资源简介

基础知识构建
一、运动图像
位移和速度都是时间的函数，因此描述物体运动的规律常用位移-时间图象（s-t图象）和速度-时间图象（v-t图象）
（一）s-t图象——位移随时间的变化规律
1、斜率：
k＝△s／△t表示速度，斜率 ，速度 ，斜率的正负表示 ：
①　k＞0，表示物体 ；
②　k＜0，表示物体 ．
2、图线是直线：
图线是曲线：
3、两图线的交点：
4、图线的截距：
v-t图象——速度随时间的变化规律
1、斜率：
k＝△v／△t表示加速度，斜率 ，加速度 ，斜率的正负表示 ：
①　k＞0，表示物体 ；
②　k＜0，表示物体 ．
2、图线是直线：
图线是曲线：
3、两图线的交点：
4、图线的截距：
5、图线与横轴所围的面积：
（二）、图象与图象的比较：
图象 图象
① ①
② ②
③ ③
④ ④
⑤ ⑤
⑥ ⑥
【答案】：（一）s-t：1、越大，越大，速度方向，①正方向运动，②负方向运动2、匀速直线运动，变速直线运动3、此时刻在同一位置，（相遇）4、初位置
v-t：1、越大，越大，加速度方向，①加速度为正，②加速度为负2、匀变速直线运动，变加速直线运动3、此时刻速度相同，4、初速度 5、这段时间内通过的位移
（二）s-t：①正方向的匀速直线运动②静止在s1处③静止在坐标原点④负方向的匀速直线运动⑤交点表示此时刻位置相同⑥t1时刻的位置
v-t：①正方向的匀加速直线运动②正方向的匀速直线运动③静止④正方向的匀减速直线运动⑤交点表示此时刻速度相同⑥t1时刻的速度，阴影面就表示0～t1
（三）对运动图像的理解
x-t图象 v-t图象
轴
线
斜率
面积
纵截距
特殊点
【答案】
x-t图象 v-t图象
轴 横轴为时间t，纵轴为位移x 横轴为时间t，纵轴为速度v
线 倾斜直线表示匀速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动
斜率 表示速度 表示加速度
面积 无实际意义 图线与时间轴围成的面积表示位移大小
纵截距 表示初位置 表示初速度
特殊点 拐点表示速度变化，交点表示相遇 拐点表示加速度变化，交点表示速度相等
二、追及相遇问题
1.两类追及问题：
(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于_____位置，且后者速度一定不小于前者速度。
(2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度_____时，两者相距最近。
2.两类相遇问题：
(1)同向运动的两物体追上时即相遇。
(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和_____开始时两物体间的距离时即相遇。
【答案】二、追及相遇问题
同一 相等 等于
3. 图例：常见情景：物体A追物体B，开始两者相距x0
(1)A追上B时，必有xA=x0+xB，且vA≥vB
(2)恰好不相撞，必有xA=x0+xB时vA=vB，之后vA≤vB
(3)A追不上B时，必有vA=vB时，xA4、几个常见追及相遇问题解法
方法 相关说明
临界法 寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离
函数法 思路一∶先求出在任意时刻t两物体间的距离y=f（t），若对任何时刻t，均存在y=f（t）>0，则这两个物体永远不能相遇;若存在某个时刻t，使得y=f（t）≤0，则这两个物体能相遇思路二∶设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f（t）=0，若方程f（t）=0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇;若方程f（t）=0存在正实数解，说明这两个物体能相遇
图像法 （1）若用位移图像求解，分别作出两个物体的位移图像，如果两个物体的位移图线相交，则说明两物体相遇（2）若用速度图像求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积
相对运动法 用相对运动的知识求解追及相遇问题时，要注意将两个物体对地的物理量（速度、加速度和位移）转化为相对的物理量，在追及问题中，常把被追物体作为参考系，这样追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为∶x相对=x后-xm， V相对=v后-vm，4相对=an-am，且式中各物理量（矢量）的符号都应以统一的正方向进行确定
考点突破
考点一　运动图象的理解及应用
1、x-t图象
【典例1】(多选)（2021·武汉市洪山高级中学高三）甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是（　　）
A．在时刻两车速度相等
B．从0到时间内，两车走过的路程相等
C．从0到时间内，两车的平均速度相等
D．在到时间内的某时刻，两车速度相等
【通法指导】
1.题型特征：x-t图象。
2.思维导引：
(1)某点的切线斜率表示该点的速度。
(2)纵坐标之差表示该段时间内的位移。
【答案】D
【详解】
A．根据位移图象的物理意义可知，在t1时刻两车的位置相同，速度不相等，乙车的速度大于甲车的速度，选项A错误；B．从0到t1时间内，乙车走过的路程大于甲车，选项B错误；C．从0到t2时间内，甲车从x1位置走到x2位置，乙车从x=0到x=x2，两车的位移不相等，则平均速度不相等，选项C错误；D．根据位移图像的斜率等于速度可知，从t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等，选项D正确。故选D。
【拓展训练1】（2021·河南高一月考）在平直公路上行驶的a车和b车，其位移﹣时间图象分别为图中直线a和曲线b。t=3s时，直线a和曲线b刚好相切，下列说法正确的是（　　）
