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微专题 物体的平衡中的极值
一、平衡问题中常见的临界条件有∶
两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0（主要体现为两物体间的弹力为 0）
绳子断与不断的临界条件为作用力达到最大值
（3）存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大
平衡物体的极值问题，就是在变化过程中，出现力的最大值或最小值问题。
二 处理临界问题的常用方法
解决极值问题常用到的方法 假设法 解题的基本步骤 ①明确研究对象; ②画受力图; ③假设可发生的临界状态; ④列出临界状态下的平衡方程并求解
图解法 根据物体的平衡条件作出力的矢量三角形，然后对矢量三角形进行动态分析，确定极值。此法简便、直观
解析法 对研究对象受力分析，建立平衡方程，应用数学方法分析产生极值的条件和状态
1、（2022·江苏省洪泽中学高三开学考试）如图所示，质量分布均匀的光滑小球O，放在倾角均为θ的斜面体上，斜面体位于同一水平面上，且小球处于平衡，则下列说法中正确的是(　　)
A．甲图中斜面对球O弹力最大
B．丙图中斜面对球O弹力最小
C．乙图中挡板MN对球O弹力最小
D．丙图中挡板MN对球O弹力最小
【答案】AD
【详解】
将甲、乙、丙、丁四种情况小球的受力图作出一幅图上，如图，根据平衡条件得知，丁图中斜面对小球的弹力为零，挡板对小球的弹力等于其重力G．斜面对小球的弹力和挡板对小球的弹力的合力与重力大小相等、方向相反，即得到三种情况下此合力相等，根据平行四边定则得知，丙图中挡板MN对球O弹力NMN最小，甲图中斜面对球O弹力最大，故AD正确．
2、在倾角为θ的粗糙斜面上，一个质量为m的物体被水平力F推着静止于斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ＜tan θ，求力F的取值范围。
解析：因为μ＜tan θ，所以当F＝0时，物体不能静止。若物体在力F的作用下刚好不下滑，则物体受沿斜面向上的最大静摩擦力，且此时F最小，对物体受力分析，如图甲所示，由平衡条件得：
mgsin θ＝Fcos θ＋Ff①
FN＝mgcos θ＋Fsin θ②
Ff＝μFN③
由①②③解得Fmin＝mg
若物体在力F的作用下刚好不上滑，则物体受沿斜面向下的最大静摩擦力，且此时F最大，对物体受力分析，如图乙所示，由平衡条件得：mgsin θ＋Ff＝Fcos θ④
FN＝mgcos θ＋Fsin θ⑤
Ff＝μFN⑥
由④⑤⑥解得Fmax＝mg。
答案： mg≤F≤mg
3、（2022·河北内丘中学高二月考）如图所示，质量m=1kg的物块在与水平方向夹角为θ=37°的推力F作用下静止于墙壁上，物块与墙之间的动摩擦因数μ=0.5，若物块与墙面间的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，则推力F大小可能是（　　）
A．5N B．15N C．35N D．55N
【答案】BC
【详解】
当物体刚要上滑时，静摩擦力沿墙壁向下达到最大值，此时力F为最大，设为F1。物体的受力图如图1所示。
根据正交分解得：F1sinθ=mg+f1，N1=F1cosθ又f1=μN1联立解得F1 =50N当物体刚要下滑时，静摩擦力沿墙壁向上达到最大值，此时力F最小，设为F2。根据正交分解得：F2sinθ+f2=mg，N2=F2cosθ又f2=μN2联立解得：F2=10N推力F的取值范围为10N≤F≤50N故选BC。
3-1.（2022·广州市·广东实验中学高三月考）如图，在倾角为的粗糙固定的斜面上，有一个质量为m的拖把头被水平力F推着静止于斜面上，轻杆质量不计，已知拖把与斜面间的动摩擦因数为，且＜tan，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：
(1)水平推力F的取值范围；
(2)已知斜面倾角存在一临界角，若≥，则不管水平推力F多大，都不可能使拖把头从静止开始运动，求这一临界角的正切。
【答案】(1) ；(2)
【详解】(1)因为μ＜tan，故F=0时，物体不能静止在斜面上；取力F最大，物体恰好不上滑时，最大静摩擦力沿斜面向下，先分析受力再作正交分解，如图1所示
由力的平衡条件有在x轴上①在y轴上②由滑动摩擦力的公式，有③联立①②③解得取力F最小，物体恰好不下滑时，最大静摩擦力沿斜面向上，先分析受力再作正交分解，如图2所示
则在x轴上有④联立②③④解得由此可知F的取值范围(2)若不管水平推力F多大都不能使物体从静止开始运动，应满足解得取F→∞，则的临界角对应的条件解得
3-2（2022·湖南高一月考）如图甲所示倾角θ为37°的粗糙斜面固定在水平地面上，一质量m为1kg物体恰好可以在斜面上沿斜面匀速下滑，重力加速度g取10m/s2.（可能用到的数学知识：sin37°=0.6，cos37°=0.8，）求：
