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第10课 利用导数研究函数的单调性
一、目标导引
1．函数的导函数有下列信息：
①时，；
②时，或；
③时，或 .
则函数的大致图象是(　　)
2．函数的单调增区间是 .
3．思考：若函数在区间内单调递增(递减)，那么一定大于零吗？
二、知识梳理
函数的单调性与导数的关系：已知函数在某个区间内可导，则在此区间上：
导数 函数的单调性
三、问题研讨
问题1：求函数的单调区间
例题1.下列函数中，在区间 上为减函数的是（）
A. B. C. D.
例题2.（1）已知函数，则当时，的单调递增区间是________，单调递减区间是________.
（2）函数的单调递增区间是________；
问题2：函数的单调性及应用
例题3（函数导数与单调性的关系）若函数在是增函数，则的取值范围是 _________
问题3：分类讨论思想研究函数的单调性
例题4.设函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上单调递增，求k的取值范围.
四、总结提升
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．利用导数求函数的单调区间的一般步骤为：
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数；
(3)在函数的定义域内解不等式和
(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间．
五、即时检测
1．若在上是减函数，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
2．函数的单调递减区间是(　　)
A． B． C． D．
第10课 利用导数研究函数的单调性
一、目标导引
1．函数的导函数有下列信息：
①时，；
②时，或；
③时，或 .
则函数的大致图象是(　　)
答案： C
2．函数的单调增区间是 .
答案：和
3．思考：若函数在区间内单调递增(递减)，那么一定大于零吗？
不一定．对于任意都有（），且在任何一子区间内不恒为零．
二、知识梳理
函数的单调性与导数的关系：已知函数在某个区间内可导，则在此区间上：
导数 函数的单调性
预设：
导数 函数的单调性
单调递增
单调递减
常函数
三、问题研讨
问题1：求函数的单调区间
例题1.下列函数中，在区间 上为减函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由在上单调递减可知D符合题意，故选D.
考点：函数单调性
【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．
(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；
(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.
例题2.（1）已知函数，则当时，的单调递增区间是________，单调递减区间是________.
（2）函数的单调递增区间是________；
答案：（1）， （2）
提示：（1）由已知得的定义域为,因为 （），
所以当时，，当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）因为，所以，由，得，即.
问题2：函数的单调性及应用
例题3（函数导数与单调性的关系）若函数在是增函数，则的取值范围是 _________
答案:
提示：由题意知对任意的恒成立，
又，所以对任意的恒成立，
分离参数得，若满足题意，需.
令 ，.因为，所以当时，，
即在上单调递减，所以，故.
问题3：分类讨论思想研究函数的单调性
例题4.设函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上单调递增，求k的取值范围.
【解析】
（1）①当时，令，得；令，得；
所以函数的增区间为：，减区间为：；
②当时，令，得；令，得；
所以函数的增区间为：，减区间为：.
（2）依题意，即在上恒成立，所以解得且.
提炼：利用导数研究函数的单调性问题注意定义域优先原则，利用导数大于或小于零求出递增或递减区间，注意分类讨论标准的选择，常见的几种类型：可因式分解的、不可因式分解的等要熟练掌握一般解题步骤与方法..
四、总结提升
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．利用导数求函数的单调区间的一般步骤为：
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数；
(3)在函数的定义域内解不等式和
(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间．
五、即时检测
1．若在上是减函数，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
答案：C
提示：在上恒成立，即在上恒成立.又，∴，故选C.
2．函数的单调递减区间是(　　)
A． B． C． D．
答案：A
提示：∵的定义域为，由可得： 故选A.

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