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1.1.1 空间向量的数量积（第三课时） 导学案
班级： 姓名： 小组： 小组评价： 教师评价：
【预习目标】
自主研读教材，了解空间向量夹角的概念及表示方法.；掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律，可以用数量积证明垂直，求解角度和长度．
【使用说明】
1. 按照导学案的提示自主研读教材，用红笔进行勾画，同时独立完成导学案；
2. 独立完成导学案，找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。
【学习目标】
1.了解空间向量夹角的概念及表示方法.
2.掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律.（重点）
3.可以用数量积证明垂直，求解角度和长度．（重点、难点）
【自主学习】
1. 空间向量的夹角
(1)已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的 ，记作 ．
(2) a，b为非零向量，〈a，b〉＝〈b，a〉 ，a与b的夹角的范围是 ，
其中当〈a，b〉＝0时，a与b ；当〈a，b〉＝π时，a与b ；
当〈a，b〉＝时，a与b ．
反之，若a∥b，则〈a，b〉＝ ；若a⊥b，则〈a，b〉＝ 。
2. 空间向量数量积
（1）概念：已知两个非零向量a，b，则 叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
（2）投影向量：向量a向向量b投影，得到c=|a||b|cos〈a，b〉= ,向量c称为向量a在向量b上的投影向量。
（3）性质
a⊥b ， |a|2＝ ， |a|＝ ，
cos〈a，b〉＝ ，|a·b| 。
（4）运算律
λ(a·b)＝ ，a·b＝ (交换律)． a·(b＋c)＝ (分配律)．
特别提醒：不满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．
【小试牛刀】
1. 判断正错
(1)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.( )
(2)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．( )
(3)对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.( )
(4)对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.( )
2．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是 ( 　　)．
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
【问题解决】
题型一　数量积的计算
例2　如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)·； (2)·； (3)·； (4)·.
　
题型二　利用数量积求夹角
题型三 利用数量积求距离
【当堂检测】
1．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是(　 　)．
A．与
B．与
C．与
D．与
2．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于(　 　)
A． B．97
C． D．61
3.已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________．
4.已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
5．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________．
【体系构建】
画出本课题的思维导图
【学习评价】
（3颗星合格，4颗星以上优秀）
内容 评价标准 星数 总数
学习过程 认真参与所有“做一做”“想一想”等，获得3颗星
问题解决 解决一个问题获得一颗星
体系构建 构建体系获得1-2颗星
2，
例1
例3
例4

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