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2.3 力的合成和分解
知识构建
知识点1　力的合成
1.合力与分力:
(1)定义:如果几个力共同作用产生的效果与一个力的作用效果相同,这一个力就叫作那几个力的_____,那几个力叫作这一个力的_____。
(2)关系:合力与分力是_________关系。
2.共点力:作用在同一点上,________________________________的几个力。
3.力的合成:
(1)定义:_______________的过程。
(2)运算法则:①_______________。②___________。如图所示,求F1、F2的合力,则:
①如图甲,可以用表示两个力的线段为邻边作____________,这两个邻边之间的________就表示合力的大小和
方向。
②如图乙,把表示两个力的有向线段首尾顺次连接起来,第一个力的首到第二个力的尾的__________表示合
力的大小和方向。
【答案】
1.合力 分力 等效替代 2.作用线或作用线的延长线交于一点
3.求几个力的合力 平行四边形定则 三角形定则
1．力的分解
已知一个力求它的_________的过程．它是力的合成的逆运算．
2．规律
力的分解遵循________________定则，力的分解相当于已知对角线求邻边．
3．力的分解方法
(1)按力的效果分解
以一个力为对角线作平行四边形，可以有无数多个，但是，在具体问题中进行力的分解时，必须根据力的作用效果，获得关于分力的一些信息，才能根据平行四边形定则求出分力．
(2)力的正交分解
把一个力分解为两个_____________的分力，把力F分解为Fx和Fy，其中Fx＝_____________，Fy＝___________．
【答案】1.合力 2.平行四边形 3.互相垂直 Fcosθ Fsinθ
附知识树
考点突破
考点一 力的合成问题
1．共点力合成的常用方法
(1)作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向。
(2)计算法：几种特殊情况的共点力的合成。
类　型 作　图 合力的计算
①互相垂直 F＝ tan θ＝
②两力等大，夹角为θ F＝2F1cos F与F1夹角为
③两力等大且夹角120° 合力与分力等大
④若两个力F1、F2的夹角为θ，合力的大小可由余弦定理得到
2．合力的大小范围
(1)两个共点力的合成
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2
即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小，为|F1－F2|，当两力同向时，合力最大，为F1＋F2。
(2)三个共点力的合成
①三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。
②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力最小值为零；如果第三个力不在这个范围内，则合力最小值等于最大的力减去另外两个力。
【例1】（2019·浙江高一期中）如图所示，体操吊环运动有一个高难度的动作就是先双手撑住吊环，然后身体下移，双臂缓慢张开到位置，则在此过程中，吊环的两根绳的拉力（两个拉力大小相等）及它们的合力F的大小变化情况为（　　）
A．减小，F不变 B．增大，F不变
C．增大，F减小 D．增大，F增大
【答案】B
【解析】
【详解】
对人受力分析可知，两绳的拉力的合力与人的重力的大小是相等的，人的重力的大小是不变的，所以两绳的合力F的不变，即当双臂缓慢张开时绳之间的夹角变大，两个分力的大小FT都要增大．
A．减小，F不变．故A不符合题意．
B．增大，F不变．故B符合题意．
C．增大，F减小．故C不符合题意．
D．增大，F增大．故D不符合题意．
【变式1】．（2021·湖南高二期中）我国海军在南海某空域举行实兵对抗演练，某一直升机在匀速水平飞行过程中遇到突发情况，立即改为沿虚线方向斜向下减速飞行，则空气对其作用力可能是(　　)
A．F1 B．F2
C．F3 D．F4
【答案】A
【详解】
因为直升机沿虚线方向斜向下减速飞行，故合力沿虚线向上，直升机受到竖直向下的重力以及空气作用力两个力，要想合力沿虚线向上，则根据矢量三角形可得空气对其作用力可能为F1，如图所示．故选A.
