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微专题 通式法（等时圆）
思路 性质相似或相同的问题，我们可以利用共同的已知量表示出不同的未知量，列出通式，从而减少运算律，
斜面体
常见的等时圆 （θ为杆与竖直方向的夹角）由得所以t与θ无关
所以t与θ无关，则半径越大的，下滑时间越长
从P到f、b、g是等时的，比较图示位移Pa>Pf，Pct2>t3
典例分析
【例1】．（2021·广东广州市·高三月考）如图所示，物体沿着倾角不同而底边相同的光滑斜面由顶端从静止开始滑到底端，斜面倾角越大（　　）
A．滑行时间越短 B．滑行时间越长 C．滑行的加速度越大 D．滑行的平均速度越大
【答案】CD
【详解】设斜面的倾角为θ，物体的质量为m。根据牛顿第二定律得，加速度可知斜面的倾角越大，加速度越大。设底边的长度为L，则斜面的长度为，根据解得：在斜面的倾角小于45°时，倾角越大，时间越短。当斜面的倾角大于45°，倾角越大，时间越长。当斜面的倾角等于45°，时间最短。滑行平均速度倾角越大，平均速度越大。故选CD。
【例2】（2021·全国）如图所示，一个物体从A点由静止出发分别沿三条光滑轨道到达，则（　　）
A．物体到达点时的速度最大
B．物体在三条轨道上的运动时间相同
C．物体到达的时间最短
D．物体在上运动的加速度最小
【答案】C
【详解】
D．在沿斜面方向上，根据牛顿第二定律得，物体运动的加速度斜面倾角越大，加速度越大，所以在上运动的加速度最大，故D错误；A．根据得可知物体到达底端时速度大小相等，故A错误；BC．设斜面的高度为h，根据几何知识可得，物体发生的位移为物体的初速度为零，所以由解得倾角越大，时间越短，物体到达的时间最短；故C正确，B错误。故选C。
【例3】．（2022·河北巨鹿中学）如图所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，它们与水平面之间的夹角分别为90°、60°、30°，a、b、c、d 位于同一圆周上， a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从 a、b、c处释放（初速度为0），用t1、t2、、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，用a1、a2、、a3依次表示各滑环沿杆下滑过程的加速度，则下列说法正确的是（　　）
A．t1∶t2∶t3 =3∶2∶1 B．t1∶t2∶t3 =1∶1∶1
C．a1∶a2∶a3=3∶2∶1 D．a1∶a2∶a3=1∶1∶1
【答案】B
【详解】
CD．设任一细杆与竖直方向的夹角为α，则环的加速度大小则则则加速度之比为CD错误；AB．设任一细杆与竖直方向的夹角为α，环的半径R，则环下滑的位移根据则时间相同，A错误B正确。故选B。
【例4】．（2022·浙江）如图中的、、都是光滑的轨道，、、、四个点在同一竖直圆周上，其中是竖直的。一小球从点由静止开始，分别沿、、轨道下滑至、、点所用的时间分别为、、，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
对小球，受重力和支持力，将重力沿杆的方向和垂直杆的方向正交分解，根据牛顿第二定律得小球做初速为零的匀加速（θ为杆与竖直方向的夹角），由图中的直角三角形可知，小球的位移由得所以t与θ无关，即故A正确，BCD错误。故选A。
【例5】．（2022·浙江）如图所示，光滑直杆AD、BD、CD处在竖直平面内，杆的三个端点均在同一圆周上，CD杆过圆心，若从A、B、C三点同时静止释放套在杆上的小球，则（　　）
A．三小球同时到达点 B．沿运动小球先到
C．沿运动小球先到 D．沿运动小球先到
【答案】C
【详解】
过D点，分别以AD、BD、CD为弦作相切圆，D点为最低点，以任意一个杆为例，对小球受力分析，受重力和支持力，将重力沿杆的方向和垂直杆的方向正交分解，根据牛顿第二定律得小球做初速为零的匀加速直线运动的加速度为（θ为杆与水平方向的夹角），由图中的直角三角形可知，小球的位移则有
所以t与θ无关，则半径越大的，下滑时间越长，根据图象可知，CD杆对应的圆，半径最大，AD杆对应的圆，半径最小，所以沿AD运动时间最短，小球先到D点，故C正确，ABD错误。故选C。