A．t=3s时，两车具有共同的加速度
B．a车做匀速运动，b车做加速运动
C．在运动过程中，b车始终没有超过a车
D．在0～3s的时间内，a车的平均速度比b车的大
【答案】C
【详解】
A．t=3s时，两图线斜率相等，所以两车的速度相等，a的加速度为零，而b的加速度不为零，所以加速度不同，故A错误；B．x﹣t图象的斜率表示速度，由图可知，a车做匀速直线运动，b车做减速直线运动，故B错误；C．由图象可知，b车的位置坐标小于等于a的坐标，所以b车始终没有超过a车，故C正确；
D．在0﹣3s的时间内，a车的位移为6m，b车的位移为8m，由公式可知，a车的平均速度小于b车的，故D错误。故选C。
【拓展训练2】（2022·武威第六中学高三开学考试）在平直公路上行驶的车和车，其位移—时间图象分别为图中直线和曲线，已知车的加速度恒定且等于，时，直线和曲线刚好相切，则（　　）
A．车做匀速运动且其速度为
B．时，车和车的距离
C．时，车的速度为
D．时，车和车相遇，但此时速度不等
【答案】B
【详解】A．由图可知，a车匀速直线运动且速度为故A错误；BC．t=3s时，直线a和曲线b刚好相切，即此时b车的速度vb=va=2m/s设b车的初速度为v0，对b车，由v0+at=vb，解得则t=1s时b车的速度为前3s内，a车的位移大小b车的位移t=3s时，a车和b车到达同一位置，得t=0时a车和b车的距离故B正确，C错误；D．t=3s时a车和b车到达同一位置而相遇，直线a和曲线b刚好相切，说明两者的速度相等，故D错误。故选B。
2、v-t图象
【典例2】（2019·广东揭阳三中高三月考）如图所示是甲、乙两物体运动的速度一时间图象，下列说法正确的是
A．0－5s内甲物体的加速度大小为0.75m/s2
B．3s时乙物体的加速度大小为1m/s2
C．0－5s内甲物体的位移大小为m
D．0-5s内乙物体的位移大于13.5m
【通法指导】
1.题型特征：v-t图象。
2.思维导引：
【答案】D
【详解】
根据v-t图象的斜率表示加速度，则0～5s内甲物体的加速度大小为m/s2，A错误；3s时乙图象切线斜率的绝对值小于1，所以3s时乙物体的加速度大小小于1m/s2，B错误．根据，得t=5s时甲的速度大小为m/s，则0～5s内甲物体的位移大小为m，C错误．根据图象与坐标轴围成的面积表示位移，知0～5s内乙物体的位移大于m，D正确．
【变式1】（2021·山东省青岛第十九中学高三期末）甲乙两货车在平直公路上从同一位置同向行驶，两车的v-t图象如图所示．则在0~4s时间内
A．甲车做曲线运动
B．乙车一直在甲车的后方
C．甲车的平均速度小于6m/s
D．乙车位移的大小为8m
【答案】C
【分析】
在v-t图象中，图线与坐标轴围成的面积大小表示位移，平均速度等于位移除以时间，相遇时两车的位移相同，根据这些知识来分析；
【详解】
A、由图可知，甲车做加速度减小的减速直线运动，乙车做匀加速直线运动，故选项A错误；
B、开始时乙的速度小于甲的速度，由图形的“面积”代表位移可知，开始一段时间内乙车在甲车后方，但是在整个内，通过面积分析可知乙车位移大于甲车位移，即乙车没有一直在甲车的后方，只是开始一段时间内是在甲车后方，后来乙车又超过了甲车，故选项B错误；
C、若甲车一直做匀减速直线运动，则图像如图所示：
则此时平均速度为：，但是通过图形面积可知，甲车的实际位移小于匀减速的位移，故甲车实际的平均速度小于，故选项C正确；
D、由图形的“面积”代表位移可知，乙车的位移为：，故选项D错误．
【点睛】
本题是v-t图象问题，关键要明确在v-t图象中图象与坐标轴围成的面积的含义，要注意公式只适用于匀变速直线运动．
【变式2】（2021·进贤县第一中学高一期中）物体甲的速度与时间图像和物体乙的位移与时间图像分别如图所示，则这两个物体的运动情况是（　　）
A．甲在整个t=4s时间内有来回运动，它通过的总路程为6m
B．甲在整个t=4s时间内运动方向一直不变，通过的总位移大小为12m
C．乙在整个t=4s时间内有来回运动，它通过的总路程为6m
D．乙在整个t=4s时间内运动方向一直不变，通过的总位移大小为12m
【答案】A
【详解】
AB．由物体甲的速度与时间图像可知，甲的速度先为负值，后为正值，说明甲物体做往复运动，图像与时间轴围成的面积等于物体的位移，前2s内位移为-3m，后2s内位移为3m，因此总的位移为零，而总的路程为6m，A正确，B错误；CD．位移与时间图像斜率表示物体的速度，可知乙物体做匀速直线运动，运动方向始终没变，位移的大小与路程相等都是6m，CD错误。故选A。
3、其他运动图象
【典例3】（2022·正阳县高级中学高三月考）如图所示是某物体做直线运动的v2-x（其中v为速度，x为位置坐标）,下列关于物体从x=0动至x=x0过程分析，其中正确的是（ ）
A．该物体做匀加速直线运动
B．该物体的加速度大小为
C．当该物体速度大小为,位移大小为
D．当该物体位移大小为，速度大小为
【通型通法】
1.题型特征：v2-x图象。
2.思维导引：
【答案】C
【详解】A. 由匀变速直线运动的速度位移关系公式，，可得：， ，可知物体的加速度恒定不变，由于物体的速度减小，故物体做匀减速直线运动，故A项与题意不相符；，B.由可知，v2-x图象的斜率绝对值等于2a，由图可得：， ，则得物体的加速度大小为， ，故B项与题意不相符；，C. 当该物体速度大小为时，， ，由图可得：，，故C项与题意相符；D. 当该物体位移大小为时，由图可得： ，即， ，故D项错误．
【举一反三】
1. （2021·会泽县茚旺高级中学高一开学考试）A、B两辆汽车从同一地点同时出发沿同一方向做直线运动，它们的速度的平方（v2）随位置（x）的变化规律如图所示，下列判断正确的是（　　），
A．汽车A经过8s刚好停下
B．汽车A、在处的速度大小为
