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专题20—平面向量（2）—最值问题
考试说明：1、了解平面向量数量积的应用；
了解平面向量的综合问题
会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
高频考点：1、平面向量加法、减法的几何意义，及其在最值问题中的应用；
坐标法在最值问题中的应用
平面向量数量积与三角函数、解三角形的综合应用；
高考中，平面向量这部分经常考查最值问题，难度较大，学生会感觉很难把握，现给大家把高考中平面向量中的最值问题整理一下，希望对大家有所帮助。
典例分析
1．（2018 天津）如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最小值为　　
A． B． C． D．3
2．（2018 浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是　　
A． B． C．2 D．
3．（2017 新课标Ⅱ）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　
A． B． C． D．
4．（2017 新课标Ⅲ）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为　　
A．3 B． C． D．2
5．（2017 上海）如图所示，正八边形的边长为2，若为该正八边形边上的动点，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
6．（2016 四川）在平面内，定点，，，满足，，动点，满足，，则的最大值是　　
A． B． C． D．
7．（2016 四川）已知正三角形的边长为，平面内的动点，满足，，则的最大值是　　
A． B． C． D．
8．（2021 天津）在边长为1的等边三角形中，为线段上的动点，且交于点，且交于点，则的值为 　1　；的最小值为 　　．
9．（2021 浙江）已知平面向量，，满足，，，．记平面向量在，方向上的投影分别为，，在方向上的投影为，则的最小值是 　　．
10．（2020 天津）如图，在四边形中，，，，且，，则实数的值为　　，若，是线段上的动点，且，则的最小值为　　．
真题集训
1．（2015 福建）已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于　　
A．13 B．15 C．19 D．21
2．（2015 湖南）已知，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为　　
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（2014 浙江）设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，的最小值为1．　　
A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定
C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定
4．（2014 湖南）在平面直角坐标系中，为原点，，，，动点满足，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
5．（2014 浙江）记，，，，设，为平面向量，则　　
A．，， B．，，
C．， D．，
6．（2020 上海）已知，，，，，是平面内两两互不相等的向量，满足，且，（其中，2，，2，，，则的最大值是　　．
7．（2020 浙江）已知平面单位向量，满足．设，，向量，的夹角为，则的最小值是　　．
8．（2020 上海）已知、、、、五个点，满足，2，，，2，，则的最小值为　　．
9．（2019 浙江）已知正方形的边长为1．当每个，2，3，4，5，取遍时，的最小值是 　　，最大值是 　　．
10．（2018 上海）在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为　　．
11．（2017 江苏）在平面直角坐标系中，，，点在圆上．若，则点的横坐标的取值范围是　　．
12．（2016 上海）如图，已知点，，，是曲线上一个动点，则的取值范围是　　．
13．（2016 浙江）已知向量，，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值是　　．
14．（2016 上海）在平面直角坐标系中，已知，，是曲线上一个动点，则的取值范围是　 ．
15．（2015 上海）已知平面向量、、满足，且，，，2，，则的最大值是　　．
典例分析答案
1．（2018 天津）如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最小值为　　
A． B． C． D．3
分析：如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，求出，，的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．
解答：解：如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，
以所在的直线为轴，
过点做轴，过点做轴，
，，，，