【点睛】
本题是已知运动情况判断受力情况的问题，关键是先根据运动情况确定加速度方向，得到合力方向，然后受力分析后根据三角形定则判断空气作用力的方向．
考点二 力的分解问题
1.按力的作用效果分解的几种情形
实例 分解思路
拉力F可分解为水平方向分力F1＝Fcos α和竖直方向分力F2＝Fsin α
重力分解为沿斜面向下的力F1＝mgsin α和垂直斜面向下的力F2＝mgcos α
重力分解为使球压紧挡板的分力F1＝mgtan α和使球压紧斜面的分力F2＝
重力分解为使球压紧竖直墙壁的分力F1＝mgtan α和使球拉紧悬线的分力F2＝
重力分解为拉紧AO线的分力F2和拉紧BO线的分力F1，大小都为F1＝F2＝
2.按实际效果分解力的一般思路
2．正交分解法
定义 将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法
建立坐标轴的原则 一般选共点力的作用点为原点， ①在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)； ②在动力学中，习惯以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。 ③尽量不分解未知量。
方法 物体受到多个力作用F1、F2、F3…求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。 x轴上的合力： Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋… 合力大小：F＝ 合力方向：与x轴夹角设为θ， 则tan θ＝。
y轴上的合力： Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
【例2】．（2022·安徽高一期末）如图，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上，使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次力之比为
A．cosθ+μsinθ B．cosθ–μsinθ
C．l+μtanθ D．1–μtanθ
【答案】B
【解析】
F1作用时，物体的受力情况如图1，根据平衡条件得

F1=mgsinθ+μFN
FN=mgcosθ
解得：F1=mgsinθ+μmgcosθ
F2作用时，物体的受力情况如图2，根据平衡条件得
F2cosθ=mgsinθ+μFN′
FN′=mgcosθ+F2sinθ
解得：
所以 ，故选B．
【变式2】．（2021·山东滨城一中高二期末）如图所示是山区村民用斧头劈柴的剖面图，图中BC边为斧头背，AB、AC是斧头的刃面。要使斧头容易劈开木柴，则（ ）
A．BC边短一些，AB边也短一些
B．BC边长一些，AB边短一些
C．BC边短一些，AB边长一些
D．BC边长一些，AB边也长一些
【答案】C
【解析】解：如图所示：
斧头的重力形成对木柴两端的挤压力，两力与斧头的AB、BC边相互垂直； 则可知当BC边短一些，AB边长一些时两力之间的夹角更大，则两分力更大；
故C正确；故选C．
【点评】在受力分析时一定要注意平行四边形的作用，根据图形才能正确的找出力的变化关系．
考点三 　对称法解决非共面力问题
在力的合成与分解的实际问题中，经常遇到物体受多个非共面力作用处于平衡状态的情况，解决此类问题时要注意图形结构的对称性特点，结构的对称性往往对应着物体受力的对称性，即某些力大小相等，方向特点相同等。
解决这类问题的方法根据物体受力的对称性，结合力的合成和分解知识及平衡条件列出方程，求解结果。
【例3】．（2022·福建莆田一中高一期中）如图是悬绳对称且长度可调的自制降落伞．用该伞挂上重为G的物体进行两次落体实验，悬绳的长度l1A．F1F2
C．F1＝F2G
【答案】B
【详解】
物体受重力和n根悬绳拉力作用处于平衡状态，由对称性可知，每条悬绳拉力的竖直分力为G/n，设绳与竖直方向的夹角为θ，则有Fcos θ＝G/n，解得F＝ ，由于无法确定ncos θ是否大于1，故无法确定拉力F与重力G的关系，C、D错误；悬绳较长时，夹角θ较小，故拉力较小，即F1>F2，A错误，B正确；故选B．
【变式3】（2021·山东济宁月考）如图所示，完全相同的四个足球彼此相互接触叠放在水平面上，每个足球的质量都是m，不考虑转动情况，下列说法正确的是（　　）
A．下面每个球对地面的压力均为mg
B．下面的球不受地面给的摩擦力
C．下面每个球受地面给的摩擦力均为mg
D．上面球对下面每个球的压力均为mg
【答案】AD
【详解】A．以四个球整体为研究对象，受力分析可得3FN＝4mg可知下面每个球对地面的压力均为FN′=FN=mg故A正确；B．四个球的球心连线构成了正四面体，对下面的球受力分析可知，下面的每个小球都受到静摩擦力作用，故B错误；CD．隔离上面球分析，由几何关系可得3F1=mg得F1＝mg隔离下面一个球分析Ff=F1=mg故C错误，D正确。故选AD。
考点四　绳上的“死结”和“活结”模型
模 型 概 述 1.“死结”：理解为绳子的结点是固定的，“死结”两侧的是两根独立的绳，两个弹力不一定相等。
