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第3课 函数知识结构
一、目标导引
结合实际问题体会函数的概念，提出函数知识梳理的课题．
如图，矩形的周长为，如果矩形的长为，宽为，对角线为，面积为，那么你能获得关于这些量的哪些函数？
二、知识梳理
问题1：函数的概念是什么？能否通过常规积累的具体事例加以说明？
问题2：除了概念，我们还能从哪些方面对函数进行研究呢？
问题3：能否举一些例子来进一步说明它们之间的关系？
举例说明（试以目标导引的一个具体函数为例）
概念
要素
表示 解析式
图象
列表
性质 奇偶性
对称性
周期性
单调性
极值
最值
应用
三、问题研讨
问题一：函数概念理解
例题1A：向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度随时间变化的函数的图象如图所示，则杯子的形状是 (　　)
A． B． C． D．
例题1B：如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了小时，沿途休息了小时，骑摩托车者用了小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发了小时，晚到小时；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发了小时后，追上了骑自行车者．
其中正确信息的序号是 (　　)
A．①②③　　B．①③ C．②③ D．①②
问题二：数形结合思想
例题2A：已知．
(1)画出的图像；(2)求的定义域和值域；（3）指出函数的单调区间．
例2B：函数的图象如图所示，则函数的解析式为 (　　)
A． B．
C． D．
问题三：函数与方程思想
例题3A：已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则数的取值范围是 ．
例题3B：已知函数有零点，则的取值范围是 ．
四、总结提升
回顾本节课的整理的过程，我们经历了怎样的学习过程？这些内容的沟通中渗透了哪些数学思想方法？
五、即时检测
函数（且）的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
第3课 函数知识结构
一、目标导引
结合实际问题体会函数的概念，提出函数知识梳理的课题．
如图，矩形的周长为，如果矩形的长为，宽为，对角线为，面积为，那么你能获得关于这些量的哪些函数？
答：，，等．
组织汇报、交流．教师提炼，揭示课题：函数知识结构的复习整理．
二、知识梳理
1．函数知识框架的纵向梳理：
给出2行2列的表格，讨论纵向的内容，可以是函数、常规积累中具体的一个函数（示例）；可以是函数、基本初等函数；也可以是函数、方程、不等式．
提出问题：对于一个数学对象（如函数），我们可以从哪些方面进行研究？
引导学生对函数知识进行回顾，思考表格横向项目与纵向项目的确定．
过程中核心问题推进：
问题1：函数的概念是什么？能否通过常规积累的具体事例加以说明？
问题2：除了概念，我们还能从哪些方面对函数进行研究呢？请同学们继续思考并在表格中表述出来．（概念——要素——表示——性质——应用）
问题3：能否举一些例子来进一步说明它们之间的关系？
举例说明（试以目标导引的一个具体函数为例）
概念
要素
表示 解析式
图象
列表
性质 奇偶性
对称性
周期性
单调性
极值
最值
应用
预设：
函数（以为例）
概念
要素 定义域： 对应关系：值域：
表示 解析式 数学表达式：
图象
列表 略
性质 奇偶性 非奇非偶函数
对称性 对称轴，无对称中心
周期性 无
单调性 递减区间：，递增区间：
极值 有极大值，无极小值
最值 有最大值，无最小值
应用 函数的零点方程的根函数的图象与轴的交点
3．尝试完成表格
学生填写表格的知识清单，归纳形成函数知识内容纵向和横向的框架体系．
组织学生独立观察、比较和思考，小组讨论交流函数知识的相关内容，并通过具体事例加以验证，沟通理论与实际的结构关联性．
学生参与互动、交流，陈述自己的观点，并在碰撞中进一步思考提升认识．
三、问题研讨
问题一：函数概念理解
例题1A：向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度随时间变化的函数的图象如图所示，则杯子的形状是(　　)
A． B． C． D．
答案：A 【解析】由图可知，高度的增长速率是先慢后快，且都是运算增长，所以只有A满足．
例题1B：如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了小时，沿途休息了小时，骑摩托车者用了小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发了小时，晚到小时；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发了小时后，追上了骑自行车者．
其中正确信息的序号是(　　)
A．①②③　　B．①③ C．②③ D．①②
答案：A 【解析】由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了小时，晚到小时，正确；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确；③骑摩托车者在出发了小时后，追上了骑自行车者，正确．
问题二：数形结合思想
例题2A：已知．
(1)画出的图像；(2)求的定义域和值域；（3）指出函数的单调区间．
试题解析：
(1)利用描点法，作出的图像，如图所示．
(2)由条件知，函数的定义域为．由图像知，当时，的值域为；当时，．所以的值域为．
(3)函数单调增区间为，减区间为．
例2B：函数的图象如图所示，则函数的解析式为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】由图象知，当时， ，故排除B，C；又当时， ，故排除D．故应选A．
问题三：函数与方程思想
例题3A：已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则数的取值范围是 ．
答案：【解析】当时，，说明函数在上单调递增，函数的值域是，又函数在上单调递减，函数的值域是，因此要使方程有两个不同实根，则．
例题3B：已知函数有零点，则的取值范围是 ．
答案：【解析】由原函数有零点，可将问题转化为方程有解问题，即方程有解．令函数，则，令，得，所以在上是增函数，在上是减函数，所以的最大值为，所以．
四、总结提升
组织学生回顾刚才的学习过程，想一想，在这些内容的沟通中渗透了哪些数学思想方法？
提炼复习过程中的方法：回顾本节课的整理的过程，我们经历了怎样的学习过程？对函数知识进行沟通与复习，我们还可以对数学中哪些有关联的知识进行沟通与复习梳理？
五、即时检测
函数（且）的图象可能为( )
A． B． C． D．
答案：D【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A, B；取，则，故选D．

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