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第6课 函数的奇偶性
一、目标导引
1．观察下列函数的图象，你能说出它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）；（8）
2．你能根据以上所研究的性质整理出一般的结论吗？
二、知识梳理
函数的奇偶性
奇函数 偶函数
前提条件
图象特征
图形表示
代数表示
结构特征
三、问题研讨
问题1：函数奇偶性的判定
例题1：判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
问题2：函数奇偶性的性质
例题2：设是上的任意函数，则下列叙述一定正确的是 （ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
问题3：函数奇偶性的应用
例题3：已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且=， （ ）
A． B． C． D．
例题4A：已知且，则 （ ）
A． B． C． D．
例题4B：若函数在上是奇函数，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
四、总结提升
回顾本节课的整理的过程，我们经历了怎样的学习过程？这些内容的沟通中渗透了哪些数学思想方法？
五、即时检测
1．已知函数为奇函数，且当时，，则 （ ）
A． B． C． D．
2．函数为奇函数，则 （ ）
A． B． C． D．
第6课 函数的奇偶性
一、目标导引
提出问题：
1．观察下列函数的图象，你能说出它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）；（8）
2．你能根据以上所研究的性质整理出一般的结论吗？
二、知识梳理
函数的奇偶性
奇函数 偶函数
前提条件
图象特征
图形表示
代数表示
结构特征
预设：
奇函数 偶函数
前提条件 定义域关于原点对称
图象特征 关于原点对称 关于轴对称
图形表示
代数表示 与关于原点对称 与关于轴对称
结构特征
三、问题研讨
问题1：函数奇偶性的判定
例题1：判断下列函数的奇偶性：
（1）；（2）；
（3）； （4）．
解答：（1）函数的定义域为不关于原点对称，函数为非奇非偶函数；
（2）函数的定义域为，且满足，函数为奇函数；
（3）函数的定义域为，且满足，函数为奇函数；
（4）函数的定义域为，，，
函数为非奇非偶函数．
提炼：判断函数的奇偶性注意定义域优先原则，先判断函数的定义域，定义域关于原点对称后，再用定义判断，定义域不关于原点对称的函数一定为非奇非偶函数．
问题2：函数奇偶性的性质
例题2：设是上的任意函数，则下列叙述一定正确的是 （ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
答案：选D
提示：函数的定义域为，
A选项 因为与关系不够明确，不一定
B选项 因为，所以是偶函数
C选项 ，
是奇函数．
D选项 因为，所以是
偶函数
提炼：函数奇偶性的性质在具体问题中经常会用到，要正确记忆并理解后才能熟练应用．
问题3：函数奇偶性的应用
例题3：已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且=， （ ）
A． B． C． D．
答案：C【解析】用换，得，
化简得，令，得，故选C．
例题4A：已知且，则（ ）
A． B． C． D．
答案：A 【解析】令，则，
∴为奇函数．又∵，∴ ．
∴．∴ ． 选A
例题4B：若函数在上是奇函数，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
答案：B【解析】因为函数在上是奇函数
，即，得，所以
即，，，解得，
则， 故选
四、总结提升
函数奇偶性的简单性质（定义域关于原点对称，取商时分母不为0）：
1．在定义域的公共部分内，两个奇函数的和（差）为奇函数，积（商）为偶函数；两个偶函数的和（差）为偶函数，积（商）为偶函数；一奇一偶函数的积（商）为奇函数．
2．是偶函数；是奇函数．
3．若函数是奇函数且0在定义域内，则；若函数是偶函数，则有． 4．是偶函数．
五、即时检测
1．已知函数为奇函数，且当时，，则 （ ）
A． B． C． D．
答案：A 【解析】．
2．函数为奇函数，则 （ ）
A． B． C． D．
答案：A 【解析】函数为奇函数，则，
即．整理得：． 所以．

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