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第11课 利用导数研究函数的极值与最值
一、目标导引
1.如图是导函数的图象，在标记的点中，在哪一点处
（1）导函数有极大值、极小值？
（2）函数有极大值、极小值？
（3）你能找出函数在区间上的最大值、最小值吗？
2.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件分别是什么？
二、知识梳理
函数的极值、最值与导数：
极大值 极小值 最大值 最小值
前提条件
图象特征
图形表示
代数表示
三、问题研讨
问题1：函数的极值问题
例题1.（2016年高考四川卷文） 已知函数的极小值点，则=
(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2
例题2.已知函数，且知当时取得极大值7，当时取得极小值. 试求（1）a、b、c的值；（2）函数的极小值.
问题2：函数的最值问题
例题3.设函数，若函数在处与直线相切．
(1)求实数的值；
(2)求函数在上的最大值．
问题3：函数极值与最值的综合问题
例题4．已知函数是R上的奇函数，当时取得极值-2.
（1）求的单调区间和极值；
（2）证明：对任意的，不等式恒成立.
四、总结提升
利用导数研究函数的性质的一般步骤：
1．确定函数的定义域；
2．求函数的导数；
3．求方程的根；
4．利用的根和不可导点的的值从小到大顺序将定义域分成若干个小开区间，并列出表格；
5．由的小开区间内的正、负值判断在小开区间内的单调性；
6．明确规范表述结论.
五、即时检测
1.方程的实根个数是(　　)
A.3 B.2 C.1 D.0
2.若存在正数使成立，则的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
第11课 利用导数研究函数的极值与最值
一、目标导引
1.如图是导函数的图象，在标记的点中，在哪一点处
（1）导函数有极大值、极小值？
（2）函数有极大值、极小值？
（3）你能找出函数在区间上的最大值、最小值吗？
解答：（1）的极大值点：；极小值点：，；
（2）极大值点：；极小值点：；
（3）最大值 ，最小值.
2.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件分别是什么？
必要条件：函数在该点的导数值为0；
充分条件：（1）函数在该点的导数值为0；（2）在该点附近的左侧与右侧导数异号.
二、知识梳理
函数的极值、最值与导数：
极大值 极小值 最大值 最小值
前提条件
图象特征
图形表示
代数表示
预设：
极大值 极小值 最大值 最小值
前提条件 在附近 闭区间
图象特征 左增右减 左减右增 图象的最高点 图象的最低点
图形表示
代数表示 左侧右侧 左侧右侧 ， ，
三、问题研讨
问题1：函数的极值问题
例题1.（2016年高考四川卷文） 已知函数的极小值点，则=
(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2
【答案】D
【解析】
试题分析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故极小值为，由已知得，故选D.
考点：函数导数与极值.
提炼：本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在附近，如果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点，
例题2.已知函数，且知当时取得极大值7，当时取得极小值. 试求（1）a、b、c的值；（2）函数的极小值.
12．【解析】
（1），所以解得所以，经检验，均符合题意.
（2）由（1）及已知条件可知，.
提炼：利用导数解决极值问题是对利用导数解决单调性问题的进一步拓展与研究，前提依然是研究单调性问题，先增后减取得极大值，先减后增取得极小值，注意在某一点处导数为零是在这一点取得极值的必要不充分条件.
问题2：函数的最值问题
例题3.设函数，若函数在处与直线相切．
(1)求实数的值；
(2)求函数在上的最大值．
解：(1) ，因为函数在处与直线相切，
所以 解得
(2)由(1)知，，，
因为当时，令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以.
提炼：利用导数解决最值问题是在利用导数解决极值问题的基础上的拓展研究，求在一个区间内的最值即研究这一区间内的所有极值后再与区间端点函数值进行比较，函数值中最大的为最大值，最小的为最小值.
问题3：函数极值与最值的综合问题
例题4．已知函数是R上的奇函数，当时取得极值-2.
（1）求的单调区间和极值；
（2）证明：对任意的，不等式恒成立.
【解析】
（1），依题意得即解得所以，此时，令，得，
当x变化时，的变化如下：
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以的增区间为：，减区间为：，.
（2）由（1）可知，在上单调递减，当，，所以对任意的，，命题得证.
提炼：导数的综合问题在考试中是作为压轴题出现的，第一问主要以讨论函数单调性为主，注意分类标准的确定；第二问经常研究零点、极值、不等式等问题，需要归纳一些常见的题型给学生做，熟练常用的解题模式.
四、总结提升
利用导数研究函数的性质的一般步骤：
1．确定函数的定义域；
2．求函数的导数；
3．求方程的根；
4．利用的根和不可导点的的值从小到大顺序将定义域分成若干个小开区间，并列出表格；
5．由的小开区间内的正、负值判断在小开区间内的单调性；
6．明确规范表述结论.
五、即时检测
1.方程的实根个数是(　　)
A.3 B.2 C.1 D.0
答案：　C
提示：设，，由此可知函数的极大值为，极小值为，所以方程的实根个数为1个.
2.若存在正数使成立，则的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案：D
提示：∵，∴.
令，∴. ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴，∴的取值范围为.

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