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考点一：函数三要素求解
【知识点】
函数的定义域：
解析式求法：
值域：
【典例分析】
1．（2022·湖北武汉·模拟预测）函数的定义域为______.
2．（2021·黑龙江·牡丹江市）已知函数的定义域为(－2,0)，则的定义域为（ ）
A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D．
3．（2022·全国·高一）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·浙江·高三专题）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·湖南·高三月考）已知函数满足，则（ ）
A．的最小值为2 B．，
C．的最大值为2 D．，
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习），若是的最小值，则的取值范围为（ ）.
A．[1，2] B．[1，0] C．[1，2] D．
8．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末（文））下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．（2022·黑龙江·铁人中学）以下各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
考点二：函数单调性
【知识点】
函数的单调区间：
复合函数的单调性：
已知函数的单调性求参数：
已知函数的单调性解不等式（去f ）：
最值：恒成立问题
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是
A． B． C． D．
2．函数的单调递增区间是
A． B．
C． D．
3．（2022·湖南·雅礼中学二模）下列函数中，在R上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江杭州·高一期末）已知设，则函数的最大值是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
5．若则函数的最小值为________．
6．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（ ）
A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．
7．（2022·辽宁朝阳·高一）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数在上是减函数，则实数的范围是_______.
9．（2022·陕西陕西·一模）已知，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·内蒙古包头·一模）设函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数f(x)＝ 若f(2－a2) >f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1，2)
C．(－2，1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
12．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数是定义在上的增函数，则满足的实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
13．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若，则 (　　)
A． B． C． D．
14．（2022·河南·模拟预测（文））已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·全国·高三专题练习）设函数是定义在上的增函数，实数使得对于任意都成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．（2021·全国·高一专题练习）已知，，若对，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·河南·平顶山市）已知函数，，对于任意的，存在，使，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
18．（2022·广西桂林·高二期末（理））若命题“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是________.
考点三：函数的奇偶性
【知识点】
判断奇偶性：
常见奇偶函数：
(1)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数．
②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
(2)偶函数：①函数．
②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
已知函数的奇偶性求解析式：
已知函数的奇偶性求参数：
已知函数的奇偶性＋单调性解不等式：
拓展：
伪奇函数性质：
1．（2021·广东·龙门县高级中学高一期中）给定函数：①；②；③；④.其中奇函数是（ ）.
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
2．(2021年高考全国乙卷理科)设函数，则下列函数中为奇函数的是 (　　)
A． B． C． D．
3．（2022·山西吕梁·一模（文））已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为( )
A．1 B．8 C． D．
5．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知是奇函数，且当时，．若，则　 　．
6．已知函数是偶函数，且，则______.
7．（2022·湖南·一模）已知是奇函数，且，若，则___．
8．（2023·银川一中·月考）已知为奇函数，为偶函数，且．则求解析式为　 　 　．
9．（2022·江西·模拟预测（理））分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法错误的是（ ）
A． B．在上单调递减
C．关于直线对称 D．的最小值为1
10．（2022·海南·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，则______.
11．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知函数是奇函数，则__________.
12．已知f(x)＝ax－log2(4x＋1)是偶函数，则a＝ (　　)
A．1 B．－1 C．2 D．－2
13．（2022·广东佛山·模拟预测）已知函数是偶函数，则______．
14．（2021·北京朝阳·高三期中）若函数为奇函数，则实数（ ）.
A． B． C．0 D．1
15．（2023·银川一中·月考）已知函数，则不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
16．（2022·江苏·南京师大附中高一期末）定义在上的偶函数在区间上单调递增，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．设函数，则使得成立的的取值范围是　　
A． B．
C． D．
18．（2021·全国·高三期中）已知是偶函数，当时，恒成立，设，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
19．已知定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，且y＝f（x+2）为偶函数，则关于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0的解集为（　　）
A．（﹣∞，）∪（2，+∞） B．（，2）
C．（﹣∞，）∪（2，+∞） D．（，2）
20．已知函数，则不等式的解集为______．
21．已知函数，则的解集为　　
A． B． C． D．
22．（2022·上海·高三专题练习）函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
23．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则(　　)
A． B．
C． D．
24．（2022·河北·模拟预测）设偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
25．若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（　　）
A．[﹣1，1]∪[3，+∞） B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]
C．[﹣1，0]∪[1，+∞） D．[﹣1，0]∪[1，3]
26．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）定义在上的偶函数在上单调递减，且，若不等式的解集为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
27．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知函数（，），且，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
28．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数，且，则（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
29．设函数的最大值为，最小值为，则　　
A．1 B．2 C．3 D．4
30．（2022·河北·石家庄二中高三开学考试）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于( )
A．0 B．10 C． D．
考点四：函数的周期性和对称性
【知识点】
周期性判定：
对称性判定：
拓展二级结论：
1．（2022·江西·新余市第一中学）已知函数满足，且当时，，则________．
2．奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则______．
3．（2022·重庆巴蜀中学高一期末）已知定义在区间上的奇函数满足：，且当时，，则____________.
