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圆锥曲线之“定值问题”
求定值问题的解题策略与步骤
(1)从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
典例
例1:：已知圆，点，是圆上一动点，若线段的垂直平分线和相交于点，点的轨迹为曲线．动直线交曲线于，两点，且始终满足，为坐标原点，作交于点．
（1）求曲线的方程； （2）证明：为定值．
【解析】（1）由圆，可得圆心，半径，
因为，所以点在圆内，
又由点在线段的垂直平分线上，所以，
所以，
由椭圆的定义知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
其中，，，
所以曲线的方程为．
（2）证明：①当直线的斜率不存在时：设的方程为：，
动直线交曲线于，两点，且始终满足，为坐标原点，所以，
代入椭圆方程可得：，得，即
点的坐标为：，．
②当直线的斜率存在时，设的方程为：，，，，，
联立，可得．
由△得，且，，
又因为，所以，即，
即，
代入解得，
，从而．
综上，为定值．
例2：已知椭圆的右焦点为，离心率，点A、B分别是椭圆E的上、下顶点，O为坐标原点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过F作直线l分别与椭圆E交于C、D两点，与y轴交于点P，直线AC和BD交于点Q，求的值.
【答案】（1）；（2）1.
【解析】（1），，，椭圆.
（2）易知l的斜率存在且不为0，设，，，
由，
，设点，，
则，
由A、Q、C三点共线，，
由B、Q、D三点共线，，
上面两式相除得：，
，
结合图形易知与同号，，
，即为定值1.
习题训练
1、已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于、两点，且，判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
2、已知点是椭圆上的一点，椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，斜率为直线交椭圆于，两点，且，，三点互不重合.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，，分别为直线，的斜率，求证：为定值.
3、已知椭圆：()的左右焦点分别为，焦距为2，且经过点.直线过右焦点且不平行于坐标轴，与椭圆有两个不同的交点，，线段的中点为.
（1）点在椭圆上，求的取值范围；
（2）证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
4、如图所示，椭圆的离心率为，其右准线方程为，A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点A、B作斜率分别为、，直线AM和直线BN分别与椭圆C交于点M，N（其中M在x轴上方，N在x轴下方）.
（1）求椭圆C的方程； （2）若直线MN恒过椭圆的左焦点，求证：为定值.
5、如图，过点的直线与抛物线交于两点.
（1）若，求直线的方程;
（2）记抛物线的准线为，设直线分别交于点，求的值.
6、已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最大值为.
（1）求；
（2）若为坐标原点，直线与相交于，两点，问：是否为定值？若为定值，求出该定值;若不为定值，试说明理由
7、设双曲线C：，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点.
（1）求直线l倾斜角θ的取值范围；
（2）直线l交直线于点P，且点A在点P，F之间，试判断是否为定值，并证明你的结论.
8、已知抛物线的焦点为．点在上， ．
（1）求;
（2）过作两条互相垂直的直线，与交于两点，与直线交于点，判断是否为定值 若是，求出其值；若不是，说明理由．
圆锥曲线之“定值问题”解析
求定值问题的解题策略与步骤
(1)从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
典例
例1:：已知圆，点，是圆上一动点，若线段的垂直平分线和相交于点，点的轨迹为曲线．动直线交曲线于，两点，且始终满足，为坐标原点，作交于点．
（1）求曲线的方程； （2）证明：为定值．
【解析】（1）由圆，可得圆心，半径，
因为，所以点在圆内，
又由点在线段的垂直平分线上，所以，
所以，
由椭圆的定义知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
其中，，，
所以曲线的方程为．
（2）证明：①当直线的斜率不存在时：设的方程为：，
动直线交曲线于，两点，且始终满足，为坐标原点，所以，
代入椭圆方程可得：，得，即
点的坐标为：，．
②当直线的斜率存在时，设的方程为：，，，，，
联立，可得．
由△得，且，，
又因为，所以，即，
即，
代入解得，
，从而．
综上，为定值．
例2：已知椭圆的右焦点为，离心率，点A、B分别是椭圆E的上、下顶点，O为坐标原点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过F作直线l分别与椭圆E交于C、D两点，与y轴交于点P，直线AC和BD交于点Q，求的值.
【答案】（1）；（2）1.
【解析】（1），，，椭圆.
（2）易知l的斜率存在且不为0，设，，，
由，
，设点，，
则，
由A、Q、C三点共线，，
由B、Q、D三点共线，，
上面两式相除得：，
，
结合图形易知与同号，，
，即为定值1.
