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微专题 无外力F板块
【知识构建】
地面光滑，即板和地面的μ2=0，
受力分析
物块B aB=μ1g
板块A
2.地面粗糙，即A和B的动摩擦因数μ1板和地面的动摩擦因数μ2，
（1）μ1＞μ2
受力分析 各自加速度 v-t x-t 共速后一起减速 v-t图像
v共=v0-a2t
（2）μ1＜μ2
受力分析 各自加速度 v-t x-t 共速后不一起减速 v-t图像
v共=v0-a2t
3.板和快都有初速度
项目 滑块A 板块B v-t图像
受力分析
各自加速度 减速 减速
vA=0时
【总结】
地面光滑
地面粗糙 μ1＞μ2 μ1＜μ2
板块都有初速度
【典例分析】
1、地面光滑
【例1】 （多选）（2021·深圳第二外国语学校高一开学考试）如图甲所示，长木板A静止在光滑水平面上，另一质量为2kg的物体B（可看作质点）以水平速度v0＝3 m/s滑上长木板A的表面。由于A、B间存在摩擦，之后的运动过程中A、B的速度图像如图乙所示。g取10 m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．长木板A、物体B所受的摩擦力均与运动方向相反
B．A、B之间的动摩擦因数μ＝0.2
C．长木板A的长度可能为L＝0.8 m
D．长木板A的质量是4kg
【答案】BD
【详解】A．由题意可知，A木板的运动方向与其摩擦力方向相同，故A错误；B．由图象知B的加速度大小为对B进行分析有：μmBg=mBaB，可解得：μ=0.2故B正确；C．由题意可知，木块B尚未滑出木板A，则临界条件为当AB具有共同速度时，B恰好滑到A的右端，设A、B物体位移量分别为sA、sB，加速度分别为aA、aB，由图可知aA=1m/s2，aB=2m/s2，A的长度为L，则有：联立上式可解得L=1.5m，即L≥1.5m即可，故C错误；D．由μmBg=mAaA，μmBg=mBaB联立两式可解得：即A物体的质量是B物体的两倍，长木板A的质量是4kg，故D正确；故选BD。
2、（1）地面粗糙且 μ1＞μ2
【例2】（2021·长丰北城衡安学校）如图所示，一质量为M=0.9kg的长木板B在粗糙的水平面上向右运动，某一时刻长木板的初速度为v0=5.5m/s，此时将一质量m=0.2kg的物块A（可视为质点）无初速度地放在长木板右端，经过1秒后物块A刚好没有从木板的左端滑出。已知物块A与长木板B之间的动摩擦因数为μ1=0.25，长木板B与地面之间动摩擦因数为μ2=0.2，g取10m/s2，求：
（1）相对运动过程中物块A的加速度大小；
（2）长木板B的长度；
（3）从将物块A放上长木板开始到最后相对地面静止，物块A相对地面的位移x。
【答案】（1）2.5m/s2；（2）2.75m；（3）m
【详解】(1)由题可知，A、B两物体先相对滑动，达到共速后一起作匀减速直线运动，直到静止。A、B相对滑动时，对物块A受力分析：由牛顿第二定律：解得a1=2.5m/s2(2)由物块A刚好未从木板的左端滑出可知，长木板B的长度等于A、B两物体相对地面位移的差值。A物块的位移对长木板B受力分析，由牛顿第二定律：解得a2=3m/s2.B长木板的位移。则(3)由（2）分析可得，A、B共速时，A、B两物体的速度为A、B共速后，一起做匀减速直线运动，直到停止，由牛顿第二定律：解得a3=2m/s2由可知则全过程中，A相对地面发生的位移x=xA+x3=m
【变式】（2021·六盘山高级中学高一期末）质量为0.5kg的木板B静止在水平面上，可视为质点的物块A从木板的左侧沿木板上表面水平冲上木板，如图甲所示。A和B经过1s达到同一速度，之后共同减速直至静止，A和B运动的v-t图象如图乙所示，g=10m/s2.。求：
(1)木板与物体间的摩擦因数1及木板与地面之间的动摩擦因数2；
(2)A物体的质量m；
(2)木板B的长度至少为多少？
【答案】(1)0.2；0.1；(2)1kg；(3)2m
【详解】(1)由图象可知，A在1s内的加速度大小为对A由牛顿第二定律得：μ1mg=ma1解得木板与物体间的摩擦因数；μ1=0.2由图象知，AB在1-3s内的加速度大小为：对AB由牛顿第二定律得：解得木板与地面间的摩擦因数μ2=0.1(2)由图象可知B在0-1s内的加速度大小对B由牛顿第二定律得：代入数据解得m=1kg(3)由题A、B达到共速前：A的位移为xm= =3mB的位移为木板的长度至少为Δx=xm-xM=2m
（2）地面粗糙且 μ1＜μ2
【例3】（2018·黑龙江大庆市·大庆实验中学）一长木板在水平地面上运动，从木板经过A点时开始计时，在t=1.0s时将一相对于地面静止的小物块轻放到木板上，此后木板运动的v﹣t图线如图所示．已知木板质量为物块质量的2倍，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦，物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上，取重力加速度的大小g=10m/s2，求：
