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第7课 函数的周期性及对称性
一、目标导引
提出问题：
1．如果函数对任意实数，都有，求的值.
2．已知函数的图象如图所示，回答下列问题：
（1）求函数的周期；
（2）你能写出函数的解析式吗？
思考：画出函数的图象.
问题：从以上两题，你能得到什么一般性的结论？
二、知识梳理
函数的周期性及对称性：
周期函数 轴对称 中心对称
前提条件
图象特征
图形表示
代数表示
结构特征
三、问题研讨
问题1：函数周期性
例题1：已知在上满足，当时，，则 .
问题2：函数的对称性
例题2：（1）与函数的图象：
关于轴对称的函数是 ；关于原点对称的函数是 ；
关于轴对称的函数是 .
（2）设函数定义在实数集上，它的图象关于直线对称，且当时，，比较的大小.
问题3：简单应用
例题3：设函数为奇函数，，且，
则 .
问题4：综合应用
例题4：定义在上的偶函数满足：，且在上是增函数，下列关于的判断：
①是周期函数；②的图象关于直线对称；
③在上是增函数；④在上是减函数；⑤．
其中判断正确的序号是 ．
四、总结提升
1．三角函数的周期性：
函数的周期为；函数的周期为.
函数的周期为；函数的周期为.
2．由函数所满足的结构特征，判断函数所具有的性质（）：
结构特征 性质 结构特征 性质
五、即时检测
1. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若，
则（ ）
A. B. C. D.
2. 若函数是定义在上的偶函数，且，若当时，，则_______．
第7课 函数的周期性及对称性
一、目标导引
提出问题：
1．如果函数对任意实数，都有，求的值.
解法一：取，得，∴，解得.
解法二：由得，函数的图象关于直线对称，
由二次函数的性质得，∴.
2．已知函数的图象如图所示，回答下列问题：
（1）求函数的周期；
（2）你能写出函数的解析式吗？
解答：（1）2；
（2）.
思考：画出函数的图象.
问题：从以上两题，你能得到什么一般性的结论？
二、知识梳理
函数的周期性及对称性：
周期函数 轴对称 中心对称
前提条件
图象特征
图形表示
代数表示
结构特征
预设：
周期函数 轴对称 中心对称
前提条件 定义域中的任意
图象特征 函数值重复出现 关于直线对称 关于点对称
图形表示
代数表示 图象平移个单位，函数值相等 点与点关于直线对称 点与点关于点对称
结构特征
三、问题研讨
问题1：函数周期性
例题1：已知在上满足，当时，，则 .
解：，周期为4.
；又.
提炼：利用函数的周期性解决求值或求解析式的问题，关键在于利用函数的周期将所求的值或者范围转化到已知解析式的范围内，进而求解.
问题2：函数的对称性
例题2：（1）与函数的图象：
关于轴对称的函数是 ；关于原点对称的函数是 ；
关于轴对称的函数是 .
（2）设函数定义在实数集上，它的图象关于直线对称，且当时，，比较的大小.
解：（1）；；.
（2）依题意，，，，
在递增，，则 .
提炼：利用函数的对称性可以解决比较大小的问题，利用对称性将所求的函数值转化到已知解析式的范围内或是同一个单调区间内是解决此类问题的关键.
问题3：简单应用
例题3：设函数为奇函数，，且，
则 .
解：，，所以周期为4.
.
提炼:奇偶性与周期性综合应用的问题，熟练应用性质及化归与转化的思想方法才能解决好此类问题.
问题4：综合应用
例题4：定义在上的偶函数满足：，且在上是增函数，下列关于的判断：
①是周期函数；②的图象关于直线对称；
③在上是增函数；④在上是减函数；⑤．
其中判断正确的序号是 ．
答案：①②⑤
解析：，故是周期函数．
又，所以，故的图象关于直线对称．
同理，，所以的图象关于直线对称．
由在上是增函数，得在上是减函数，在上是增函数．
因此可得①②⑤正确．
提炼：奇偶性、单调性、周期性、对称性的综合问题，对学生的要求较高，可借助抽象函数的图象来帮助理解.
四、总结提升
1．三角函数的周期性：
函数的周期为；函数的周期为.
函数的周期为；函数的周期为.
2．由函数所满足的结构特征，判断函数所具有的性质（）：
结构特征 性质 结构特征 性质
周期： 周期：
周期： 周期：
轴对称： 中心对称：
五、即时检测
1. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若，
则（ ）
A. B. C. D.
答案 A
提示：利用函数的周期性（周期为4）和奇函数的性质，将分别求出.
2. 若函数是定义在上的偶函数，且，若当时，，则_______．
答案 6
提示：发现周期性（周期为6）与对称性（偶函数），将转化到已知解析式的区间.

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