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21.2.4 一元二次方程根与系数关系
导学案
学习目标：
1.探究并能推导一元二次方程的根与系数的关系.
2.熟练运用根与系数的关系求两根和、两根积.
3.提高综合运用基础知识解决较复杂问题的能力.
重难点：理解并掌握根与系数关系：x1+x2=-，x1x2=，并能利用其解题。
一、复习回顾
1.一元二次方程的求根公式是什么？
2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？
二、情境思考
算一算：解下列方程并完成填空：
（1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.
一元二次方程 x1 x2 关系
x2+3x-4=0 -4 1 x1+x2=-3;x1*x2=-4
x2-5x+6=0 2 3 x1+x2=5;x1*x2=6
-1 x1+x2=;x1*x2=
三、知识讲解
（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？
(x-x1)(x-x2)=0.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0
x2+px+q=0
x1+x2= -p ,x1 ·x2=q.
★重要发现
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 ·x2=q.
（2）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？
证一证：
;
归纳：一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
注意：满足上述关系的前提条件：
四、例题精讲
例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1, x2。求：（1） (2)
变式训练：
设x1，x2是方程2x2+4x- 3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。
（1）
（2）
（3）
例2、已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
变式训练：
已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
深入探究：
当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
归纳总结：
★常见的求值:
1. ；
2. ；
3.
4.
5.
注意：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
我的收获
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