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专题19—平面向量（1）
考试说明：1、理解平面向量的概念，向量的几何表示；
掌握平面向量的加法、减法、数乘运算，及其几何意义；
了解平面向量共线定理、基本定理及其意义；
会用坐标表示平面向量的线性运算，以及共线的条件；
理解平面向量数量积的含义及其物理意义，并会用坐标表示数量积；
能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断垂直关系；
会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
高频考点：1、平面向量基本定理及其意义；
用坐标表示平面向量的加法、减法、数乘、数量积
、夹角、模等运算；
平面向量数量积与三角函数、解三角形的综合应用。
高考中，平面向量是必考的考点，一般以小题的形式考查，有时考查基本的运算，属于基础题，有时考查综合题，难度不小，给大家把近几年的高考题总结如下，希望对同学们有所帮助。
典例分析
1．（2020 新课标Ⅲ）已知向量，满足，，，则，　　
A． B． C． D．
2．（2016 山东）已知非零向量，满足，，．若，则实数的值为　　
A．4 B． C． D．
3．（2021 上海）在中，为中点，为中点，则以下结论：①存在，使得；②存在，使得；它们的成立情况是　　
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
4．（2020 山东）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
5．（2018 天津）在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为　　
A． B． C． D．0
6．（2017 浙江）如图，已知平面四边形，，，，与交于点，记，，，则　　
A． B． C． D．
7．（2016 天津）已知是边长为1的等边三角形，点、分别是边、的中点，连接并延长到点，使得，则的值为　　
A． B． C． D．
8．（2021 新高考Ⅰ）（多选题）已知为坐标原点，点，，，，，则　　
A． B．
C． D．
9．（2021 新高考Ⅱ）已知向量，，，则　　．
10．（2020 江苏）在中，，，，在边上，延长到，使得．若为常数），则的长度是 　　．
真题集训
1．（2019 新课标Ⅰ）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
2．（2018 新课标Ⅰ）在中，为边上的中线，为的中点，则　　
A． B． C． D．
3．（2015 重庆）若非零向量，满足，且，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
4．（2016 上海）设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：
①若，则；
②若，则．
关于以上两个结论，正确的判断是　　
A．①成立，②不成立 B．①不成立，②成立
C．①成立，②成立 D．①不成立，②不成立
5．（2020 上海）三角形中，是中点，，，，则　　．
6．（2019 天津）在四边形中，，，，，点在线段的延长线上，且，则　　．
7．（2019 江苏）如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点．若，则的值是　　．
8．（2017 山东）已知， 是互相垂直的单位向量，若 与的夹角为，则实数的值是　　．
9．（2017 天津）在中，，，．若，，且，则的值为　　．
10．（2017 江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为．若，则　　．
11．（2015 四川）设四边形为平行四边形，，，若点、满足，，则　　
A．20 B．15 C．9 D．6
12．（2014 上海）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，是大正方形的一条边，，2，，是小正方形的其余顶点，则，2，，的不同值的个数为　　
A．7 B．5 C．3 D．1
典例分析答案
1．（2020 新课标Ⅲ）已知向量，满足，，，则，　　
A． B． C． D．
分析：利用已知条件求出，然后利用向量的数量积求解即可．
解答：解：向量，满足，，，
可得，
，．
故选：．
点评：本题考查平面向量的数量积的应用，数量积的运算以及向量的夹角的求法，是中档题．
2．（2016 山东）已知非零向量，满足，，．若，则实数的值为　　
A．4 B． C． D．
分析：若，则，进而可得实数的值．
解答：解：，，，，
，
解得：，
故选：．
点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．
3．（2021 上海）在中，为中点，为中点，则以下结论：①存在，使得；②存在，使得；它们的成立情况是　　
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
分析：设，，，，，由向量数量的坐标运算即可判断①；为中点，可得，由为中点，可得与的交点即为重心，从而可判断②
解答：解：不妨设，，，，，
①，，
若，则，即，
满足条件的存在，例如，满足上式，所以①成立；
②为中点，，与的交点即为重心，
因为为的三等分点，为中点，
所以与不共线，即②不成立．
故选：．
点评：本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．
4．（2020 山东）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