，，
，
，
，
，
，，，，
设，
，，，，
，
当时，取得最小值为．
故选：．
点评：本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题．
2．（2018 浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是　　
A． B． C．2 D．
分析：把等式变形，可得得，即，设，则的终点在以为圆心，以1为半径的圆周上，再由已知得到的终点在不含端点的两条射线上，画出图形，数形结合得答案．
解答：解：由，得，
，
如图，不妨设，
则的终点在以为圆心，以1为半径的圆周上，
又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点的两条射线上．
不妨以为例，则的最小值是到直线的距离减1．
即．
故选：．
点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属难题．
3．（2017 新课标Ⅱ）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　
A． B． C． D．
分析：根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
解答：解：建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，
则，，，
设，则，，，
则
当，时，取得最小值，
方法2：取的中点，的中点，
则，，
当且仅当与重合时，取得等号．
故选：．
点评：本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．
4．（2017 新课标Ⅲ）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为　　
A．3 B． C． D．2
分析：方法一：如图：以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点的坐标为，，根据，求出，，根据三角函数的性质即可求出最值．
方法二：根据向量分解的等系数和线直接可得．
解答：解：如图：以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，
则，，，，
动点在以点为圆心且与相切的圆上，
设圆的半径为，
，，
，
，
圆的方程为，
设点的坐标为，，
，
，，，，，
，，
，其中，
，
，
故的最大值为3，
方法二：根据向量分解的等系数和线，可得的最大值为3，如图所述
故选：．
点评：本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
5．（2017 上海）如图所示，正八边形的边长为2，若为该正八边形边上的动点，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
分析：由题意求出以为起点，以其它顶点为向量的模，再由正弦函数的单调性及值域可得当与重合时，取最小值，求出最小值，结合选项得答案．
解答：解：由题意，正八边形的每一个内角为，
且，，，．
再由正弦函数的单调性及值域可得，
当与重合时，最小为．
结合选项可得的取值范围为．
故选：．
点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．
6．（2016 四川）在平面内，定点，，，满足，，动点，满足，，则的最大值是　　
A． B． C． D．
分析：由，可得为的外心，又，可得可得为的垂心，则为的中心，即为正三角形．运用向量的数量积定义可得的边长，以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，求得，的坐标，再设，，由中点坐标公式可得的坐标，运用两点的距离公式可得的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．
解答：解：由，可得为的外心，
又，可得
，，
即，
即有，，可得为的垂心，
则为的中心，即为正三角形．
由，即有，
解得，的边长为，
以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
可得，，，
由，可设，，
由，可得为的中点，即有，，
则
，
当，即时，取得最大值，且为．
另解：如图，根据已知，有，
因此有、、全等，
进而得到为正三角形，计算可得，
根据题意在以为圆心、1为半径的圆上运动，因此的中点在以为圆心、为半径的圆上运动，
其中点为的中点，因此的最大值为．
故选：．
点评：本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
7．（2016 四川）已知正三角形的边长为，平面内的动点，满足，，则的最大值是　　
A． B． C． D．
分析：如图所示，建立直角坐标系．，．．点的轨迹方程为：，令，，，．又，可得，代入，即可得出．
解答：解：如图所示，建立直角坐标系．
，．
．
满足，
点的轨迹方程为：，
令，，，．
又，则，
．
的最大值是．
也可以以点为坐标原点建立坐标系．
解法二：取中点，，从而轨迹为以为圆心，为半径的圆，，，三点共线时，为最大值．所以最大值为．
故选：．
点评：本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（2021 天津）在边长为1的等边三角形中，为线段上的动点，且交于点，且交于点，则的值为 　　；的最小值为 　　．
