资源简介

第12课 指数与对数运算
一、目标导引
求值：（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
二、知识梳理
指数幂、根式与对数运算：
指数 根式 对数
定义
表示
关系
性质
运算性质
常见结论 换底公式：
三、问题研讨
问题1：指数运算
例题1.化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
例题2.已知，求的值.
问题2：对数运算
例题3.计算下列各式：
（1）；
（2）.
例题4：（1）已知为正实数，则
A． B．
C． D．
（2）函数的最小值为_________．
问题3：指数方程与对数方程
例题5：解下列方程：
（1）；（2）
问题4：指对数综合
例题6.（1）设，且，则________；
（2）已知，，则的值为________．
例题7.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是（ ）
（参考数据：）
A． B． C． D．
四、总结提升
1．比较幂、对数大小有两种常用方法：（1）数形结合；（2）找中间量结合函数单调性．
2．在运算性质中，要特别注意条件，在无的条件下应为（且为偶数）．
五、即时检测
1．化简________.
2.若，则________.
第12课 指数与对数运算
一、目标导引
求值：（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
答案：（1） ；（2） ；（3） ；（4）2.
二、知识梳理
指数幂、根式与对数运算：
指数 根式 对数
定义
表示
关系
性质
运算性质
常见结论 换底公式：
预设：
指数幂 根式 对数
定义 如果，那么叫做的次幂(，使等式有意义）． 若，则叫做的次方根，其中且． 如果，那么叫做以为底的对数，记作．
表示 ①正分数指数幂：（,,且)；②负分数指数幂： （,,且)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义. ①为偶数时：，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，负数没有偶次方根；②为奇数时：，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；③0的次方根是0.
互化 ；
性质 ①② ①(使有意义)② ①，②：零和负数没有对数③对数恒等式：
运算性质 ①②③ ①同类根式可以合并（加减运算）；②根式的化简可以转化为分数指数幂进行运算 ①②③
常见结论 换底公式：
三、问题研讨
问题1：指数运算
例题1.化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式.
提炼：进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂.
例题2.已知，求的值.
解：将两边平方，得，即，
两边再平方，得，即
问题2：对数运算
例题3.计算下列各式：
（1）；
（2）.
解：（1）原式
（2）原式.
例题4：（1）已知为正实数，则
A． B．
C． D．
（2）函数的最小值为_________．
提示：（1）D. 因为.
（2），
令，则化为，
当时，取最小值为，即函数最小值为.
提炼：（1）首先运用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数运算性质化简合并。（2）将不同底的对数式化为同底的对数式。
问题3：指数方程与对数方程
例题5：解下列方程：
（1）；（2）
答案：（1） 或 （2）
提示：（1）由，得，即
所以 或 ，即 或
（2）原方程可变形为，即，
得，整理得，解得 或 （舍去）
经检验是原方程的解。
提炼：解对数方程一定要注意对数方程成立条件下的取值范围。
问题4：指对数综合
例题6.（1）设，且，则________；
（2）已知，，则的值为________．
答案：（1） （2）12
提示：（1）因为，所以，，
所以，所以，得.
（2）可得，，所以.
例题7.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是（ ）
（参考数据：）
A． B． C． D．
答案：D
提示：，两边取对数，，
所以，故选D.
四、总结提升
1．比较幂、对数大小有两种常用方法：（1）数形结合；（2）找中间量结合函数单调性．
2．在运算性质中，要特别注意条件，在无的条件下应为（且为偶数）．
五、即时检测
1．（指、对数运算）化简________.
答案：
提示：原式.
2.( 指、对数运算)若，则________.
答案：
提示：∵，∴ .

展开更多......

收起↑