分析：画出图形，结合向量的数量积转化判断求解即可．
解答：解：画出图形如图，
，它的几何意义是的长度与在向量的投影的乘积，显然，在处时，取得最大值，，可得，最大值为6，
在处取得最小值，，最小值为，
是边长为2的正六边形内的一点，
所以的取值范围是．
故选：．
点评：本题考查向量的数量积的应用，向量在几何中的应用，是中档题．
5．（2018 天津）在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为　　
A． B． C． D．0
分析：解法Ⅰ，由题意判断，且，
再利用余弦定理求出和的余弦值，计算即可．
解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形是平行四边形，
由题意求得的值．
解答：解：解法Ⅰ，由题意，，，
，，且，
又，
；
，
，
．
解题Ⅱ：不妨设四边形是平行四边形，
由，，，，，
知，
．
故选：．
点评：本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．
6．（2017 浙江）如图，已知平面四边形，，，，与交于点，记，，，则　　
A． B． C． D．
分析：根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．
解答：解：，，，
，
，
由图象知，，
，，
即，
方法
如图：作线段的垂直平分线，
由于，
因此，在直线的同侧，
则，，
进而，在等腰三角形中，，
这样就有，
故选：．
点评：本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．
7．（2016 天津）已知是边长为1的等边三角形，点、分别是边、的中点，连接并延长到点，使得，则的值为　　
A． B． C． D．
分析：由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．
解答：解：如图，
、分别是边、的中点，且，
．
故选：．
点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．
8．（2021 新高考Ⅰ）（多选题）已知为坐标原点，点，，，，，则　　
A． B．
C． D．
分析：法一、由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案；
法二、由题意画出图形，利用向量的模及数量积运算逐一分析四个选项得答案．
解答：解：法一、，，，，，
，，
，，，
，，
则，，则，故正确；
，
，
，故错误；
，
，
，故正确；
，
，
，故错误．
故选：．
法二、如图建立平面直角坐标系，
，作出单位圆，并作出角，，，
使角的始边由重合，终边交圆于点，角的始边为，终边交圆于，
角的始边为，交圆于，于是，，，，
由向量的模与数量积可知，、正确；、错误．
故选：．
点评：本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数，考查运算求解能力，是中档题．
9．（2021 新高考Ⅱ）已知向量，，，则　　．
分析：或或，三等式两边平方可解决此题．
解答：解：方法1：由得或或，
或或，
又，，，，，
，，，．
故答案为：．
方法．
故答案为：．
点评：本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力，属于基础题．
10．（2020 江苏）在中，，，，在边上，延长到，使得．若为常数），则的长度是 　　．
分析：以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，求得与的坐标，再把的坐标用表示．由列式求得值，然后分类求得的坐标，则的长度可求．
解答：解：如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，
则，，
由，得，
整理得：
，，，．
由，得，解得或．
当时，，此时与重合，；
当时，直线的方程为，
直线的方程为，
联立两直线方程可得，．
即，，
．
的长度是0或．
故答案为：0或．
点评：本题考查向量的概念与向量的模，考查运算求解能力，利用坐标法求解是关键，是中档题．
真题集训答案
1．解：，
，
，
，．
故选：．
2．解：在中，为边上的中线，为的中点，
，
故选：．
3．解：，
，
即，
即，
，，
即，
，，
即，，
故选：．
4．解：①假设存在实数使得，则，向量与既不平行也不垂直，，，
满足，因此．
②若，
则，无法得到，因此不一定正确．
故选：．
5．解：在中，，，，
由余弦定理得，，
，且是的中点，
．
故答案为：．
6．解：，，，
在等腰三角形中，，
又，，
，
，
又，
故答案为：．
7．解：设，
，，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：
8解：【方法一】由题意，设，，
则，，
；
又夹角为，
，
即，
解得．
【方法二】， 是互相垂直的单位向量，
，且；
又 与的夹角为，
，
即，
化简得，
即，
解得．
故答案为：．
9．解：如图所示，
中，，，，
，
，
又，
，
，
解得．
故答案为：．
10．解：如图所示，建立直角坐标系．．
．
由与的夹角为，且．
，．
．
．
．
．
．
，
，，
解得，．
则．
故答案为：3．
11．解：四边形为平行四边形，点、满足，，
根据图形可得：，
，
，
，
，
，
，，
故选：．
12．解：如图建立平面直角坐标系，
则，，，，，，，，，
，，，，，，，，
，，，，，，，
，2，，的不同值的个数为3，
故选：．

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