分析：设，表示出，，，利用数量积的定义与性质即可求出．
解答：解：如图，设，
是边长为1等边三角形，，
，，，，
，是边长为等边三角形，，
，
则，
，，
的最小值为．
故答案为：1，．
点评：本题考查向量的数量积的定义，向量的运算法则，二次函数求最值，属于中档题．
9．（2021 浙江）已知平面向量，，满足，，，．记平面向量在，方向上的投影分别为，，在方向上的投影为，则的最小值是 　　．
分析：首先由所给的关系式得到，，之间的关系，然后求解其最小值即可．
解答：解：令，
因为，故，，，，令，
平面向量在，方向上的投影分别为，，设，
则：，
从而：，故，
方法一：由柯西不等式可得，
化简得，当且仅当，即 时取等号，
故 的最小值为．
方法二：则表示空间中坐标原点到平面 上的点的距离的平方，
由平面直角坐标系中点到直线距离公式推广得到的空间直角坐标系中点到平面距离公式可得：
．
故答案为：．
点评：本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量的坐标运算，平面向量的投影，类比推理的应用等知识，属于难题．
10．（2020 天津）如图，在四边形中，，，，且，，则实数的值为　　，若，是线段上的动点，且，则的最小值为　　．
分析：以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点的坐标，即可求出的值，再设出点，的坐标，根据向量的数量积可得关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．
解答：解：以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，
，，
，，
，
，
，
，
设，，
，，，，
，解得，
，，
，，
，
，
，
设，则，其中，
，，，，
，当时取得最小值，最小值为，
故答案为：，．
点评：本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．
真题集训答案
1．解：由题意建立如图所示的坐标系，
可得，，，，
，，
，，，
，
由基本不等式可得，
，
当且仅当即时取等号，
的最大值为13，
故选：．
2．解：由题意，为直径，所以
所以为时，．
所以的最大值为7．
另解：设，
，，，，
当时，为，取得最大值7．
故选：．
3．解：由题意可得
令
可得△
由二次函数的性质可知恒成立
当时，取最小值1．
即
故当唯一确定时，唯一确定，
故选：．
4．解：动点满足，，
可设，，．
又，，
．
，（其中，
，
，
的取值范围是．
或，，
将其起点平移到点，由其与同向反向时分别取最大值、最小值，即的取值范围是．
故选：．
5．解：对于选项，取，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；
对于选项，取，是非零的相等向量，则不等式左边，，显然，不等式不成立；
对于选项，取，是非零的相等向量，则不等式左边，，而不等式右边，故不成立，选项正确．
故选：．
6．解：如图，设，，
由，且，，
分别以，为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．
故满足条件的的最大值为6．
故答案为：6．
7．解：设、的夹角为，由，为单位向量，满足，
所以，
解得；
又，，且，的夹角为，
所以，
，
；
则，
所以时，取得最小值为．
故答案为：．
8．解：设，则，，
设，如图，
求的最小值，则：
，，，
，当且仅当，即时取等号，
的最小值为．
故答案为：．
9．解：正方形的边长为1，可得，，
，
，
由于，2，3，4，5，取遍，
可得，，可取，，，，
可得所求最小值为0；
由，的最大值为4，可取，，，，，
可得所求最大值为．
故答案为：0，．
10．解：根据题意，设，；
；
，或；
且；
；
当时，；
的最小值为；
的最小值为，同理求出时，的最小值为．
故答案为：．
11．解：根据题意，设，，则有，
，，，
化为：，
即，表示直线以及直线上方的区域，
联立，解可得或，
结合图形分析可得：点的横坐标的取值范围是，，
故答案为：，．
12．解：设，则，
由，，得：，
，
令，，，
则，，，
故的范围是，，
故答案为：，．
13．解：由绝对值不等式得，
于是对任意的单位向量，均有，
，
，
因此的最大值，
则，
下面证明：可以取得，
（1）若，则显然满足条件．
（2）若，此时，
此时于是，符合题意，
综上的最大值是，
法2：由于任意单位向量，可设，
则，
，，
即，
即，
，，
，
即的最大值是．
法三：设，，，
则，，
，
由题设当且仅当与同向时，等号成立，此时取得最大值6，
由于，
于是取得最小值4，
则，
的最大值是．
故答案为：．
14．解：在平面直角坐标系中，，，
是曲线上一个动点，
设，，，
，，
，
的取值范围是，．
故答案为：，．
15．解：分别以所在的直线为，轴建立直角坐标系，
①当，，，，则，
设，则，
，
的最大值，其几何意义是圆上点与定点的距离的最大值为；
②且，，，，则，，
的最大值，其几何意义是圆上点与定点的距离的最大值为，
③，，，，则，
设，则
的最大值，其几何意义是在圆
上取点与定点的距离的最大值为
，
故的最大值为．
故答案为：

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