C．汽车B的加速度为6m/s2，初速度为0
D．从开始到汽车停止前，当xA=6m时、相距最远
【答案】B
【详解】A．根据匀变速直线运动的速度位移关系公式可知v2-x图象的斜率等于2a．对于汽车A，则有 2aA=－18，可得 aA=－9m/s2，由代入得，汽车A经过约1.3s刚好停下，故A错误．B．汽车A、B在x=6m处的速度大小设为v，由图知：对于汽车A，有 v02=144，得A的初速度v0=12m/s，由得故B正确．C．汽车B的初速度为0,由由图像代入数据得故C错误；D．当两者速度相等时，两车的距离最远，由即得t=3s时两车相距最远，故D错误。故选B。
2.（2022·浙江高三期中）一辆汽车以24m/s的速度在平直的公路上行驶，当驾驶员发现前方有险情时，立即进行急刹车，刹车后的速度v随刹车位移x的变化关系如图所示，设汽车刹车后做匀减速直线运动，则当汽车刹车的位移为36m时，汽车的速度为（　　）
A．11.2m/s B．11.8m/s C．12m/s D．12.8m/s
【答案】C
【详解】根据解得 则当汽车刹车的位移为36m时故选C。
3.(2022·滨州模拟)一辆汽车在平直的公路上做匀减速直线运动。
问题：汽车的加速度大小为多少？汽车在减速过程中所用的时间为多少？
【解析】设减速过程中汽车加速度大小为a，所用时间为t，由题可得初速度v0=20 m/s，末速度v=0，位移x=25 m，由运动学公式得：=2ax，t=，代入数据解得：a=8 m/s2，t=2.5 s。答案：8 m/s2　2.5 s
4．（2021·四川内江市·高三三模）一物体由静止开始，在粗糙的水平面内沿直线运动，其加速度a随时间t变化的a－t图像如图所示。若选物体开始运动的方向为正方向，那么，下列说法中正确的是（　　）
A．在 的时间内，物体先做匀速直线运动后做匀减速运动
B．在 时物体的位移最大
C．在 的时间内，物体速度的变化量为－1m/s
D．在 的时间内，物体的位移为零
【答案】C
【详解】A．0~1s，加速度不变，物体做匀加速运动，1s~2s加速度数值减小，物体做加速度减小的变加速运动，A错误；B．2s时，加速度为0，速度最大，B错误；C．a-t图像的面积表示速度的变化量，2s~3s的时间内，速度变化量为C正确；D．0~4s内，物体的速度变化量为0，即物体在4s时停止运动，位移不为0，D错误；故选C。
5．（2021·湖南高三三模）汽车的设计、竞技体育的指导、宇航员的训练等多种工作都会用到急动度的概念。急动度j是加速度变化量Δa与发生这一变化所用时间Δt的比值，即，它的方向与物体加速度变化量的方向相同。一物体从静止开始做直线运动，其加速度a随时间t的变化关系如图，则该物体在（　　）
A．1s~3s内做减速运动
B．0~5s内速度方向发生改变
C．t＝2s时和t＝4s时加速度等大反向
D．t＝2s时和t＝4s时急动度等大反向
【答案】C
【详解】A．1s～3s内加速度为正值，做加速度减小的加速运动，故A错误；B．与时间轴所围面积为物体的速度，故0～5s内始终为正值，故速度方向不变，故B错误；C．由图像可知，t＝2s时和t＝4s时加速度等大反向，故C正确；D．t=2s时和t=4s时，斜率相同，故急动度相同，故D错误。故选C。
通法指导
1. 对运动图象的理解：
一般意义 x-t图像 v-t图像 a-t图像
轴 图像描述哪两个物理量之间的关系 纵轴-位移横轴-时间 纵轴-速度横轴-时间 纵轴-加速度横轴-时间
线 表示物理量 y随物理量x的变化过程和规律 运动物体的位移与时间的关系 运动物体的速度与时间的关系 运动物体的加速度与时间的关系
斜率 表示 ，y随x变化的快慢 某点的斜率表示物体在该时刻的瞬时速度 某点的斜率表示物体在该时刻的加速度 某点的斜率表示物体在该时刻加速度的变化率
点 两线交点表示对应纵、横坐标轴物理量相等 两线交点表示两物体该时刻位移相同 两线交点表示两物体该时刻速 度相同 两线交点表示两物体该时刻加速度相同
面积 图线和横轴所围的面积，往往代表一个物理量，这要看坐标轴所表示的两物理量的乘积有无意义 无意义 图线和时间轴所围的面积表示物体运动的位移 图线和时间轴所围的面积表示物体的 速 度 变化量
截距 图线在坐标轴上的截距一般表示物理过程的"初始"情况 在纵轴上的截距表示t= 0时的位移 在纵轴上的截距表示t=0时的速度 在纵轴上的截距表示t=0时的加速度
2.解答图象类问题的方法：
【反馈训练】
1.（2021·湖北高一开学考试）司机驾驶汽车在平直公路上匀速行驶，突然遇到紧急情况刹车直到停止运动，从司机发现情况到停止运动这段时间内汽车的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．汽车刹车过程的加速度大小为
B．汽车刹车过程的加速度大小为
C．汽车开始刹车至停止所用时间为5s
D．从司机发现情况开始至刹车停止，汽车的总位移为30m
【答案】A
【详解】
AB．通过图象可知，第一阶段在司机反应时间0.5s内，汽车做匀速直线运动；第二个阶段司机刹车，汽车做匀减速直线运动到停止，根据匀变速直线运动公式可得由此可知，图象的斜率表示加速度的一半，可得（负号表示方向）故A正确，B错误；C．由图象可知，匀速运动的速度为v0 = 10m/s，反应时间为t = 0.5s，刹车到停止的时间为则开始刹车至停止所用总时间为故C错误；D．反应时间内的位移为减速刹车位移为则从司机发现情况开始至刹车停止，汽车的总位移为故D错误。故选A。
2、（2019·辽宁大连二十四中高三期中）在城市上班高峰期间，司机驾驶汽车在平直公路上匀速行驶，突然遇到紧急情况刹车直到停止运动，汽车运动的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．从开始刹车至汽车停止所用时间为5.0s
B．汽车刹车后第1s内的平均速度为6.0m/s
C．汽车刹车过程的加速度大小为