4．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且 ，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
5．定义域为R的奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．0
6．已知函数的定义域为R，且满足下列三个条件：
①对任意的x1，x2∈[4，8]，当x10；
②f(x＋4)＝－f(x)；
③y＝f(x＋4)是偶函数．
若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2 020)，则a，b，c的大小关系正确的是 (　　)
A．aC．a7．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则
A． B．0 C．2 D．50
8．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）写出一个最小正周期为3的偶函数___________.
9．（2022·湖南·雅礼中学二模）函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C． D．
10．(2021年高考全国甲卷理科)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则 (　　)
A． B． C． D．
11．（2022·湖北·模拟预测）已知函数，.若与的图象在区间上的交点分别为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·广东深圳·一模）已知函数，其中，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．曲线是轴对称图形 D．曲线是中心对称图形
13．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数满足，若函数与图像的交点为，则 (　　)
A． B． C． D．
14．设函数是的导数，经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足，已知函数，则（ ）
A．2021 B． C．2022 D．
15．（2021·河南·高三月考（理））对于函数，时， ，则函数的图象关于点成中心对称．探究函数图象的对称中心，并利用它求的值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2022·全国·高三专题练习）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当，时，．
（1）求证：是周期函数；
（2）当，时，求的解析式；
（3）计算的值．
考点五：函数的图像
【知识点】
图像识别技巧：
1．（2020·天津·高考真题）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)函数在的图像大致为 (　　)
A． B．
C． D．
3．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·山东省实验中学模拟预测）函数在上的图象为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·广东·华南师大附中三模），则函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·福建福州·高一期末）已知函数，则的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
考点六：函数的性质 比较大小
【知识点】
比较大小技巧：
1．已知,,,则 (　　)
A． B． C． D．
2．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b
3．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c
5．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，（参考值，），则a，b，c的大小关系是（　　）.
A． B． C． D．
7．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．以下四个数中，最大的是（　　）
A． B． C． D．
9．已知函数满足，且当时，成立，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数，若，，（e为自然对数的底数），则（ ）．
A． B． C． D．
类型七　函数模型应用
【知识点】
技巧：注重参考数据 强化指数、对数运算
1．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办．会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率C会提升到原来的（ ）参考数据： ．
A．2.4倍 B．2.5倍 C．2.6倍 D．2.7倍
2．（2022·河北衡水中学一模）17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
3．2020年11月24日4时30分，长征五号途五运载火箭在我国文昌航天发射场成功发射，飞行约2200秒后，顺利将探月工程嫦娥五号探测器送人预定轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅.已知火箭的最大速度单位与燃料质量(单位) 火箭质量单位的函数关系为，若已知火箭的质共为火箭的最大速度为则火箭需要加注的燃料为(参考数值为结果精确到0.01（ ）
A．243.69 B．244.69 C． D．
4．1614年纳皮尔在研究天文学过程中，为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系．对数源于指数，对数的发明先于指数，这已成为历史珍闻，若，，，估计的值约为
A．0.2481 B．0.3471 C．0.4582 D．0.7345
5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0．95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为(　　)(ln19≈3)
A．60 B．63 C．66 D．69
6．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论．若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数个数为(素数即质数，，计算结果取整数)
A．1089 B．1086 C．434 D．145
7．有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，如：，，已知，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
类型八　函数的零点问题
【知识点】
零点存在定理：
零点个数问题：
等高线问题：
复合函数零点问题：
1．高斯函数（表示不超过实数x的最大整数），若函数的零点为，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东广州·二模）函数的所有零点之和为__________．
3．（2022·湖南·长郡中学模拟）已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知函数，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，若存在实数，，，，满足，且，则的值等于　　
A． B．18 C． D．9
6．已知函数若方程恰有三个不同的实数解，，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7．已知函数，若存在实数，且，则
的取值范围是　　　　．
8．（2021·福建宁德·高三期中）已知函数，若a b c互不相等，且，则的取值范围是　　　　．
9．（2022·重庆九）若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为__________.
10．已知是定义在R上的奇函数，当时，，有下列结论：
①函数在上单调递增；
②函数f(x)的图象与直线y=x有且仅有2个不同的交点；
③若关于x的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8；
④记函数f(x)在上的最大值为，则数列的前7项和为
其中正确的有
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②
11．设函数，若关于x的不等式有且只有一个整数解，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.

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