2.“活结”：理解为绳子的结点可以移动，一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。“活结”两侧的两个弹力一定相等，它们合力的方向一定沿两绳的角平分线。
高考示例请判别个是“死 结”哪个 是“活结”？) (2017·天津卷，8)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点， (多选)(2016·全国卷Ⅰ，19)如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；
(2016·全国卷Ⅱ，14)质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。 (2016·全国卷Ⅲ，17)如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上
方法 规律 (1)对轻质杆，若与墙壁通过转轴相连，则杆产生的弹力方向一定沿杆。 (2)若轻质杆一端固定，则杆产生的弹力有可能沿杆，也有可能不沿杆，杆的弹力方向，可根据共点力的平衡求得。 (3)“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等，“活结”分开的两段绳子上的弹力大小一定相等，“活结”分开的两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线。
【例4】（2021·山东滨城一中高一期中）如图甲所示，轻绳AD跨过固定的水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：
(1)轻绳AC段的张力FAC与细绳EG的张力FEG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力。
【通法指导】
1. “活结”和“死结”模型
【题型要点】（1）．活结：当绳绕过光滑的滑轮或挂钩时，由于滑轮或挂钩对绳无约束，因此绳上的力是相等的，即滑轮只改变力的方向不改变力的大小．
（2）．死结：若结点不是滑轮或挂钩，而是固定点时，称为“死结”结点，则两侧绳上的弹力不一定相等．
【模型构建】“活结”与“死结”模型
2　“动杆”和“定杆”问题
【题型要点】（1）．动杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆处于平衡时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动．如图甲所示，若C为转轴，B为两绳的结点，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向．
（2）．定杆：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向，如图乙所示
【答案】(1) ；(2)M1g，方向和水平方向成30°指向右上方；(3)M2g，方向水平向右
【详解】
题图甲和乙中的两个物体M1、M2都处于平衡状态，根据平衡条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图1和2所示，根据平衡规律可求解．
(1)图1中轻绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，轻绳AC段的拉力图2中由得所以(2)图1中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡规律有FNC＝FAC＝M1g，方向和水平方向成30°，指向右上方。(3)图2中，根据平衡方程有所以方向水平向右。
【点睛】
本题首先要抓住定滑轮不省力的特点，其次要根据平衡条件，以G点为研究对象，按力平衡问题的一般步骤求解细绳EG的张力。
【变式】(多选)(2021·山东威海月考)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是(　　)
A．绳的右端上移到b′，绳子拉力不变 B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小 D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
【答案】AB
【解析】设两杆间距离为d，绳长为l，Oa、Ob段长度分别为la和lb，则l＝la＋lb，两部分绳子与竖直方向夹角分别为α和β，受力分析如图所示。绳子中各部分张力相等，Fa＝Fb＝F，则α＝β。满足2Fcos α＝mg，d＝lasin α＋lbsin α＝lsin α，即sin α＝，F＝，d和l均不变，则sin α为定值，α为定值，cos α为定值，绳子的拉力保持不变，故选项A正确，C错误；将杆N向右移一些，d增大，则sin α增大，cos α减小，绳子的拉力增大，故选项B正确；若换挂质量更大的衣服，d和l均不变，绳中拉力增大，但衣服的位置不变，选项D错误。
智能综合提升
辨析类
(1)合力及其分力均为作用于同一物体上的力。(√)
