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专题12—三角恒等变换
考试说明：1、能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式；
能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
能利用上述公式进行简单的恒等变换。
高频考点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式；
倍角公式与其他三角公式的应用；
三角恒等变换综合问题（与三角函数、解三角形、平面向量结合考查）
三角恒等变换是高考考查的热点，主要以选择和填空的形式考查，大题偶尔也会出现，属于中低档题，这部分公式应用比较灵活，所以很多学生掌握的不是很好，平时做题时要注意总结公式是怎么用的，把公式的变形也要记得非常熟练。
典例分析
1．（2021 甲卷）若，，则　　
A． B． C． D．
2．（2020 新课标Ⅲ）已知，则　　
A． B． C．1 D．2
3．（2020 新课标Ⅲ）已知，则　　
A． B． C． D．
4．（2020 新课标Ⅰ）已知，且，则　　
A． B． C． D．
5．（2019 全国）已知，则　　
A． B． C．3 D．5
6．（2019 上海）已知．有下列两个结论：
①存在在第一象限，在第三象限；
②存在在第二象限，在第四象限；
则　　
A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对
7．（2018 新课标Ⅰ）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则　　
A． B． C． D．1
8．（2015 重庆）若，则　　
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2019 新课标Ⅰ）函数的最小值为　　．
10．（2019 江苏）已知，则的值是　　．
11．（2021 浙江）设函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在，上的最大值．
12．（2018 浙江）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若角满足，求的值．
真题集训
1．（2019 新课标Ⅱ）已知，，则　　
A． B． C． D．
2．（2018 新课标Ⅱ）若在，是减函数，则的最大值是　　
A． B． C． D．
3．（2016 新课标Ⅲ）若，则　　
A． B． C． D．
4．（2014 新课标Ⅰ）设，，且，则　　
A． B． C． D．
5．（2020 江苏）已知，则的值是　　．
6．（2018 新课标Ⅱ）已知，，则　　．
7．（2017 上海）设、，且，则的最小值等于　　．
8．（2016 上海）若函数的最大值为5，则常数　　．
9．（2016 浙江）已知，则　　，　　．
10．（2015 天津）已知函数，．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间，内的最大值和最小值．
11．（2015 四川）如图，、、、为平面四边形的四个内角．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，，，，，求的值．
12．（2016 天津）已知函数．
（1）求的定义域与最小正周期；
（2）讨论在区间，上的单调性．
典例分析答案
1．（2021 甲卷）若，，则　　
A． B． C． D．
分析：把等式左边化切为弦，再展开倍角公式，求解，进一步求得，再由商的关系可得的值．
解答：解：由，得，
即，
，，
则，解得，
则，
．
故选：．
点评：本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．
2．（2020 新课标Ⅲ）已知，则　　
A． B． C．1 D．2
分析：利用两角和差的正切公式进行展开化简，结合一元二次方程的解法进行求解即可．
解答：解：由，得，
即，
得，
即，
即，
则，
故选：．
点评：本题主要考查三角函数值的化简和求解，结合两角和差的正切公式以及配方法是解决本题的关键．难度中等．
3．（2020 新课标Ⅲ）已知，则　　
A． B． C． D．
分析：利用两角和差的三角公式，进行转化，利用辅助角公式进行化简即可．
解答：解：，
，
即，
得，
即，
得
故选：．
点评：本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用两角和差的三角公式以及辅助角公式进行转化是解决本题的关键．难度不大．
4．（2020 新课标Ⅰ）已知，且，则　　
A． B． C． D．
分析：利用二倍角的余弦把已知等式变形，化为关于的一元二次方程，求解后再由同角三角函数基本关系式求得的值．
解答：解：由，得，
即，解得（舍去），或．
，，，
则．
故选：．
点评：本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与二倍角公式的应用，是基础题．
5．（2019 全国）已知，则　　
A． B． C．3 D．5
分析：利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式化简所求表达式为正切函数的形式，代入求解即可．
解答：解：，
则．
故选：．