D．从开始刹车至汽车停止，汽车的总位移为25m
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数学知识写出与t的表达式，结合匀变速直线运动的位移时间公式，分析汽车的运动情况，再根据运动学公式求解；
【详解】
由数学知识可得，根据匀变速直线运动的位移时间公式得，对比可得，；
A、根据速度与时间的关系可知汽车从开始刹车到停下来的时间为：
，故选项A错误；
B、根据速度与时间的关系可知刹车后第1s末的速度为：
则第内的平均速度为：，故选项B错误；
C、由上面分析可知加速度为：，即加速度的大小为，故选项C正确；
D、根据平均速度可知：汽车的总位移为：，故选项D错误。
【点睛】
解决本题的关键是掌握匀变速直线运动的位移时间公式，通过变形得到与t的表达式，然后利用运动学公式进行求解，注意刹车到停下之后，车辆速度为零。
3.（2022·开鲁县第一中学高三月考）一物体做匀加速直线运动，从某位置开始通过传感器收集位移和速度等数据信息，然后输入计算机自动生成了物体运动的x-v图象，如图所示.以下说法正确的是（　　）
A．物体运动的初速度为1m/s
B．物体运动的加速度为2m/s2
C．物体速度由2m/s增加到4m/s的过程中，物体的位移大小为1m
D．物体速度由2m/s增加到4m/s的过程中，物体的运动时间为2s
【答案】B
【详解】
物体做匀加速直线运动，则有，有图可知当v=0时，x=-1m，代入上式得： ；当x=0时，代入上式得： 解得： 故A错误；B正确；物体速度由增加到的过程中，物体的位移大小为，故C错误；物体速度由增加到的过程中，物体的运动时间为，故D错误；故选B
4、(多选)（2022·全国高一课时练习）a、b两质点沿直线Ox轴正向运动，t＝0 时，两质点同时到达坐标原点O，测得两质点在之后的运动中，其位置坐标x与时间t的比值(即平均速度)随时间t变化的关系如图所示，以下说法正确的是(　　)
A．质点a做匀加速运动的加速度为1.0 m/s2
B．质点b做匀速运动的速度为1.0 m/s
C．t＝1 s时，a、b再次到达同一位置
D．t＝2 s时，a、b再次到达同一位置
【答案】ABC
【详解】A．对质点a，根据数学知识得变形得可得v0=0.5m/s，a=1.0m/s2所以质点a做匀加速运动的加速度为1.0m/s2．故A正确B．由图知，对于b，有所以b做速度为1.0m/s的匀速直线运动，故B正确；C．由图知，t=1s时，两者相等，也就是平均速度相同，时间相同，则位移x相等，初位置相同，所以t=ls时，a、b再次到达同一位置。故C正确；D． 由图知，t=2s时，两者不相等，也就是平均速度不相同，时间相同，则位移x不相等，初位置相同，所以t=2s时，a、b不是到达同一位置，故D错误。故选ABC。
5．（2021·全国高三二模）一质量为0.3kg的质点由静止开始做加速直线运动，其加速度随时间变化的规律如图所示。关于该质点的运动，下列判断正确的是（　　）
A．t=2s时速度大小为4m/s
B．t=6s时速度大小为24m/s
C．0~6s时间内合外力的冲量为4.8N·s
D．2~6s时间内平均速度大小为12m/s
【答案】C
【详解】A．0~2s时间内质点做初速度为零的匀加速直线运动，则2s末的速度v2=a1t1=4×2m/s=8m/sA错误；B．根据a–t图像中图线与t轴包围的“面积”表示速度变化，则6s末的速度v6=×4×（2+6）m/s=16m/sB错误；C．根据动量定理，0~6s时间内合外力的冲量I=mv6–0=4.8N·sC正确；D．由于2~6s时间内质点做加速度逐渐减小的加速运动，其v–t图像如图
设阴影部分“面积”为s，则，而s大于梯形面积s′,解得D错误。
故选C。
6．（2021·山东泰安市·高三一模）某物体的运动图像如图所示，横、纵截距分别为n和m，下列说法正确的是（　　）
A．若该图为图像，则物体速度一直减小
B．若该图为图像，则物体速度一直增大
C．若该图为图像，且物体的初速度为0，则物体最大速度为
D．若该图为图像，且物体的初速度为0，则物体的最大速度为
【答案】D
【详解】AB．图像的斜率表示速度，斜率不变表示物体做匀速直线运动，故AB错误；CD．图像的面积表示速度的增量，因为物体的初速度为0，所以物体的最大速度为，故C错误，D正确。故选D。
7．（多选）（2021·晋中市·山西寿阳县一中高一月考）如图甲和乙所示为物体做直线运动的图像，其中 v、a、t 分别为物体运动的瞬时速度、加速度和运动时间，则下列说法正确的是 （　　）
A．甲图中，在 0~t0这段时间内物体的加速度逐渐减小
B．甲图中，在 0~t0这段时间内物体的平均速度
C．乙图表示物体做匀加速直线运动
D．乙图中阴影面积表示 t1~t2时间内物体的速度变化量
【答案】AD
【详解】A．根据v-t图象的物理意义可知，在0～t0这段时间内物体的速度逐渐增大，图线的斜率逐渐减小，则在0～t0这段时间内物体的加速度逐渐小，故A正确；
B．甲图中，在 0~t0这段时间内，若物体做匀加速运动，则物体的平均速度因物体在0~t0这段时间内的位移大于匀加速运动的位移，可知物体的平均速度故B错误；C．由乙图可知a随时间逐渐增大，故物体不是做匀加速直线运动，故C错误。
D．根据△v=a△t可知乙图象中，阴影面积表示t1到t2时间内物体的速度变化量，故D正确。故选AD。
利用速率－时间图像解路程问题
【例1】　((2021·山东聊城月考))如图所示，两光滑斜面的总长度相等，高度也相等，两球a、b由静止从顶端下滑，小球在转折处的速度大小不变，如果a球到达底端的时间为ta，b球到达底端的时间为tb，则两球到达底端的时间关系(　　)
A．ta＞tb　　　　　　 B．ta＜tb
C．ta＝tb D．无法判断
【解析】　由机械能守恒，可知a、b两球到达底端的速度的大小相等，由牛顿第二定律，可知各段的加速度的关系为ab1＞aa＞ab2，由位移(路程)相等可在图像中体现为面积相等．【答案】　A
