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第12课 幂函数与多项式函数
一、目标导引
对于函数，下列性质正确的是 .
① 对于任意R，都有； ② 在上函数单调递减；
③ 在上函数单调递增； ④是函数的最小值.
二、知识梳理
1．幂函数的图象与性质：
解析式
图象
定义域
值域
奇偶性
单调性
其它性质
2．一次函数、二次函数与反比例函数
解析式 一次函数 二次函数 反比例函数
符号
图象
定义域
值域
奇偶性
单调性 增区间
减区间
其它性质
三、问题研讨
问题1：幂函数的图象及性质
例题1.（1）已知函数，为何值时，：
是幂函数； 是正比例函数； 是反比例函数； 是二次函数．
（2）幂函数的图象经过点，则是(　　)
A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数
C．奇函数，且在上是减函数 D．非奇非偶函数，且在上是增函数
（3）．已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则=_____．
（4）已知，则(　　)
A． B．C． D．
问题2：二次函数的图象和性质
例题2. （1）已知函数，且的解集为，则函数的图象为(　　)
（2）已知，求的最小值．
问题3：函数的图象和应用
例题3.（1）函数的单调增区间是(　　)
A． B． C． D．和
（2）设函数有三个单调区间，则的取值范围为
问题4：实际应用
例题4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 (单位：m)的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
四、总结提升
1．本课对函数的研究具有什么样的结构特点？你能类比本节课的学习过程，研究其它基本初等函数吗？
2．本课的知识梳理与综合应用中，渗透了哪些数学思想方法？
3．思考题：讨论函数的性质（单调性、极值和最值等）.
五、即时检测
1．（幂函数的单调性）若，则实数的取值范围是________.
2.已知函数在处取得极值.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若有两个零点，求在处的切线方程.
3．（幂函数的图像）已知函数若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是________.
第12课 幂函数与多项式函数
思维导图
一、目标导引
对于函数，下列性质正确的是 .
① 对于任意R，都有； ② 在上函数单调递减；
③ 在上函数单调递增； ④是函数的最小值.
答案：①②
二、知识梳理
1．幂函数的图象与性质：
解析式
图象
定义域
值域
奇偶性
单调性
其它性质
预设：
解析式
图象
定义域 R R R
值域 R R
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 减增 增 增 减减
其它性质 过点
过点
2．一次函数、二次函数与反比例函数
解析式 一次函数 二次函数 反比例函数
符号
图象
定义域
值域
奇偶性
单调性 增区间
减区间
其它性质
预设：
解析式 一次函数 二次函数 反比例函数
符号
图象
定义域 R R
值域 R
奇偶性 仅当时，为奇函数 仅当时，为偶函数 奇函数
单调性 增区间 R 无 无 ，
减区间 无 R ， 无
其它性质 顶点：对称轴：
三、问题研讨
问题1：幂函数的图象及性质
例题1.（1）已知函数，为何值时，：
是幂函数； 是正比例函数； 是反比例函数； 是二次函数．
（2）幂函数的图象经过点，则是(　　)
A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数
C．奇函数，且在上是减函数 D．非奇非偶函数，且在上是增函数
（3)已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则=_____．
（4）已知，则(　　)
A． B．C． D．
提示：（1）解：∵是幂函数，故，解得或m.
若是正比例函数，则，解得.
此时，故.[]
若是反比例函数，则，则，
此时，故.
若是二次函数，则，即，此时，故．
（2）设幂函数，则，解得，则，
是非奇非偶函数，且在是增函数．
（3）由题意为奇函数，所以只能取，又在上递减，
所以．
（4）因为a＝2＝16，且幂函数在R上单调递增，指数函数在R上单调递增，所以．
提炼：熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．
问题2：二次函数的图象和性质
例题2. （1）已知函数，且的解集为，则函数的图象为(　　)
（2）已知，求的最小值．
答案：（1）D 因为函数，且的解集为，所以－2，1是方程的两根．所以，，所以.
所以函数，故选D.
（2）①当时，在上递减，所以
②当时，的图象的开口方向向上，且对称轴为
当，即时，的图象的对称轴在内，
所以在上递减，在上递增．所以；
当，即时，的图象的对称轴在的右侧，所以在上递减．所以.
③当时，的图象的开口方向向下，且对称轴，在轴的左侧，所以在上递减．所以.
综上所述，
提炼：动轴定区间、定轴动区间都涉及分类讨论，首要明确分类的标准.
数学思想的渗透：分类讨论、数形结合.
拓展延伸：含参数的一元二次不等式是一元二次型问题的一个难点。含参数的一元二次型由于其系数中出现了参数，因此往往需要对参数不同取值进行分类讨论从而加以求解。一般情况下，含参数的一元二次型的分类和讨论步骤如下：
（1）对二次项系数含有参数的一元二次型，要注意对二次项系数是否为零的讨论，当特别当二次项系数为零时需转化为一元一次式问题来求解；
（2）对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分三种情况加以讨论；
（3）若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根表示的形如的形式时，往往需要对其根分三种情况进行讨论，或用韦达定理帮助求解。为了提高解题效率，往往还要结合二次函数的图像，进而准确求解。
问题3：函数的图象和应用
例题3.（1）函数的单调增区间是(　　)
A． B． C． D．和
（2）设函数有三个单调区间，则的取值范围为
答案：（1）D （2）
提示：（1）.由得，或.
故单调增区间为和，故选D
（2）若有三个单调区间，则有两个不同的实数根，
所以，所以且．
问题4：实际应用
例题4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 (单位：m)的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
答案：C　
提示：设矩形的另一边长为m，则由三角形相似知，，
所以.因为，所以，所以，
所以.
四、总结提升
1．本课对函数的研究具有什么样的结构特点？你能类比本节课的学习过程，研究其它基本初等函数吗？
2．本课的知识梳理与综合应用中，渗透了哪些数学思想方法？
3．思考题：讨论函数的性质（单调性、极值和最值等）.
五、即时检测
1．（幂函数的单调性）若，则实数的取值范围是________.
答案：
提示：易知函数的定义域为，在定义域内为增函数，所以
解之得.
2.已知函数在处取得极值.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若有两个零点，求在处的切线方程.
解：（Ⅰ）依题意，， 1分
由已知，即，解得. 分
所以，
令，得或；令，得； 4分
故符合题意。
所以的单调递增区间是，，单调递减区间是. 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间，上单调递增，上单调递减.
，的极大值 6分
故若有两个零点，则的极小值必为0， 分
即，解得. 分
，
，故切点坐标为， 分
又切线斜率， 分
切线的方程为，化简得. 分
3．（幂函数的图像）已知函数若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是________.
答案：
提示：作出函数的图象如图.则当时，关于的方程有两个不同的实根.

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