（1）物体与斜面间的动摩擦因数μ1；
（2）如图乙所示，固定在水平地面上的斜面倾角θ为37°，质量m为1kg物体与斜面间的动摩擦因数μ2为0.5，给物体施加一沿斜面向上的拉力F使物体在斜面上静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求拉力F的范围；
（3）如图丙所示，固定在水平地面上的斜面的倾角θ为37°，物体的质量m为10kg，物体与斜面间的动摩擦因数μ3为0.8，给物体施加一平行于斜面ab边的推力F使得物体匀速直线运动，求推力F的大小。
【答案】（1）0.75；（2）2NF10N；（3）
【详解】
受力分析如图
沿斜面方向垂直斜面方向解得10.75（2）分析知当物体在没有拉力时会下滑，故当拉力最小时达沿斜面向上的最大静摩擦力
沿斜面方向垂直斜面方向代入数据得到Fmin2N当拉力最大时达沿斜面向下的最大静摩擦力
沿斜面方向垂直斜面方向代入数据得到Fmax10N故拉力F的范围2NF10N（3）分析知无拉力时物体在斜面时静止，受F后支持力FN与重力垂直斜面的分力mgcosθ平衡，摩擦力f为μ3FN，斜面abcd平面内的F、重力分力mgsinθ、摩擦力f三力平衡如图所示。
解得
4、如图1所示，变力F作用在不可伸长的绳子一端，绳子另一端连接到小车上，F通过光滑定滑轮拉动小车，使小车匀速向左前进，初始时，绳子和水平方向夹角为45°，小车与地面之间的动摩擦因数为μ，满足0＜μ＜1。拉动过程中，拉力F如何变化？
（解法一）：
对于形如y=acosθ+bsinθ函数，进行三角转换， 令tanα，
利用上面的数学知识：令绳子和水平方向夹角为θ（45°≤θ≤90°），地面对小车支持力大小为FN，小车对地面压力大小为FN′，小车的重力为G，由于小车匀速向左运动，小车受力平衡，水平方向：，竖直方向：，且，联立解得，，令，，则，当α+θ=90°时，上式有最大值，即变力F有最小值，由于0＜μ＜1，所以α＞45°，即初态α+θ＞90°，所以随θ的增大而减小，变力F随θ的增大而增大，
（解法二）：
全反力R与接触面法线成一角度φ，如图2所示.全反力R沿法线的分量N称为为正压力;全反力沿接触面切线的分量了称为摩擦力.
利用上面的知识：
如图3：对物块受力分析：R为 全反力，
∵0＜μ＜1
如图4:经过上面分析，T和R的夹角β＜90°，以重力G、细线拉力T、全反力R三个力的大小为边画矢量三角形①，当小车靠岸时矢量三角形变为②和③，因而细线拉力T一直变大，拉力F 等于细线拉力T，所以拉力F一直变大。
解法一是从数学函数y=acosθ+bsinθ极值方面入手来分析，过程比较繁琐，解法二是借助全反力的几何解法，由题意找到全反力R和全发力R与法线的夹角α，结合处理动态平衡的矢量三角形法，找到细线拉力T变化情况，比较简洁形象，一目了然。
5.（2022·滨州沾化一中学高一月考）水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为μ(0＜μ＜1)。现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动。设F的方向与水平地面的夹角为θ，如图所示，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则(　　)
A．F先减小后增大 B．F一直增大
C．F一直减小 D．F先增大后减小
解析：选A　将拉力F沿水平方向和竖直方向正交分解，由平衡条件可得：Fcos θ＝Ff、Fsin θ＋FN＝mg、Ff＝μFN，解得：F＝＝，当θ由0逐渐增大到90°的过程中，sin (α＋θ)先增大后减小，所以拉力F先减小后增大，A正确。
6.（2022·河北承德第一中学高一月考）如图所示，半径为R、重为G的均匀球紧靠竖直墙放置，左下方有厚为h（h（1）求图中半径AO与水平方向夹角θ的正弦值；
（2）用至少多大的水平推力F推木块才能使球离开地面。
【答案】(1) ；(2) 。
【详解】(1) 图中半径AO与水平夹角θ的正弦值(2) 以球为研究对象，受力分析并分解如图所示
由平衡条件N1sinθ=G，N1cosθ=N2再以整体为研究对象得N2=F即
7.（2022·广东广州市·高一期末）如图，物体A的重力为500N，A与桌面间的最大静摩擦力为200N，AC绳水平，OC绳与竖直方向的夹角为，不计绳的质量。求；
(1)当物体B的重力为时，A所受的摩擦力为多少？
(2)若OC绳能够承受的最大拉力为300N，保持A静止不动，所挂物体B的最大质量为多少？（g取10m/s2）
【答案】(1)100N；(2)
【详解】
以C点为研究对象进行受力分析，如图所示
物体B的重力为N时，AC绳上的拉力因此A处于静止状态，所受摩擦力为静摩擦力，大小等于100N。(2)若OC绳能够承受的最大拉力为300N，A静止不动，受力分析可知，AC绳上最大拉力为所以B的重力最大为NB的质量最大为

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