(2)合力及其分力可以同时作用在物体上。(×)
(3)几个力的共同作用效果可以用一个力来代替。(√)
(4)在进行力的合成与分解时，都要应用平行四边形定则或三角形定则。(√)
(5)两个力的合力一定比其分力大。(×)
(6)互成角度的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形。(√)
(7)既有大小又有方向的物理量一定是矢量。(×)
基础练
1.下列关于合力与分力的说法，正确的是（ ）
A.两个已知力的合力一定大于其中的任意一个力
B. 两个已知力的合力可能比任意一个力都要小
C.一个已知力可以有多种分解方法，但各种情况的分力都是一样的
D.两个已知力的合力的结果有多种可能
【答案】A
2.（多选）（2021·四川高一期末）下列图中物体均处于静止，将物体所受重力或拉力按力的效果进行分解，其中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】
A．图中重力产生使物体下滑和挤下斜面的效果，A正确；
B．图中拉力产生使物体沿水平方向前进和沿竖直方向提拉物体的效果，B正确；
C．球的重力产生挤压墙壁和拉伸绳子的效果，C正确；
D．球的重力产生挤压竖直挡板和斜面的效果，G1应与竖直挡板垂直，G2应与斜面垂直，D错误。
故选ABC。
3.（2018·广东高要一中高一期末）物体受共点力F1、F2、F3作用而做匀速直线运动，则这三个力可能选取的数值为( )
A．15 N、5 N、6 N B．3 N、6 N、4 N
C．1 N、2 N、10 N D．1 N、6 N、8 N
【答案】B
【解析】
解：三力中某两个力的合力|F1﹣F2|≤F1、2合≤F1+F2，若另一个力F3的大小在F1、2合的取值范围内，则这三个力的合力可能为零，物体就处于平衡状态．
A、10N≤F1、2合≤20N，F3=6N不在这范围内，故A错误．
B、3N≤F1、2合≤9N，F3=4N在这范围内，故B正确．
C、1N≤F1、2合≤3N，F3=10N不在这范围内，故C错误．
D、5N≤F1、2合≤7N，F3=8N不在这范围内，故D错误．
故选B
【点评】本题重点考查合力大小的计算，在方向未知的情况下找出两个力合成的最大值和最小值，明确三力平衡时，任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线．
4.（2022·湖北江陵一中高一期末）如图甲所示，质量为m的木块在大小为F、与水平面夹角为θ的推力作用下，在水平地面上做匀速直线运动，已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，则木块受到的滑动摩擦力为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】
A．对物体受力分析如图所示
由于匀速运动所以物体所受的合力为零，根据平衡条件可知，在水平方向有摩擦力而根据可知，摩擦力为故AC错误，BD正确。故选BD。
5.（2022·四川省新津中学高三月考）科技的发展正在不断地改变着我们的生活，图甲是一款放在水平桌面上的手机支架，其表面采用了纳米微吸材料，用手触碰无粘感，接触到平整光滑的硬性物体时，会牢牢吸附在物体上。图乙是手机静止吸附在该手机支架上的侧视图，若手机的重力为G，下列说法正确的是（　　）
A．手机受到的支持力大小为Gcosθ
B．手机受到的摩擦力大小大于Gsinθ
C．纳米材料对手机的作用力方向竖直向上
D．纳米材料对手机的作用力大小为Gsinθ
【答案】C
【详解】
A．手机处于静止状态，受力平衡，根据平衡条件可知，在垂直支架斜面方向有
手机受到的支持力大于，故A错误；
B．在平行斜面方向，根据平衡条件，有
故B错误；
CD．手机处于静止状态，受力平衡，受到重力和纳米材料对手机的作用力，根据平衡条件可知，纳米材料对手机的作用力大小等于重力，方向与重力方向相反，竖直向上，故C正确，D错误。
故选C。
6.(多选)（2022·四川阆中中学高一期中）如图所示是轿车常用的千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起.当车轮刚被顶起时，汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°.下列判断正确的是
A．此时千斤顶每臂受到的压力大小均为5.0×104 N
B．此时千斤顶对汽车的支持力为1.0×105N
C．若继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶每臂受到的压力将增大
D．若继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶每臂受到的压力将减小
【答案】BD
【详解】
车轮刚被顶起时，千斤顶两臂支持力的合力为千斤顶对汽车的支持力，等于汽车对千斤顶的压力，大小为，故B错误；两臂夹角为，由几何关系可知，千斤顶每臂受到的压力为，故A错误；继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶两臂夹角变小，每臂受到的压力减小，故C错误，D正确.
