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第14课时 数列（3）
一　考点分析
1．在等差数列{}中，则 ．
2. 在数列中，，，在数列中，，，则_________．
3. 给定（n∈N*），定义乘积为整数的k（k∈N*）叫做“理想数”，则区间[1，2008]内的所有理想数的和为 ．
4．已知函数是偶函数，是奇函数，正数数列满足，，求数列的通项公式为 ．
5．在圆内，过点有条弦，它们的长构成等差数列，若为过该点最短弦的长,为过该点最长弦的长,公差，那么的值是 ．
6．已知函数,等差数列的公差为.若
,则 .
7．在△ABC中，是以－4为第3项，4为第7项的等差数列的公差，是以为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则这个三角形是 ．
(
ICME－7
图甲
O
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
A
7
A
8
图乙
)8.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME－7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为＝ ．
二、范例分析
例1.已知等差数列｛an｝的首项a1=1，公差d>0，且其第2项、第5项、第14项分别是等比数列｛bn｝的第2、3、4项. ⑴求数列与的通项公式； ⑵设数列对任意自然数n均有 成立,求：的值.
例2、已知函数,数列满足． (Ⅰ)求证：数列是等差数列； (Ⅱ)记,试比较与1的大小.
例3：设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。（1）求数列的通项公式（用表示）；
（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。
例4：已知等差数列满足：，，的前n项和为．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）令bn=(nN*)，求数列的前n项和．
三、巩固练习
1、在等差数列
2、已知数列，则数列的前100项的和是
3、等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=
4、在由正数组成的等比数列中，若
的值为
5、是等差数列，
6、.已知等差数列｛an｝,｛bn｝前n项和分别是Sn、Tn，若，则等于
7、在数列中，，，．
（1）证明数列是等比数列； （2）求数列的前项和；（3）证明不等式，对任意皆成立．
8、在数列中，，，设．
9、等差数列的各项均为正数，前项和，为等比数列，且 （1）求（2）求
数列（三）
1解：=2=6，=3，5=15，答：15
2解：的奇偶性为：奇，奇，偶，偶，奇，奇，偶，偶，…，从而分别为： ，，1，1，，，1，1，…，周期为4，所以，．答： 2
3解：换底公式：．为整数，，m∈N*分别是，最大值≤2008，m最大可取10，故和为22+23+…+210-18=2026．
4解：． 是偶函数，是奇，
，是等比数列 ，．
5解： 11,12,13,14,15．解: 圆心,半径
故与PC垂直的弦是最短弦，所以而过P、C的弦是最长弦，所以
由等差数列，
6.解：依题意，所以
7解：锐角三角形。由题意得，
是锐角三角形．
8.
二、范例分析
例1.已知等差数列｛an｝的首项a1=1，公差d>0，且其第2项、第5项、第14项分别是等比数列｛bn｝的第2、3、4项. ⑴求数列与的通项公式； ⑵设数列对任意自然数n均有 成立,
求：的值.
解:⑴由题意得，,
解得，
⑵当n=1时， 当n≥2时, ①
② 由①-②得，
,
小结：本小题考查等差、等比数列的基本知识，利用基本量 结合等比数列的中项公式，得出数列的通项公式。还考查已知前n项和求通项公式的基本方法，要注意分n=1和 n≥2两种情况。最后根据等比数列的前n项和公式求和.考查方程思想、化归思想、及分类讨论等思想方法，以及推理和运算能力．
例2、已知函数,数列满足．
(Ⅰ)求证：数列是等差数列；
(Ⅱ)记,试比较与1的大小.
例2、解：（Ⅰ）由已知得，， ∴，即．
∴数列是首项,公差的等差数列.
(Ⅱ) 由（Ⅰ）知, ∴，
∴，
∴
．
∴ ， ∴．
例3设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。（1）求数列的通项公式（用表示）；
（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。
[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。
（1）由题意知：，
，
化简，得：
，
当时，，适合情形。
故所求
（2）（方法一）
， 恒成立。
又，，
故，即的最大值为。
（方法二）由及，得，。
于是，对满足题设的，，有
。
所以的最大值。
另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。
于是，只要，即当时，。
所以满足条件的，从而。
因此的最大值为。
设数列中的每一项都不为0。
例4： 证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有
。
例4已知等差数列满足：，，的前n项和为．
（Ⅰ）求及；:（Ⅱ）令bn=(nN*)，求数列的前n项和．
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有
，解得，
所以；==。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，
所以==，
即数列的前n项和=。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
三、巩固练习
1、在等差数列
2、已知数列，则数列的前100项的和是
3、等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（　10　）
4、在由正数组成的等比数列中，若
的值为（ 10 ）
5、是等差数列， 100
6、已知等差数列｛an｝,｛bn｝前n项和分别是Sn、Tn，若，则等于（ ）
7、.在数列中，，，．
（1）证明数列是等比数列； （2）求数列的前项和；（3）证明不等式，对任意皆成立．（1）证明：由题设，得
，．
又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．
（2）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为
． 所以数列的前项和．
（3）证明：对任意的，
．
所以不等式，对任意皆成立．
另解：
所以不等式，对任意皆成立．
小结：本小题以数列的递推关系为载体主要考查等比数列的概念、通项公式及分组求和的方法。并且解决数列与不等式证明综合运用的问题。考查转化思想，以及推理和运算能力．
8、在数列中，，，设．
证明：数列是等差数列；且求出的通项公式。
解：（1）， ， ，
则为等差数列，， ，．
2.等差数列的各项均为正数，前项和，为等比数列，且 （1）求（2）求
（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，
， 依题意有①
解得或(舍去) 故
（2）
∴
9、.设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．
（1）求数列的通项；（2）令求数列的前项和．
解：（1）由已知得 解得．公比为，由，得．又，知，即，
解得．由题意得． ． 数列的通项为．
（2） 由（1）得=
又， 是首项为公差为的等差数列

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