(2021·广东模拟)如图所示，游乐场中，从高处A到水面B处有两条长度相同的光滑轨道．甲、乙两小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处，下列说法正确的有(　　)
A．甲的切向加速度始终比乙的大
B．甲、乙在同一高度的速度大小相等
C．甲、乙在同一时刻总能到达同一高度
D．甲比乙先到达B处
【解析】　切向加速度a＝gsinθ，开始甲大于乙后来甲小于乙，选项A错误；由机械能守恒可知，甲乙在同一高度的速度大小相等，选项B正确；画出甲乙的速度图像如图所示，由于两种情况路程相同(即图像与t轴所围的面积相同)，最后的速率相同，由图可知甲比乙先到达B处，同一时刻，甲的位置总低于乙，选项C错，选项D正确．【答案】　BD
考点二　追及相遇问题
1、图象信息类追及相遇问
【典例4】（2022·安徽合肥一中高一月考）甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向沿直线运动，它们的v-t图像如图所示．下列判断不正确的是
A．乙车启动时，甲车在其前方50m处
B．乙车超过甲车后，两车不会再相遇
C．乙车启动10s后正好追上甲车
D．运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75m
【通型通法】
1.题型特征：v-t图象、相遇、最大距离。
2.思维导引：
【答案】C
【详解】
A、根据速度图线与时间轴包围的面积表示位移，可知乙在时启动，此时甲的位移为，即甲车在乙前方50m处，故选项A正确；
B、乙车超过甲车后，由于乙的速度大，所以不可能再相遇，故选项B正确；
C、由于两车从同一地点沿同一方向沿直线运动，当位移相等时两车才相遇，由图可知，乙车启动10s后位移小于甲的位移，还没有追上甲，故选项C错误；
D、当两车的速度相等时相遇最远，最大距离为：，故选项D正确；不正确的是选选项C．
【拓展训练】（2022·诸城市龙城中学高三期中）2018年全球最具价值汽车品牌百强榜上榜的中国汽车品牌数从去年的15个已经上涨到22个了，其中共有9个新入品牌，发展非常迅速．某厂家为了测试新款汽车的性能，将两辆完全相同的汽车并排停在检测场平直跑道上，时刻将两车同时启动，通过车上的速度传感器描绘出了两车的速度随时间的变化规律图线（甲为一条过原点的倾斜直线），图像中两阴影部分的面积，下列说法正确的是：
A．时刻甲车的加速度小于乙车
B．时刻甲车在前，时刻乙车在前
C．时刻两车可能相遇2次
D．时刻甲车的平均速度大于乙车
【答案】D
【详解】
A． v-t图的斜率表示加速度，由图可知，时刻甲车的加速度大于乙车，A错误．B． v-t图的面积表示位移，由图可知，时刻乙的位移大于甲的位移，所以时刻乙车在前，同理时刻甲车在前，B错误．C．时刻两车相遇的时刻在时刻后，时刻前，相遇1次，C错误．D．时刻甲车的位移大于乙车，故甲车的平均速度大于乙车，D正确．
2、实际情境描述类追及相遇问
【典例5】(2022·全国高一课时练)一辆汽车在十字路口等候红绿灯，当绿灯亮时汽车以a=3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自=6 m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车。试求：
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
(2)什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？
【一题多解】
(1)方法1：物理分析法
汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t1，两车间的距离为Δx，则有v自=at1
所以t1==2 sΔx=v自t1-a=6 m。方法2：极值法设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车相距最远，则Δx=v自t1-a代入已知数据得Δx=6t1-由二次函数求极值的条件知：t1=2 s时，Δx有最大值6 m。所以经过t1=2 s后，两车相距最远，此时距离为Δx=6 m。方法3：图象法自行车和汽车的v-t图象如图所示，
由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有t1== s=2 sΔx== m=6 m。
方法1：物理分析法当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，则有v自t2=a解得t2== s=4 s此时汽车的速度v1=at2=12 m/s。
方法2：图象法由前面画出的v-t图象可以看出，在t1时刻之后，当由图线v自、v汽和t=t2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时，汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇，所以t2=2t1=4 s，v1=at2=3×4 m/s=12 m/s。答案：(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s
【典例6】（2022·全国高三专题练习）在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做出速度为v0，加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足的条件。
【答案】
【详解】
解法一：临界法 两车刚好不相撞时两者末速度相等，有v0-2at=at解得此时A车的位移为B车的位移为且有x1=x2+s解得