点评：本题考查三角函数化简求值，同角三角函数基本关系式以及二倍角公式的应用．
6．（2019 上海）已知．有下列两个结论：
①存在在第一象限，在第三象限；
②存在在第二象限，在第四象限；
则　　
A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对
分析：考虑运用二次方程的实根的分布，结合导数判断单调性可判断①；运用特殊值法，令，结合两角和的正切公式，计算可得所求结论，可判断②．
解答：解：由，
即为，
设，，可得，
若，可得上式关于的方程有两个同号的根，若为两个正根，可得，
即有，考虑△，，
当时，递减，可得（1），则方程无解，
在第三象限不可能，故①错；
可令，
由，
即为，
可得，
解得，存在在第四象限，故②对．
故选：．
点评：本题考查三角函数的正切公式，以及方程思想、运算能力，属于基础题．
7．（2018 新课标Ⅰ）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则　　
A． B． C． D．1
分析：推导出，从而，进而．由此能求出结果．
解答：解：角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，
终边上有两点，，且，
，解得，
，，
．
故选：．
点评：本题考查两数差的绝对值的求法，考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
8．（2015 重庆）若，则　　
A．1 B．2 C．3 D．4
分析：直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可．
解答：解：，则
．
故选：．
点评：本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力．
9．（2019 新课标Ⅰ）函数的最小值为　　．
分析：先利用诱导公式，二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合二次函数的 单调性即可去求解最小值
解答：解：，
，
令，则，
令的开口向下，对称轴，在，上先增后减，
故当即时，函数有最小值．
故答案为：
点评：本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦公式在三角函数时化简求值中的应用及利用余弦函数，二次函数的性质求解最值的应用，属于基础试题
10．（2019 江苏）已知，则的值是　　．
分析：由已知求得，分类利用万能公式求得，的值，展开两角和的正弦求的值．
解答：解：由，得，
，解得或．
当时，，，
；
当时，，，
．
综上，的值是．
故答案为：．
点评：本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是中档题．
11．（2021 浙江）设函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在，上的最大值．
分析：（Ⅰ）由，可得，然后利用周期公式求出周期；
（Ⅱ），由，，得到的取值范围，再利用整体法求出的最大值．
解答：解：函数，
（Ⅰ）函数
，
则最小正周期为；
（Ⅱ）函数
，
因为，所以，
所以当，即时，．
点评：本题考查了三角函数的图像性质，涉及求解函数的周期以及最值问题，考查了运算能力，属于基础题．
12．（2018 浙江）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若角满足，求的值．
分析：（Ⅰ）由已知条件即可求，则的值可得；
（Ⅱ）由已知条件即可求，，，再由代值计算得答案．
解答：解：（Ⅰ）角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点，．
，，，
；
（Ⅱ）由，，，
得，，
又由，
得，
则，
或．
的值为或．
点评：本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，是中档题．
真题集训答案
1．解：，
可得：，
，，，
，
，
解得：．
故选：．
2．解：，
由，，
得，，
取，得的一个减区间为，，
由在，是减函数，
得．
则的最大值是．
故选：．
3．解：，
．
故选：．
4．解：由，得：
，
即，
，
，，
当时，成立．
故选：．
5．解：因为，则，
解得，
故答案为：
6．解：，
两边平方可得：，①，
，
两边平方可得：，②，
由①②得：，即，
．
．
故答案为：．
7．解：根据三角函数的性质，可知，的范围在，，
要使，
，．
则：，．
，即，．
那么：，、．
的最小值为．
故答案为：．
8．解：由于函数，其中，，，
故的最大值为，，
故答案为：．
9．解：
，
，，
故答案为：；1．
10．解：（Ⅰ）化简可得
的最小正周期；
（Ⅱ），，，，
，，，，
在区间，内的最大值和最小值分别为，
11．证明：（Ⅰ）．等式成立．
（Ⅱ）由，得，，由（Ⅰ）可知：，连结，在中，有，，，，，
在中，有，
所以，
则：．
于是，
连结，同理可得：，
于是．
所以．
12．解：（1）．
，即函数的定义域为，，
则
，
则函数的周期；
（2）由，，
得，，即函数的增区间为，，，
当时，增区间为，，，
，，此时，，
由，，
得，，即函数的减区间为，，，
当时，减区间为，，，
，，此时，，
即在区间，上，函数的减区间为，，增区间为，．

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