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湘教版初中数学九年级上册第三章《图形的相似》单元测试卷
考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如果：：，那么下列各式中不成立的是( )
A. B. C. D.
神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为这体现了数学中的( )
A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 黄金分割
已知四条线段，，，满足，则下列等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
如图，已知、分别为、上的两点，且，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
如图，中，是中线，是角平分线，、交于点若，则的值为( )
A. B. C. D.
如图，，交于点，若，，则下列结论错误的是( )
A.
B.
C.
D.
下列选项中的两个图形一定相似的是( )
A. 两个等腰三角形 B. 两个矩形 C. 两个菱形 D. 两个正方形
如图，已知，、相交于点，分别交、于点、，则图中相似三角形的对数( )
A.
B.
C.
D.
如图，在中，、分别在边、上，，交于，那么下列比例式中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
如图，，表示足球门边框不考虑球门的高度的两个端点，点表示射门点，连接，，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门垂直，为垂足，点在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，，则当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时的长度为( )
A. B. C. D.
九章算术中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
如图，在平面直角坐标中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上．若正方形的边长为，则点坐标为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
已知，，那么______．
如图，是的中线，是上一点，：：，的延长线交于，：为______．
据墨经记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图所示．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 ．
如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，在轴的同侧作等边三角形，使它与位似，且相似比为：若四边形是边长为的菱形，则点的坐标为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
已知，，是的三边长，且，
求的值
若的周长为，求各边的长．
如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片，先折出的中点，再折出线段，然后通过折叠使落到线段上，折出点的新位置，因而类似地，在上折出点，使这时就是的黄金分割点请你证明这个结论．
如图，中，是的中点，在上，、交于点．已知：：：，求值．
如图，在中，点、分别是、上的点，．
若，，，求的长．
连接，作交于点，如图，求证：．
如图，在矩形中，，点，分别在，边上，且若矩形∽矩形，且相似比为，求的长．
如图，在矩形中，，，点是边上的任一点不包括端点，，过点作交的延长线于点，设．
求的长用含的代数式表示；
连接交于点，连接，当时，求证：四边形是菱形．
如图，和中，，点、分别在边、上，．
如图，将绕点逆时针旋转到如图位置，若，求的度数；
如图，将绕点逆时针旋转过程中，当旋转角度______时，直线与垂直；
如图，绕点在平面内自由旋转，连接，且，，求的最大值和最小值．
某一天，小明和小亮来到一河边，想用平面镜和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点点与河对岸岸边上的一棵树的底部点所确定的直线垂直于河岸．
小明到点时正好在平面镜中看到树尖，小亮在点放置平面镜，小亮到点时正好在平面镜中看到树尖，且、、均在的延长线上，小明的眼睛距地面的高度，小亮的眼睛距地面的高度，测得，，，，，，根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽是多少米？
如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
画出绕点顺时针旋转后得到的，写出点的坐标．
以原点为位似中心，画出将三条边放大为原来的倍后得，写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了比例式的性质，利用特殊值法进行排除更为简单，也是数学中的重要思想．
根据比例式的性质得出，的关系，分别代入四个选项即可得出答案，也可用特殊值法求出．
【解答】
解：：：，
，
A.，故本选项正确；
，，故本选项正确；
，，故本选项正确；
，不一定等于，例如，当，时，，
故此选项错误，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为，
又黄金分割比为，
其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为这体现了数学中的黄金分割，
故选：．
利用黄金分割比的意义解答即可．
本题主要考查了数学与自然界与数学知识的联系，熟悉线段的黄金分割是解题的关键．
3.【答案】
【解析】A.由得，故此选项错误
B.根据分式的合比性质，等式一定成立，故此选项正确
C.该等式的变化不符合分式的性质，故此选项错误
D.根据分式的合比性质，等式不一定成立，故此选项错误．
故选B．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，，
，
故选：．
先根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入后得出，代入求出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，于，作交于．
平分，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
如图，过点作于，于，作交于首先证明：：：，推出：：：，即可解决问题．
本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法求出线段的比值，属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故A正确，不符合题意；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故B错误，符合题意；
，
，
，，
，
，
故C正确，不符合题意；
，
，
，
，
，
故D正确，不符合题意．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；
B.任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