故A车初速度v0满足
解法二：函数法
利用判别式求解，由解法一可知xA=x+xB
即
整理得 3at'2-2v0t'+2x=0
这是一个关于时间t'的一元二次方程，当根的判别式 △=（-2v0） -4·3α·2x=0时，两车刚好不相撞，所以要使两车不相撞，A 车的初速度v应满足的条件是v0≤ √6ax。
解法三 图像法
利用v-t 图像求解，先作 A、B两车的v-t图像，如图所示，设经过t'时间两车刚好不相撞，则对A车有vA= v'=v-2at'
对 B车有vB=v'=at'以上两式联立解得t'=
经t'时间两车发生的位移之差为原来两车间距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图像可知
所以要使两车不相撞，A 车的初速度 v。应满足的条件是v。≤ 。
解法四 相对运动法
巧选参考系求解。以 B 车为参考系，A车的初速度为v，加速度为a'=-2a-a=-3a。A车追上 B车且刚好不相撞的条件是v=0，这一过程 A 车相对于 B车的位移为x，由运动学公式v -v2=2ax得∶0 -v2=2·（-3a）·x
所以。
故要使两车不相撞，A车的初速度%应满足的条件是v。≤ 。答案v。 ≤
【加固训练1】（2021·山西实验中学高一开学考试）如图所示，在两车道的公路上有甲、乙两辆车，甲车停在A线位置，某时刻乙车以速度通过A线后立即以大小的加速度开始制动减速，甲车4s后开始以的加速度向同一方向匀加速运动，经过一定时间，两车同时在B线位置．两车看成质点，从乙车通过A线位置开始计时，求经过多长时间两车同时在B线位置及在B线位置时甲车的速度大小．
【答案】t＝14 s，v2＝40 m/s
【详解】解：设白车停下来所需的时间为t1，减速过程通过的距离为x1，则v1=a1t1解得 x1=200m，t1=10s在t1=10s时，设黑车通过的距离为x2，则解得x2=72m＜x1=200m所以白车停车前未相遇，即白车停车位置就是B线位置．设经过时间t两车同时在B线位置，在B线位置黑车的速度为v2，则v2=a2（t﹣t0）解得t=14s，v2=40m/s
【加固训练2】（2022·湖南省平江县第一中学高三月考） 一步行者以6.0 m/s的速度追赶被红灯阻停的公共汽车，在距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则 ( 　)
A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m
B．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m
C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m
D．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远
【答案】B
【详解】
当公交车加速到6.0 m/s时，其加速时间为：，人运动的距离为：x1=vt=6×6m=36m，公交车运动的距离为：x2=at2=×1×62m=18 m，则人与车最近距离为：△x=x2+x0-x1=18m+25m-36m=7m，所以人不能追上公交车，且车开动后，人与车之间的距离先变小后变大，故B正确，ACD错误．
【加固训练3】（2021·临颍县南街高级中学高一期末）A、B两物体在同一直线下运动，当它们相距s0=7m时，A在水平拉力和摩擦力的作用下，正以vA=4m/s的速度向右做匀速运动，而物体B此时速度vB=10m/s向右，它在摩擦力作用下以a=2m/s2匀减速运动，则经过多长时间A追上B？若vA=8m/s，则又经多长时间A追上B？
【答案】8s，3.8s
【详解】B匀减速到停止的时间为t0=在5s内A运动的位移sA=vAt0=20m在5s内B运动的位移sB=vBt0+=25m因为sAsB+s0，即B停止运动前，A已经追上B。则即解得
通法指导
1.解答追及和相遇问题的四种方法：
情景法 抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的情景图
函数法 设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况
图象法 将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一图象中，然后利用图象分析求解相关问题
临界法 寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者时，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者时，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离
2.解答追及和相遇问题的两点技巧：
3.追及相遇问题的解题流程：
【反馈训练】
1.（2022·镇远县文德民族中学校高三月考）甲、乙两辆汽车沿同一平直路面行驶，其v—t图象如图所示，下列对汽车运动状态的描述正确的是
A．在第20s 末，甲、乙两车相遇
B．若乙车在前，则可能相遇两次
C．在第10s末，甲、乙车改变运动方向
D．在第10s 末，甲、乙两车相距 150 m
【答案】B
【详解】
在第20s末，甲通过的位移比乙的位移大，但由于它们初始位置关系未知，所以不能判断是否相遇，故A错误．若t=0时刻乙车在前，则两车在第20s末前，两车可能相遇一次，此后由于乙做匀加速运动，甲做匀速运动，乙可能追上甲，再相遇一次．故B正确．由图知，甲乙两车的速度一直为正，说明一直沿正方向运动，运动方向没有改变，故C错误．在第10s末，甲、乙两车的位移之差为：△x=20×10-×10×10=150m，由于出发点的位置关系未知，所以不能求出确定它们相距的距离，故D错误．
