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平面向量
一　考点分析
考点1. 平面向量的有关概念
1.如果实数和非零向量与满足，则向量和 ▲ ．（填“共线”或“不共线”）．
考点2：平面向量的线性运算
2.如图，平面内有三个向量、、,其中与的夹角为120°，与的夹角为30°,且||＝||＝1，|| ＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为 .
考点3：平面向量的坐标表示
3.设平面向量，则
考点4：平面向量的的数量积
4.已知向量和的夹角为，，则　　　　．
考点5：平面向量的平行与垂直
5.已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），与垂直，则是
6.设向量，若向量与向量共线，则 ．
考点6：平面向量的应用
7.已知向量 = (cos x,sin x)， = (－cos x,cos x)， = (－1,0)
(Ⅰ)若 x = ，求向量 、 的夹角；
(Ⅱ)当 x∈[,] 时，求函数 f (x) = 2· + 1 的最大值。
二、范例剖析：
例1：已知向量a= (sinωx，cosωx)，b=( cosωx，cosωx)，其中ω＞0，记函数=a·b，已知的最小正周期为π．
（1）求ω； （2）当0＜x≤时，试求f(x)的值域．南通一
例2．设函数f (x)＝a · b，其中向量a＝(2cosx , 1), b＝(cosx,sin2x), x∈R.
（1）若f(x)＝1－且x∈[－，]，求x； （2）若函数y＝2sin2x的图象按向量c＝(m , n) (﹤)平移后得到函数y＝f(x)的图象，求实数m、n的值.
例3：在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
设实数t满足()·=0，求t的值。
三、巩固练习：
1、已知向量a＝（2，－1），b＝（－1，m），c＝（－1，2）若（a＋b）∥c，则m＝ .
2、已知向量，满足，， 与的夹角为60°，则
3、已知平面向量则的值是
4、如图，在中，,,
,则 .
5、若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件=-2,则= .
6、设＝(2，3)，且点A的坐标为(2，3)，则点B的坐标为 ．
7、已知向量a＝(2，3)，b＝(x，6)，且a∥b，则x= ．
8、已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值是 ．
9、设向量a＝(－1，2)，b＝(2，－1)，则(ab)(a＋b)等于 ．
10、已知＝(5，4)与＝(3，2)，则与2－3平行的单位向量为 ．
11、（1）若|a|＝3，| b |＝2，且a与b的夹角为60°，则|a－b |＝ ．
12、已知向量与的夹角为，且，那么的值为 ．
13、若|a|＝1，| b |＝2，a与b的夹角为60°，若(3 a＋5 b)⊥(m a－b)，则实数的值为　　　　 ．
14、已知平面上三点A，B，C满足|AB|=5，|BC|=6，|CA|=7，则＋＋的值等于 ．
15、在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则(＋)的最小值是__________．
16、已知，，且．
（I）求与；
（Ⅱ）若的最小值为，求实数的值．
17、已知向量，其中．（1）若，求函数的最小值及相应x的值；
（2）若a与b的夹角为，且a⊥c，求的值．
平面向量
1.答案：共线
2.答案：过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90°角AOC=30°，=得平行四边形的边长为2和4，2+4=6
评析：本题考查平面向量的基本定理，向量OC用向量OA与向量OB作为基底表示出来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则。
3.答案：∵ ∴
4.答案：=，7
评析：向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算不要出现错误即可
5.答案：由于
∴，即.
6.答案：＝则向量与向量共线
7.解：(I) 当 x = 时，cos =
= …….4
= －cos x = －cos = cos
∵ 0≤≤， ∴ =
(II) f (x) = 2a·b + 1 = 2 (－cos 2 x + sin x cos x) + 1 = 2 sin x cos x－(2cos 2 x－1)
= sin 2x－cos 2x = sin (2x－)
∵ x∈[,]，
∴ 2x－∈[,2]， …..10
故 sin (2x－)∈[－1,]
∴ 当 2x－= ，即 x = 时，f (x)max = 1 ……14
二、例题剖析：
例1：已知向量a= (sinωx，cosωx)，b=( cosωx，cosωx)，其中ω＞0，记函数=a·b，已知的最小正周期为π．
（1）求ω； （2）当0＜x≤时，试求f(x)的值域．南通一
例1.(1)=sinωxcosωx＋cos2ωx =sin2ωx＋(1+cos2ωx)
=sin(2ωx+)+
∵ ω>0，∴T=π=，∴ω=1．
（2）由（1），得=sin(2x+) + ,
∴0＜x≤, ∴＜2x+≤．
∴∈[1，]．
例2．设函数f (x)＝a · b，其中向量a＝(2cosx , 1), b＝(cosx,sin2x), x∈R.（1）若f(x)＝1－且x∈[－，]，求x；（2）若函数y＝2sin2x的图象按向量c＝(m , n) (﹤)平移后得到函数y＝f(x)的图象，求实数m、n的值.
