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第9课 函数的单调性
一、目标导引
问题1：根据右图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.
问题2：整个上午（8：00~12：00）天气越来越暖，中午时分（12：00~13：00）一场暴雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：00~20：00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.
思考：从以上问题你还能得出什么结论？
问题3：已知函数在上具有单调性，求实数的取值范围.
二、知识梳理
函数的单调性：
增函数 减函数
前提条件
图象特征
图形表示
代数表示
结构特征
三、问题研讨
问题1：求单调区间
例题1：（1）下列函数中，满足“对任意，当时，都有”的是（ ）
A． B． C． D．
（2）函数的单调递减区间为 .
问题2：判定单调性
例题2：试讨论函数，的单调性．
问题3：参数讨论
例题3：（1）函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为 .
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
问题4：综合应用
例题4：设为奇函数，且在内是减函数，，求的解集.
4、总结提升
1.
判断方法 增函数 减函数
定义法
图象法
导数法
运算法
复合函数
2．（1）奇函数在上是增（减）函数，则它在上是增（减）函数；
（2）偶函数在上是增（减）函数，则它在上是减（增）函数.
五、即时检测
1.函数的单调递减区间是(　　)
A. B. C.（） D.
2.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____.
第9课 函数的单调性
一、目标导引
问题1：根据右图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.
解：函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数.
问题2：整个上午（8：00~12：00）天气越来越暖，中午时分（12：00~13：00）一场暴雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：00~20：00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.
解：图象略；增区间为：，；减区间为：，
思考：从以上问题你还能得出什么结论？
问题3：已知函数在上具有单调性，求实数的取值范围.
解：函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
因为函数在上具有单调性，所以或，
解得或.
二、知识梳理
函数的单调性：
增函数 减函数
前提条件
图象特征
图形表示
代数表示
结构特征
预设：
增函数 减函数
前提条件 定义域内的某个区间，任取
图象特征 随的增大而增大，切线斜率为正 随的增大而减小，切线斜率为负
图形表示
代数表示 在上方 在下方
结构特征 ， ，
三、问题研讨
问题1：求单调区间
例题1：（1）下列函数中，满足“对任意，当时，都有”的是（ ）
A． B． C． D．
（2）函数的单调递减区间为 .
解答：（1）依题意，在上单调递减，选A.
（2）；提示：要关注求复合函数的单调区间的基本步骤.
提炼：求函数的单调区间可以用定义法、导数法、复合函数单调性法则等，遇到具体的题目要灵活选择，选取最简便的方法来解决问题.
问题2：判定单调性
例题2：试讨论函数，的单调性．
解法一：（定义法）任取，
则，
，，，，
，，，即，，
，
因此， ，即，此时函数在为减函数.
解法二：（导数法）：，
∴在上为减函数．
提炼：判定函数单调性最常用的两种方法：定义法与导数法，这两种方法均需熟练掌握，定义法是基础，导数法解决问题更方便快速，具体问题中适当选择相应方法来解决问题.
问题3：参数讨论
例题3：（1）函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为 .
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
解：（1）构造函数图像，由点与单调区间的位置关系，得.
（2）分段函数两段分别递增，同时关注区间端点的与的位置关系：
解得.
提炼：单调性中的含参问题很常见，本例中的两题据需要采用数形结合的方法来帮助理解，对于分段函数的单调性问题，除了在两段上分别单调之外，还要特别注意区间端点出函数值的大小的讨论.
问题4：综合应用
例题4：设为奇函数，且在内是减函数，，求的解集.
提示：先根据函数的性质构造合题意的简单函数草图，再分区间解不等式
解答：由已知得或，
由图像得：.
提炼：将抽象函数具体化是解决函数相关问题的一个重要方法，把抽象函数根据题目给出的性质画出符合条件的简图帮助理解，进而解决问题，注意分类讨论标准的选取.
5、总结提升
1.
判断方法 增函数 减函数
定义法
图象法 从左向右是上升的 从左向右是下降的
导数法
运算法 增函数 + 增函数 减函数 + 减函数
复合函数 同增异减
2．（1）奇函数在上是增（减）函数，则它在上是增（减）函数；
（2）偶函数在上是增（减）函数，则它在上是减（增）函数.
五、即时检测
1.函数的单调递减区间是(　　)
A. B. C.（） D.
答案：　A
提示：.
∴当时，为减函数；
当时，，增函数.
2.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____.
答案：
提示：是符合函数，外层函数单调增，所以内层函数单调增，且在区间上. 则有且，所以.

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