（1）物块与木板间的动摩擦因数μ1及木板与地面间的动摩擦因数μ2；
（2）木板离A点的最终距离；
（3）木板的最小长度．
【答案】（1）0.20 0.40 （2）7.975m （3）1.125m
【解析】
从开始，木板与物块之间的摩擦力使物块加速，使木板减速，此过程一直持续到物块和木板具有共同速度为止．
由图可知，在时，物块和木板具有共同速度，设到时间间隔内，物块和木板的加速度大小分别为和，则有：… ①
… ②
式中，为木板在时速度的大小．
设物块和木板的质量分别为m、2m，由牛顿第二定律得：
…③…④
联立①②③④式得：，
（2）设到时间间隔内，木板的加速度为，由牛顿第二定律得：…⑤
得：
逆过来看，将木板匀减速过程看作反向匀加速过程，则到时间间隔内木板的位移为：… ⑥
代入数据解得：
到时间间隔内，木板相对于地面的运动距离为：… ⑦
代入数据解得：
在时刻后，地面对木板的摩擦力阻碍木板运动，物块与木板之间的摩擦力改变方向．设物块与木板之间的摩擦力大小为，物块和木板的加速度大小分别为和，则由牛顿第二定律得：…⑧…⑨
假设，则；
由⑧⑨式得，与假设矛盾，故有：…⑩
由⑨⑩式得：，
在时刻后，木板相对于地面的运动距离为：
代入数据解得：
综上，木板离A点的最终距离
解得：
（3）由（2）分析，物块的图象如图中点划线所示．由图可知，到时间间隔内，物块相对于木板的位移逐渐增大，而时刻后，物块相对于木板的位移又逐渐减小．到时间间隔内，物块相对于地面的运动距离为

代入数据解得
木板的最小长度应等于物块相对于木板的最大位移的大小，为：
解得．点睛：解决本题的关键理清物块和木板的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解，知道图线的斜率表示加速度，图线与时间轴围成的面积表示位移．
【变式】（2019·福清西山学校高三期中）如图所示，在粗糙的水平面上一木板B正向右运动，当其速度为时，将一小木块A无初速度地放在其右端，从此时开始计时，A、B的的速度随时间变化的部分图象如图所示.已知A、B的质量分别为，，重力加速度，木块始终没有离开木板.求：
（1）木板的初速度；
（2）木板的最小长度.
【答案】(1) (2)
【分析】
根据图象求出加速度，再根据牛顿第二定律求出摩擦因数，再结合速度时间公式求出初速度；根据位移公式即可求出最小长度．
【详解】
设A、B之间的动摩擦因数为 ，B与地面之间的动摩擦因数为
1.5-3s，由运动学公式：
由牛顿第二定律，对A有：
对B有：
联立并代入数据解得：
0-1.5s时间内：根据牛顿第二定律：
解得：
根据速度时间公式：
解得：
（2）0-1.5s时间内位移为： ，
则有：
故木板的最小长度
【点睛】
分析清楚两个物体的运动情况，抓住图象的有效信息，读出时间和速度是解题的关键．
3.板和快都有初速度
【例4】（2022·全国高三专题练习）如图所示，质量为M=5kg的足够长的长木板B静止在水平地面上，在其右端放一质量m=1kg的小滑块A（可视为质点）。初始时刻，A、B分别以v0向左、向右运动，A、B的v-t图像如图所示（取向右为正方向）。若已知A向左运动的最大位移为4.5m，各接触面均粗糙，取g=10m/s2。求：
(1)A与B之间的动摩擦因数 1，地面与B之间的动摩擦因数 2；
(2)长木板B相对地面的位移大小x。
【答案】(1) ， (2)
【详解】
设A、B初速度大小为，当A的速度为零时有向左运动的最大位移，此过程经历，由运动学规律可得得
对A研究，设A的加速度大小为，根据运动学规律有：根据牛顿第二定律有：得设A从到时经历的时间为，则有对B研究，设B的加速度大小为，根据运动学规律有：根据牛领第二定律有：得(2)当A、B达共同速度之后一起做匀减速直线运动。设其加速度大小为，经过停下，根据牛顿第二定律有：得根据运动学规律有：长木板B相对地面的位移大小得
【变式1】（2022·全国高三专题练习）如图所示，质量M=4.0kg的长木板B静止在光滑的水平地面上，在其右端放一质量m=1.0kg的小滑块A（可视为质点）。初始时刻，A、B分别以v0=2.0m/s向左、向右运动，最后A恰好没有滑离B板。已知A、B之间的动摩擦因数μ=0.40，取g=10m/s2。求：
（1）A相对地面速度为零时，B相对地面运动已发生的位移x；
（2）木板B的长度L。
【答案】（1）0.875m（2）1.6m
