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第8课 函数的导数
一、目标导引
问题：如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入五种底面积相同的容器中，请分别画出水的高度与时间的函数关系的图象，并画出其导函数图象的大致形状.
二、知识梳理
1．导数知识结构梳理：
导数 实际问题 代数表示 几何意义
概念 平均速度： 平均变化率： 割线的斜率：
瞬时速度： 瞬时变化率： 切线的斜率：
应用 生活中的优化问题 导数的计算： 求切线的方程：
利用导数研究函数的性质：
利用导数研究函数的性质：单调性（极值、最值）
2．导数的计算：
基本初等函数的导数公式 导数的运算法则：
原函数 导函数
复合函数的导数：若，则
三、问题研讨
问题1：导数的概念
例题1：一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－t2＋2t，那么速度为零的时刻是 (　　)
A.0秒　　　　B.1秒末 C.2秒末 D.1秒末和2秒末
问题2：导数的计算
例题2：求下列函数的导数：
（1）； （2）； （3）； （4）.
问题3：导数的几何意义
例题2：（1）如果函数的图象如右图，那么导函数的图象可能是
（1）设，若，则在点处的切线方程为 ．
问题4：导数的应用
例题4：证明：曲线上任意一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积是定值，并求出该定值.
问题5：综合应用
例题5：对于正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，求数列的前项和公式.
四、总结提升
1．函数在处的瞬时变化率
2．理解导数的概念时，要注意，与的区别：是函数的导函数，是在处的导数值，是常量，而.
3．求曲线的切线时，要分清在点处的切线与过点的切线的区别；
切线方程：．
五、即时检测
设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
第8课 函数的导数
一、目标导引
问题：如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入五种底面积相同的容器中，请分别画出水的高度与时间的函数关系的图象，并画出其导函数图象的大致形状.
解答：对应的图象依次如下：
说明：函数反映运动变化的规律，导数则反映运动变化的快慢.
二、知识梳理
1．导数知识结构梳理：
导数 实际问题 代数表示 几何意义
概念 平均速度： 平均变化率： 割线的斜率：
瞬时速度： 瞬时变化率： 切线的斜率：
应用 生活中的优化问题 导数的计算： 求切线的方程：
利用导数研究函数的性质：
预设：
导数 实际问题 代数表示 几何意义
概念 平均速度： 平均变化率： 割线的斜率：
瞬时速度： 瞬时变化率： 切线的斜率：
应用 生活中的优化问题 导数的计算：1．常用函数的导数： 2．基本初等函数的导数；3．导数的运算法则；4．复合函数的导数. 求切线的方程：1．在点处2．过点作切线
利用导数研究函数的性质：单调性（极值、最值）
2．导数的计算：
基本初等函数的导数公式 导数的运算法则：
原函数 导函数
复合函数的导数：若，则
预设：
基本初等函数的导数公式 导数的运算法则：
原函数 导函数
复合函数的导数：若，则.
三、问题研讨
问题1：导数的概念
例题1：一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－t2＋2t，那么速度为零的时刻是 (　　)
A.0秒　　　　B.1秒末 C.2秒末 D.1秒末和2秒末
问题2：导数的计算
例题2：求下列函数的导数：
（1）； （2）； （3）； （4）.
答案：（1）；（2）；（3）；（4）.
提炼：求函数的导数是利用导数解决其他问题的基础，必须牢记基本初等函数的求导公式及运算法则及复合函数的求导公式，解题时认真细心，杜绝计算错误.
问题3：导数的几何意义
例题2：（1）如果函数的图象如右图，那么导函数的图象可能是
答案：A
（2）设，若，则在点处的切线方程为 ．
答案：
提示：，，
，，解得，，
由点斜式得，在点处的切线方程为，
即.
提炼：导数的几何意义的问题注意以下几点：在切点处的导数值为切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上；没有给出切点坐标要先设切点坐标，列出方程组求解相应问题.
问题4：导数的应用
例题4：证明：曲线上任意一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积是定值，并求出该定值.
解：设曲线动点，，
切线的方程为：，
则其与坐标轴交于，，
三角形的面积.
问题5：综合应用
例题5：对于正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，求数列的前项和公式.
解：，，
当时，，，
∴曲线在处的切线方程为，
当时，，，
∴数列的前项和为.
提炼：例题为导数的几何意义结合数列解决相应问题，注意导数的几何意义问题与其他内容的结合，解决的要点还是要抓住上面提到的几点.
四、总结提升
1．函数在处的瞬时变化率
2．理解导数的概念时，要注意，与的区别：是函数的导函数，是在处的导数值，是常量，而.
3．求曲线的切线时，要分清在点处的切线与过点的切线的区别；
切线方程：．
五、即时检测
设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
A． B． C． D．
答案：D
提示：由奇函数定义，求得，进而利用导数的几何意义求得答案.

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