2.(2022·福建长泰一中)春节放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口前x0=9 m区间的速度不超过v0=6 m/s。现有甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以v甲=20 m/s和v乙=34 m/s的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后。甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为a甲=2 m/s2的加速度匀减速刹车。
(1)甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章。
(2)若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前9 m处的速度恰好为6 m/s，乙车司机在发现甲车刹车时经t0=0.5 s的反应时间后开始以大小为a乙=4 m/s2的加速度匀减速刹车。为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9 m区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？
【解析】(1)对甲车，速度由20 m/s减至6 m/s过程中的位移x1==91 mx2=x0+x1=100 m即：甲车司机需在离收费站窗口至少100 m处开始刹车。(2)设甲刹车后经时间t，甲、乙两车速度相同，由运动学公式得：v乙-a乙(t-t0)=v甲-a甲t，解得t=8 s相同速度v=v甲-a甲t=4 m/s<6 m/s，即v0=6 m/s的共同速度为不相撞的临界条件乙车从34 m/s减速至6 m/s的过程中的位移为x3=v乙t0+=157 m所以要满足条件甲、乙的距离至少为x=x3-x1=66 m。答案：(1)100 m　(2)66 m
知能综合提升
基础练
1、（2019·阳谷县第二中学高三期末）用下列各图表示物体的运动，其中物体运动方向一定不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
x-t图象中图象的斜率表示速度，斜率的正负表示速度方向，知该物体的运动方向是变化的，故A错误；B．在x-t图象中图象的斜率表示速度，该物体的速度不变，做匀速直线运动，运动方向一定不变，故B正确；C．该物体的速度先正后负，运动方向是变化的，故C错误；D．该物体的速度作周期性变化，运动方向是变化的，故D错误．
2．（2021·杭州市长征中学高二月考）利用速度传感器与计算机结合，可以自动做出物体的速度v随时间t的变化图像．某次实验中获得的v-t图像如图所示，由此可以推断该物体在
A．t=2s时速度的方向发生了变化
B．t=2s时加速度的方向发生了变化
C．0～4s内作曲线运动
D．0～4s内的位移约为2．8m
【答案】A
【详解】
试题分析：由图度与时间的图像可知，物体在2s前速度是正值，在2s后速度是负值，即方向发生了改变，故t=2s时速度的方向发生了变化，选项A正确；t=2s前后曲线的斜率都是负的，故其加速度的方向没有发生变化，选项B错误；物体一直做直线运动，选项C错误；0～4s内物体的位移约为0，选项D错误．
考点：速度与时间图像．
3．（2022·天津紫云中学高三月考）如图为甲、乙两物体从同一地点沿同一方向做直线运动的v-t图像。图中，则在的运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．在时刻，甲的位移是乙的位移的1.5倍 B．甲的加速度大小是乙的加速度大小的1.5倍
C．在时刻，甲与乙相遇 D．在到达时刻之前，乙一直在甲的前面
【答案】C
【详解】
ACD．图像面积表示位移，所以在的运动过程中，两物体运动位移相同，即在时刻，甲与乙相遇，并且开始时甲的速度较大，所以在到达时刻之前，乙一直在甲的后面；在时刻，甲的位移是相遇时位移的一半，乙的位移是相遇时的四分之一，所以甲的位移是乙的两倍，AD错误，C正确；
B．图像的斜率表示加速度，所以甲的加速度大小始终为乙的加速度大小为的加速度大小是乙的加速度大小的2倍，B错误。故选C。
4．（2022·福建省南平市高级中学高一期中）如图，直线和曲线分别是在平行的平直公路上行驶的汽车和的速度一时间（）图线，在时刻两车刚好在同一位置（并排行驶），在到这段时间内( )
A．在时刻，两车相距最远 B．在时刻，两车相距最远
C．车加速度均匀增大 D．车加速度先增大后减小
【答案】B
【解析】
试题分析：在t1时刻两车刚好在同一位置（并排行驶），在t1到t3这段时间内，a的速度一直大于b的速度，两者间距一直增大，t3时刻之后，a的速度小于b的速度，两者间距减小，则在t3时刻，两车相距最远，故A错误，B正确．根据速度时间图象的斜率等于加速度，可知，a车的加速度不变，b车加速度先减小后增大．故C、D错误．故选B．
考点：v-t图线
能力练
5．（2018·安徽省舒城县龙河中学高三月考）在同一条直线上做直线运动，它们的a t图像如图所示，规定水平向右为正方向．已知在t＝0时，两物体的速度均为零，且A在B的左边1.75 m处，则A追上B的时间是(　 　)
A．t＝0.5 s
B．t＝1.5 s
C．t＝2.5 s
D．t＝3.5 s
【答案】D
【解析】
由图象可知：A物体在第1s内做匀加速运动，第2s内做匀减速运动，2s末速度减为0，然后重复前面的过程，是单向直线运动，位移一直增大；B物体在第1s内做匀加速运动，第2s内做匀减速运动，2s末速度减为0，第3s内沿负方向做加速运动，第4s内沿负方向做减速运动，不是单向直线运动.