【详解】（1）A、B分别受到大小为μmg的作用，根据牛顿第二定律对A物体解得物体A的加速度为同理可知，物体B的加速度为开始阶段A相对地面向左做匀减速运动，速度为0的过程中所用时间为t1，则B相对地面向右做减速运动，位移为解得（2）A向左匀减速运动至速度为零后，相对地面向右做匀加速运动，加速度大小仍为，B板向右仍做匀减速运动，加速度大小仍为。当A、B速度相等时，A相对B滑到最左端，恰好不滑出木板，故木板B的长度为这个全过程中A、B间的相对位移；在A相对地面速度为零时，B的速度为设由A速度为零至A、B相等所用时间为t2，则有解得此时的共同速度为A向左运动位移为解得B向右运动位移为解得B板的长度为
【变式2】（2021·湖南永州市·高一期末）如图所示，一质量的木板A在粗糙水平地面上以大小为的速度向右运动，此时一质量的可视为质点的小滑块B以大小为的速度从右侧滑上长木板，经过1s两者速度恰好相同，大小为，方向向左。求：
(1)木板与滑块间的动摩擦因数μ1；
(2)木板与地面间的动摩擦因数μ2；
(3)木板的最小长度L。
【答案】(1)0.3；(2)0.086；(3)3m
【详解】
(1)B的加速度大小为由牛顿第二定律得解得(2)A先向左减速，由牛顿第二定律得A后向右加速，由牛顿第二定律得由速度公式得解得(3)滑块向左的位移木板向右的位移木板的最小长度
【变式3】（2021·辽宁高三专题练习）如图所示，一足够长的木板在粗糙水平地面上向右运动，某时刻初速度为v0，此时一与木板质量相等的小滑块（可视为质点）以v1＝4m/s的速度从右侧滑上木板，经过t=1s两者速度恰好相同，速度大小为v2＝1m/s，方向向左。已知木板与地面间的动摩擦因数μ2=0.05，重力加速度g＝10m/s2，求：
(1)木板与滑块间的动摩擦因数μ1；
(2)木板初速度v0的大小；
(3)若在两者速度恰好相同时，木板与固定在地面的弹性挡板相碰，碰撞时间忽略不计，碰后立即撤去挡板。求从滑块滑上木板开始的整个运动过程中，木板的对地位移大小。
【答案】(1)0.3；(2)2m/s；(3)0.3625m
【详解】
(1)设滑块与木板质量为m，加速度大小为a，以滑块为研究对象，由牛顿第二定律得：μ1mg=ma解得a=μ1g滑块匀减速，v2-v1=-μ1gt解得μ1=0.3(2)木板先向右匀减速到零，设加速度大小为a1，由牛顿第二定律得：μ1mg+μ22mg=ma1解得a1=4m/s2设匀减速到零的时间为t1，有木板再向右匀加速到v2，设加速度大小为a2，由牛顿第二定律得：μ1mg-μ22mg=ma2解得a2=2m/s2v2=a2（t-t1）解得v0=2m/s(3)在0~t1时间内，设木板向右位移大小为x1在t1~1秒时间内，木板向左位移大小为x2与挡板碰后，木板原速反弹，向右匀减速运动，加速度大小为a1=4m/s2，设再经t2时间木板速度减到零设再经t3时间木板向右匀加速到二者第二次共速v共，加速度大小为a2=2m/s2，从与挡板碰后到二者第二次共速，滑块一直以a=μ1g匀减速，列式得v2-a（t2+t3）=a2t3在1~（1+t2）时间内，设木板向右位移大小为x3在（1+t2）~（1+t3）时间内，木板向左位移大小为x4二者第二次共速后，因为μ1＞μ2，二者以相同的加速度向左匀减速到停止运动，由牛顿第二定律列方程得μ22mg=2ma共设二者向左匀减速到停止运动的位移为x共0-（a2t3）2=-2a共x共全程木板的位移大小x=x1-x2+x3-x4-x共解得x=0.3625m
【拓展】（2021·广东高三其他模拟）一块质量为M=4 kg的长木板P静止放置在粗糙的水平地面上，其长度L=4 m，如图甲所示。另有一质量为m=0.4 kg的小物块Q（可看做质点），以一定的初速度v0（大小未知）水平向右冲上长木板P，结果在长木板上向右滑行后与长木板保持相对静止。已知物块Q与长木板P间的动摩擦因数为，长木板P与地面间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取g=10 m/s2求：
（1）小物块Q在长木板上滑动时，长木板受到地面的摩擦力；
（2）物块Q的初速度v0大小；
（3）若将木板平均分割成长度相同的八个木块，如图乙所示，其他条件不变，求小物块Q滑上第几个木块时，该木块开始运动，这时小物块Q的速度是多少？
【答案】（1）1.6 N，方向水平向左；（2）5.5 m/s；（3）第7个木块，2.5 m/s
【详解】(1)由于小物块在长木板上表面滑行，所受滑动摩擦力地面给长木板的最大静摩擦力由于＜，说明小物块在长木板上滑行，而长木板相对地面来说一直静止不动，即长木板受到地面的摩擦力为静摩擦力，大小为方向水平向左。(2)根据(1)中的分析知长木板一直对地静止，对物块Q由动能定理可得代入数据解得v0=5.5m/s。(3)因＜＜物块滑上第7块前，所有的木块对地静止，滑上第7块瞬间，第7、8块开始运动，对物块 解得，方向向左，设物块冲上第7块瞬间速度为，则解得。

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