习题训练
1、已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于、两点，且，判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
【解析】（1）椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，，
又，，解得，，
故椭圆的方程为．
（2）设，，，，由化为，
△，化为．
，．
，
，，，
，化为，
，
又，
．
2、已知点是椭圆上的一点，椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，斜率为直线交椭圆于，两点，且，，三点互不重合.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，，分别为直线，的斜率，求证：为定值.
【答案】（1）；（2）定值为0
【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，由双曲线方程易得双曲线的离心率为，
则椭圆的离心率，
将代入，得 ，
又，解得，
所以椭圆C的方程；
（2）证明：设直线的方程为，，，
又，，三点不重合，∴，
则由消去 ，整理得 ，
所以，，，则 ，
设直线，的斜率分别为，，
则
所以，即直线，的斜率之和为定值.
3、已知椭圆：()的左右焦点分别为，焦距为2，且经过点.直线过右焦点且不平行于坐标轴，与椭圆有两个不同的交点，，线段的中点为.
（1）点在椭圆上，求的取值范围；
（2）证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
【答案】（1）；（2）定值为
【解析】（1）因为焦距，则，所以左焦点，右焦点
则
所以，所以，所以椭圆方程为.
设点，则
因为，所以的取值范围为：
（2）设直线的方程为()，，，为线段的中点
联立消去得
其中：，，则，
所以，
所以所以为定值.
4、如图所示，椭圆的离心率为，其右准线方程为，A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点A、B作斜率分别为、，直线AM和直线BN分别与椭圆C交于点M，N（其中M在x轴上方，N在x轴下方）.
（1）求椭圆C的方程； （2）若直线MN恒过椭圆的左焦点，求证：为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由题可得，解得
又，可得，所以椭圆C的方程为：
（2），设AM的方程为，设，
由，消去整理得，，
由韦达定理可得：，解得，
代入，求得，即
，设BN的方程为，设，
由，消去整理得，，
由韦达定理可得：，解得，
代入，求得，即
又直线MN恒过椭圆的左焦点，则
又，
，即
，，，即，所以为定值
5、如图，过点的直线与抛物线交于两点.
（1）若，求直线的方程;
（2）记抛物线的准线为，设直线分别交于点，求的值.
【答案】（1）；（2）-3.
【解析】(1)设直线的方程为，
由 ，得
所以
则
由抛物线的性质可得
解得，所以直线的方程为：
（2）由题意可得直线：，设
由（1）可得，
由直线分别交于点，则,
即，所以
由直线分别交于点，则,
即，所以
6、已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最大值为.
（1）求；
（2）若为坐标原点，直线与相交于，两点，问：是否为定值？若为定值，求出该定值;若不为定值，试说明理由
【答案】（1）2；（2）的值为定值.
【解析】（1）由题得，圆的圆心，
抛物线的焦点为，，
所以与圆上点的距离的最大值为，解得.
（2）设，，
由得，所以，且，，
，，
所以.
所以的值为定值.
7、设双曲线C：，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点.
（1）求直线l倾斜角θ的取值范围；
（2）直线l交直线于点P，且点A在点P，F之间，试判断是否为定值，并证明你的结论.
【答案】（1）；（2）是定值，证明见解析.
【解析】（1）由双曲线得，
则右焦点，显然直线的斜率不为0，
设直线的方程为，
由得
因为直线与双曲线的右支交于两点，设，
则，解得，
当时，直线倾斜角，
当时，直线的斜率或，
综上，直线倾斜角的取值范围为.
（2）由得
不妨假设，则，
又，
代入上式，得，
所以为定值1.
8、已知抛物线的焦点为．点在上， ．
（1）求;
（2）过作两条互相垂直的直线，与交于两点，与直线交于点，判断是否为定值 若是，求出其值；若不是，说明理由．
【答案】(1) ；（2）是定值，.
【解析】（1）因为点在上，所以 ①，
因为，所以由焦半径公式得 ②，
由①②解得 所以.
（2）由（1）知抛物线的方程为，焦点坐标为，
当直线与轴平行时，此时的方程为，的方程为，，
此时为等腰直角三角形且，故.
当直线与轴不平行且斜率存在时，若为定值，则定值比为，下面证明.
要证明，只需证明，
只需证，即，
设直线的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为，
联立方程得，设，
则，所以，，
联立方程得，
所以，
所以
，
所以，即，
所以.
综上，为定值，.

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