c＝5，设椭圆的方程为，联立得，消去y得（10a2－450）x2－12（a2－50）x＋4（a2－50）－a2（a2－50）＝0，设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由根与系数关系得x1＋x2＝，由题意知x1＋x2＝1，即＝1，解得a2＝75，所以该椭圆方程为.
7.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M为椭圆C上异于A，B的一点，直线AM和直线BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得，设，由题设可得，，所以.因为，所以，则，所以.
8.已知椭圆，的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】显然 在椭圆内，设直线与椭圆的交点为，由是的中点有：,将两点的坐标代入椭圆方程得:, 。两式相减得：,即,所以有，即所以，则椭圆的离心率为： .

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