7.（2018·辽宁高一期末）如图所示，一物块在斜向下的推力F的作用下沿光滑的水平地面向右运动，那么A受到的地面的支持力与推力F的合力方向是 (　 　)
A．水平向右 B．向上偏右 C．向下偏左 D．竖直向下
【答案】B
【分析】
物体受重力，支持力，拉力，根据力的分解和合成即可判断出A受到的地面的支持力与拉力F的合力方向．
【详解】
对物体受力分析可知，其受重力，支持力，拉力在竖直方向，支持力与F在竖直方向的分力的合力为，方向向上，F在水平方向的分力，水平向右，故合力，方向向上偏右，B正确．
【点睛】
本题是力的合成的问题，合力一定在两分力之间，本题需要把F分解后再合成，进而找出合力方向．
8.（2022·宜宾市叙州区第二中学校高三月考）如图所示，用三根轻绳将质量为m的物块静止悬挂在空中。已知ab和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
对结点C受力分析，受到三根绳子拉力，将和合成为F，如图所示
根据平衡条件有：根据三角函数关系得：B正确，ACD错误。故选B。
9（多选）（2021·福建福州三中高一开学考试）如图所示，叠放在一起的A、B两物体放置在光滑水平地面上，A、B之间的水平接触面是粗糙的，细线一端固定在A物体上，另一端固定于N点，水平恒力F始终不变，A、B两物体均处于静止状态，若将细线的固定点由N点缓慢下移至M点(线长可变)，A、B两物体仍处于静止状态，则(　　)
A．细线的拉力将减小
B．A物体所受的支持力将增大
C．A物体所受摩擦力将增大
D．水平地面所受压力将减小
【答案】AB
【详解】
以A、B两物体组成的系统作为研究对象，受力分析如图1所示．
水平方向，竖直方向：，因为细线与水平地面的夹角减小，增大，减小，将减小，将增大，所以细线所受拉力减小，地面受到的压力增大，A正确D错误；以物体A为研究对象，受力分析如图2所示，竖直方向：，减小，减小，所以增大，B正确；以B为研究对象，在水平方向上由力的平衡可得，A物体所受摩擦力不变，C错误；
【点睛】
在解析力的动态平衡问题时，一般有两种方法，一种是根据受力分析，列出力和角度三角函数的关系式，根据角度变化进行分析解题，一种是几何三角形相似法，这种方法一般解决几个力都在变化的情况，列出力与三角形对应边的等式关系，进行解题分析
10（多选）（2018·江苏海安高级中学高三月考）如图所示，三条绳子的一端都系在细直杆顶端，另一端都固定在水平地面上，将杆竖直紧压在地面上，若三条绳长度不同．下列说法正确的有(　　)
A．杆对地面的压力大于自身重力
B．三条绳中的张力都相等
C．绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零
D．绳子拉力的合力与杆的重力一定是一对平衡力
【答案】AC
【解析】
【详解】
A、D由于三力在竖直方向有拉力，杆在竖直方向合力为零，故杆对地面的压力大于重力，平衡力指的是等大反向作用在同一物体上的一对力；故A正确；D错误；
B、C由于三力长度不同，故说明三力与竖直方向的夹角不相同，由于杆保持静止，故在水平方向三力水平分力的合力应为零；故说明三力的大小不可能相等；故B错误，C正确；
【点睛】
本题考查共点力的平衡条件及应用，要注意本题中应分别对水平和竖直两个方向进行分析才能得出正确结果．

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