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4.2.2 等差数列的前n项和公式
【第一学时】
等差数列前n项和公式的推导及简单应用。
【学习目标】
1．了解等差数列前n项和公式的推导过程。
2．掌握等差数列前n项和公式。
3．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个。
【学习重难点】
熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个。
【学习过程】
一、新知初探
知识点 等差数列的前n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d
二、合作探究
1．等差数列前n项和的有关计算
例1 在等差数列{an}中：
（1）已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
（2）已知a1＝4，S8＝172，求a8和D．
2．等差数列前n项和的比值问题
例2 有两个等差数列{an}，{bn}满足＝，求。
【学习小结】
1．知识清单：
（1）等差数列前n项和及其计算公式。
（2）等差数列前n项和公式的推导过程。
（3）由an与Sn的关系求an。
（4）等差数列在实际问题中的应用。
2．方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想。
3．常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论。
【第二学时】
等差数列前n项和的性质及应用
【学习目标】
1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，了解等差数列前n项和的一些性质。
2．掌握等差数列前n项和的最值问题。
【学习重难点】
掌握等差数列前n项和的最值问题。
【学习过程】
一、新知初探
知识点一 等差数列前n项和的性质
1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为。
2．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2D．
3．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝。
4．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝。
知识点二 等差数列{an}的前n项和公式的函数特征
1．公式Sn＝na1＋可化成关于n的表达式：Sn＝n2＋n。当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点。
2．等差数列前n项和的最值
（1）在等差数列{an}中，
当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定。
（2）Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值。当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值。
二、合作探究
1．等差数列前n项和的性质
例1 （1）在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝________。
（2）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m。
2．等差数列前n项和的最值问题
例2 在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值。
3．求数列{|an|}的前n项和
数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2(n∈N*)。
（1）判断{an}是不是等差数列，若是，求其首项、公差；
（2）设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和。
【学习小结】
1．知识清单：
（1）等差数列前n项和的一般性质。
（2）等差数列前n项和的函数性质。
2．方法归纳：整体思想、函数思想、分类讨论思想。
【精炼反馈】
一、单选题
1．已知等差数列中，，则的前项和的最大值是
A． B． C． D．
2．已知等差数列的前n项为，，，则的值为（ ）
A．2 B．0 C．3 D．4
3．世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为（　　）
A．磅 B．磅 C．磅 D．磅
4．在等差数列{an}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（ ）
A．﹣5 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣11
5．设等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则（ ）
A．8 B．52
C．45 D．72
6．已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则
A． B． C． D．
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1+a2=7，am+am-1=73(m≥3)，Sm=2020则m的值为（ ）
A．100 B．101 C．200 D．202
二、填空题
8．设是等差数列，且，，则数列的前n项和______．
9．设等差数列的前项和为，且，，，则正整数______．
三、解答题
10．已知等差数列的前n项和为，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前20项和.
11．已知数列的前项和．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
C2．A3．D4．B5．B6．B7．B
9．4
（1）；（2）250
11．（1） ；（2） ．
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