C.任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
D.任意两个正方形的对应角对应相等、对应边的比相等，故一定相似，本选项符合题意；
故选：．
形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可
本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．
8.【答案】
【解析】解：
，
∽，∽，
，
，
，
∽，
∽，
，
，
，
，
∽，
，，
∽，
图中相似三角形的对数为，
故选：．
根据平行线的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．根据相似三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理对各选项进行判断即可求解．
【解答】
解：，，
∽，∽，
，，
，故C选项符合题意；
，
，
∽，
，
，故A选项不符合题意；
，
，
，
，
，
，故B选项不符合题意；
∽，
，
，
，
，
不一定等于，
不一定等于，故D选项不符合题意
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是相似三角形的应用的有关知识，根据题意当最大时，，然后利用相似三角形的性质进行求解即可．
【解答】
解：，，
，
当最大时就是带球线路上的最佳射门角，
，
，
，
．
故选C．
11.【答案】
【解析】解：由题意知：，
则，，
∽，
，
，
米，
故选：．
由题意知：∽，得出对应边成比例即可得出．
本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出∽是解决问题的关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出的长是解题关键．
直接利用位似图形的性质结合相似比得出的长，进而得出∽，进而得出的长，即可得出答案．
【解答】
解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，
，
，
，
，
∽，
，
解得：，
，
点坐标为：，
故选：．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了比例的基本性质．解答此题的关键是根据比例的基本性质求得，，三个等式．
根据比例的基本性质两内项之积等于两外项之积解答即可．
【解答】
解：由已知，得
，
，
，
由，得
，
又，
，
；
故答案为：．
14.【答案】：
【解析】解：作交于，
是的中线，
，
，
，
，
：：，
故答案为：：．
作交于，根据三角形中位线定理得到，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．
本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系，根据中线为切入点作出辅助线是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得到：．
解得．
即蜡烛火焰的高度是．
故答案为：．
直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是位似变换的性质、菱形的性质、等边三角形的性质，根据等边三角形的性质求出点的坐标是解题的关键．
根据菱形的性质、等边三角形的性质求出点的坐标，根据位似变换的性质解答即可．
【解答】
解：四边形是菱形，是等边三角形，
是等边三角形，且，
点的坐标为，
与位似，且相似比为：，
点的坐标为．
故答案为：．
17.【答案】解：设，则，，，
．
的周长为，
，即．
解得，
，，．

【解析】本题利用 参数法 ，设，易得，，，再根据问题求解即可．
18.【答案】证明：设正方形纸片的边长为．
为的中点，
，在中，．
，
．
又，
，
点是线段的黄金分割点．
【解析】见答案
19.【答案】解：取中点，连接，如图，
是中点，为的中点，
为的中位线，
，
，
，
．
【解析】取中点，连接，如图，根据三角形中位线性质得到，再利用得到，从而得到的值．
本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理．
20.【答案】解：如图，，
，即，
，
证明：如图，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
如图，根据平行线分线段成比例定理得到，则利用比例性质可计算出的长，然后计算即可
由得到，由得到，利用等量代换得，然后利用比例的性质可得到结论．
21.【答案】解：矩形∽矩形，且相似比为，
，
四边形为矩形，，，
．
【解析】本题考查了相似多边形的性质：对应角相等；对应边的比相等．也考查了矩形的性质．利用相似多边形的性质得到，而根据矩形的性质得到，从而利用比例性质得到，，然后计算即可．
22.【答案】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
证明：四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形．
，
，
在中，，
在中，，
在中，，
如图，过点作于点，
，
∽，
，
，
，
，
，
又，，
是的角平分线，
，
平行四边形是菱形．
【解析】根据矩形的性质可得，，结合题干可得，进而可得，进而可得∽，利用相似三角形的性质可得的长度；
先根据，进而可得四边形是平行四边形，通过勾股定理可得、、，再过点作于点，易得∽，进而利用相似三角形的性质可得的长，即可得，进而可得是的角平分线，最后利用角平分线得性质可得，即可得平行四边形是菱形．
本题主要考查相似三角形的判定与性质、菱形的判定、矩形性质等，解题关键是熟练掌握相关性质与判定．
23.【答案】或
【解析】解：，，
．
垂足在线段上时，
，，
，
，
，即旋转角度；
垂足在线段延长线上时，
，，
，
，
旋转角度；
故答案为：或．
当旋转到射线的延长线上时，最大，此时．
当旋转到线段上时，最小，此时．
的最大值是，最小值是．
根据，即可得的度数；
分两种情况画出图形，根据角的和差即可求解；
当旋转到射线的延长线上时，最大；当旋转到线段上时，最小，分别画出图形即可求解．
题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，角的计算等，本题中根据题意画出图形，利用数形结合的思想是解题的关键．
24.【答案】解：由题意可得：，．
，，，
，
∽，
，即，
，，
∽，
，即，
解由和组成的方程组得．
答：河宽是．
【解析】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息并确定出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．根据题意求出∽，∽，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
25.【答案】解：如图，为所求作的三角形，．
如图所示，则为所求作的三角形，．
【解析】利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可．
利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图位似变换，旋转变换等知识，解题的关键是掌握位似变换，旋转变换的性质，正确作出图形．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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