A、B、根据前面的分析，画出两个物体的速度图象如图：
v-t图象图线与时间轴围成的面积表示位移，由图可知 在前2s内两个物体的位移大小相等，所以前2s内两个物体不可能相遇；故A、B错误.C、第3s内二者的位移大小是相等的，都是：,此时二者之间的距离：L=L0+(-△x）-△x=1.75m-0.5m-0.5m=0.75m,3s末二者之间的距离仍然是0.75m，此时二者的速度大小相等，方向相反，所以相遇的时间大于3s．故C错误，D正确.故选D．
【点睛】解决本题的关键是正确分析两个物体的运动规律，要注意物体的加速度反向时速度并不立即反向，也可画出物体的v-t图象，由几何关系进行分析．
6．（2022·全国高一课时练习）如图所示是一做匀变速直线运动的质点的位移—时间图像，P(t1，x1)为图像上一点．PQ为过P点的切线，与x轴交于点Q．则下列说法正确的是( )
A．t1时刻，质点的速率为
B．t1时刻，质点的速率为
C．质点的加速度大小为
D．0～t1时间内，质点的平均速度大小为
【答案】B
【详解】AB.x-t图象的斜率表示速度，则时刻，质点的速率为故A错误，B正确；C.根据图象可知，t=0时刻，初速度不为零，根据可得加速度故C错误；D.时间内，质点的平均速度大小为故D错误．
7．（2022·吉林高一期末）一辆汽车做直线运动，其图像如图所示。关于汽车的运动，下列说法错误的是（　　）
A．汽车的初速度为4m/s B．汽车的加速度大小为0.5m/s2
C．汽车在第4s末的速度为2m/s D．汽车前10s内的位移为15m
【答案】D
【详解】A．根据公式可推得所以对应图像，初速度为4m/s，A正确。B．根据图像和公式可知加速度大小为0.5m/s2，B正确。C．根据公式可知4s末的速度为2m/s，C正确。D．根据公式可知，物体在8s末停止运动，所以根据公式可知，汽车前10s内的位移就是物体前8s内的位移为16m，D错误。故选D。
8、（2019·沈阳市第二十八中学高三开学考试）货车A正在公路上以20m/s的速度匀速行驶，因疲劳驾驶，司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆静止的轿车B时，两车距离仅有75m。
（1）若此时B车立即以2m/s2的加速度启动，通过计算判断：如果A车司机没有刹车，是否会撞上B车；若不相撞，求两车相距最近时的距离；若相撞，求出从A车发现B车开始到撞上B车的时间。
（2）若A车司机发现B车，立即刹车(不计反应时间)做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2(两车均视为质点)，为避免碰撞，在A车刹车的同时，B车立即做匀加速直线运动(不计反应时间)，问：B车加速度至少多大才能避免相撞。(这段公路很窄，无法靠边让道)
【答案】(1)两车会相撞　5s　(2)0.67m/s2
【详解】(1)当两车速度相等时，设经过的时间为t，则：vA＝vB对B车vB＝at联立可得：t＝10 sA车的位移为：xA＝vAt＝200 mB车的位移为：xB＝at2＝100 m因为xB＋x0＝175 m9．（2022·河南南阳中学高三月考）由于公路维修只允许单车道通行。t=0时，甲车在前，乙车在后，相距x0=100m，速度均为v0=30m/s，从此时开始两车按图所示规律运动，则下述说法正确的是（　　）
A．两车最近距离为20m B．两车最近距离为100m
C．两车一定不会相遇 D．两车一定会相遇
【答案】C
【详解】由图象知，0~3s时，甲车做匀减速运动，加速度大小位移由图象知，0~3s时，乙车做匀速直线运动，位移x2=v0t1=30×3 m =90m3~9s时甲车做匀加速直线运动，加速度乙车做匀减速直线运动，加速度a3= 5m/s2。设甲乙两车在时间t达到共速，则有a2×(t 3)=v0+a3×(t 3)代入数值解得t=6s3s~6s内，甲车位移乙车位移两车最近距离代入数值解得Δx=10m因此两车最近距离是10m，两车不会相遇，ABD错误，C正确。故选C。

展开更多......

收起↑