思路分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，
解： (1)依题设，f(x)＝（2cosx，1）·(cosx,sin2x)＝2cos2x＋sin2x＝1＋2sin(2x＋)
由1＋2sin(2x＋)=1－，得sin(2x＋)＝－.
∵－≤x≤ , ∴－≤2x＋≤, ∴2x＋=－, 即x＝－.
（2）函数y＝2sin2x的图象按向量c＝（m , n）平移后得到函数y＝2sin2(x－m)+n的图象，即函数y＝f(x)的图象.
由(1)得f (x)＝ ∵＜， ∴m＝－，n＝1.
点评： ①把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是Cˊ，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.②一般地，函数y＝f (x)的图象按向量a＝(h , k)平移后的函数解析式为y－k＝f（x－h）
例3：在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
设实数t满足()·=0，求t的值。
[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。
（1）（方法一）由题设知，则
所以
故所求的两条对角线的长分别为、。
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:
E为B、C的中点，E（0，1）
又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）
故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；
（2）由题设知：=(－2,－1)，。
由()·=0，得：，
从而所以。
或者：，
三、巩固练习：
1、已知向量a＝（2，－1），b＝（－1，m），c＝（－1，2）若（a＋b）∥c，则
m＝ －1 .
解析：，所以m=-1
2、已知向量，满足，， 与的夹角为60°，则
【答案】
【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图，由余弦定理得：
3、已知平面向量则的值是
答案 ：
4、如图，在中，,,
,则 .
【答案】D
【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。
【解析】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。
5、若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件=-2,则= .
10．C．，，解得．
（2）在中，，，则 ．
答案：．说明：考查向量的几何运算，掌握向量的加法、减法、实数与向量积、向量数量积的定义及其运算律，理解用一组基底向量表示其他向量的方法．
6、设＝(2，3)，且点A的坐标为(2，3)，则点B的坐标为 ．
答案：(4，6) ．
7、已知向量a＝(2，3)，b＝(x，6)，且a∥b，则x= ．
答案：4．
8、已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值是 ．
答案：2．
9、设向量a＝(－1，2)，b＝(2，－1)，则(ab)(a＋b)等于 ．
答案：(－4，－4) ．
10、已知＝(5，4)与＝(3，2)，则与2－3平行的单位向量为 ．
答案：．说明：考查向量的坐标表示及其运算用坐标表示的形式，提高坐标运算的能力．
11、（1）若|a|＝3，| b |＝2，且a与b的夹角为60°，则|a－b |＝ ．
答案：
12、已知向量与的夹角为，且，那么的值为 ．
答案：0．
13、若|a|＝1，| b |＝2，a与b的夹角为60°，若(3 a＋5 b)⊥(m a－b)，则实数的值为　　　　 ．
答案：
14、已知平面上三点A，B，C满足|AB|=5，|BC|=6，|CA|=7，则＋＋的值等于 ．
答案：－55．
15、在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则(＋)的最小值是__________．
答案：－2．
16、已知，，且．
（I）求与；
（Ⅱ）若的最小值为，求实数的值．
16、解：（Ⅰ），
，
∵，∴；
（Ⅱ），
∵，∴，
（1）当时，
当且仅当，取得最小值，与已知矛盾；
（2）当时，
当且仅当，取得最小值，
∴；
（3）当时，
当且仅当，取得最小值，
∴，与矛盾；
综上所述，实数的值为．
17、已知向量，其中．（1）若，求函数的最小值及相应x的值；
（2）若a与b的夹角为，且a⊥c，求的值．
解：（1）∵，，
∴
．分
令，则，且．
则，．
∴时，，此时．
由于，故．
所以函数的最小值为，相应x的值为
（2） ∵a与b的夹角为，
∴．
∵，∴，∴．
∵a⊥c，∴．
∴，． 分
∴，∴．

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