【例6】（2021·浙江省杭州第二中学高三月考）如图所示，、、是竖直面内三根固定的光滑细杆，、、、位于同一圆周上，点为圆周的最高点，点为最低点。每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从处释放（初速为），用、、依次表示各滑环到达、、所用的时间，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
以P点为最高点，取合适的竖直直径Pe作圆，如图虚线所示
三个滑环从P静止释放到达虚线圆上f、g、h的时间设为t，杆与竖直方向的夹角为α，虚线圆的直径为d。根据位移时间公式可得解得则知虚线圆为等时圆，即从P到f、b、g是等时的，比较图示位移Pa>Pf，Pct2>t3故B正确，ACD错误。故选B。
【例7】（2022·全国）两个圆1和2外切，它们的圆心在同一竖直线上，有三块光滑的板，它们的一端搭在墙上，另一端搭在圆2的圆周上，三块板都通过两圆的切点，A在圆周上，B在圆内，C在圆外，从ABC三处同时静止释放一个小球，它们都沿光滑板运动，则最先到达圆2的圆周上的球是
A．从A处释放的球
B．从B处释放的球
C．从C处释放的球
D．同时到达
【答案】B
【详解】设轨道与竖直方向夹角为α，圆的半径为r，则圆内轨道的长度s=2rcosα，下滑的加速度a=＝gcosα根据位移时间公式得，x＝at2，则即当轨道的端点在圆周上时，沿不同轨道下滑到底端的时间相同；由题意可知．A在圆周上，B在圆内，C在圆外，可知B球下滑的时间最短，即最先到达圆2的圆周上的球是B球。故选B。
知能综合提升
1、（2021·江西宜春市·高一期末）如图所示，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑板与水平面的夹角依次为30°、45°、60°。若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则（　　）
A．a处小孩最先到O点
B．b处小孩最先到O点
C．c处小孩最先到O点
D．无法判断谁先到O点
【答案】B
【详解】设仓底半径为r，滑板倾角为，有又可知当θ=45°有t最小值。故B正确ACD错误。故选B。
2、（2022·山西高一月考）如图所示，斜面与竖直墙壁间的夹角=，斜面与竖直墙壁间有三个光滑斜轨道AB、BC、DC，其中BC与斜面垂直，AB与DC平行，现让小球分别沿三个轨道从竖直墙壁运动到斜面上，下列说法正确的是（　　）
A．沿轨道AB运动的时间最短
B．沿轨道BC运动的时间最短
C．沿轨道DC运动的时间最短
D．沿轨道BC和沿轨道DC运动的时间可能相等
【答案】B
【详解】
设BC轨道与水平方向夹角为，AB轨道与水平方向夹角为，则有得同理得由于且则对于BC和CD两轨道，设C点到竖直墙壁间的垂直距离为s，则得即，由于与均为锐角且，则且沿轨道BC和沿轨道DC运动的时间不可能相等，故B正确，ACD错误。故选B。
3．（2021·浙江绍兴市·高三月考）如图所示，在竖直墙面上有A、B两点，离地面的高度分别为和，现从A、B两点与地面上的某个位置C之间架设两条光滑的轨道，使小滑块从A、B两点由静止开始下滑到地面所用的时间相等，那么位置C离墙角O点的距离为（　　）
A．4m B． C． D．6m
【答案】B
【详解】
设AC、BC与OC的夹角分别为α和β，由牛顿第二定律可得加速度分别为由几何关系可得由运动学公式可得联立解得即解得设CO的距离为x，由勾股定理得联立方程，解得故选B。
4．（2021·全国）如图所示，在竖直平面内有ac、abc、adc三个细管道，ac沿竖直方向，abcd是一个矩形。将三个小球同时从a点静止释放，忽略一切摩擦，不计拐弯时的机械能损失，当竖直下落的小球运动到c点时，关于三个小球的位置，下列示意图中可能正确的是（　　）
A．B．C． D．
【答案】B
【详解】设，， 设小球沿、、 、、下滑的加速度分别为、、、、。根据牛顿第二定律得对段有得对段有得对段有得所以有即当竖直下落的小球运动到点时，沿下落的小球恰好到达点，沿下落的小球恰好到达点，故ACD错误，B正确。故选B。
5．（2021·全国）如图，倾斜传送带上有两条光滑导轨，PA竖直、PB垂直于传送带，现同时在P点释放两个质量相同的小货物（均视为质点），各自沿两条导轨滑下，则它们滑到导轨底端（ ）
A．末速度相同 B．所用的时间相同
C．重力所做的功相同 D．重力做功的功率相同
【答案】B
【详解】
A．货物落到传送带上的速度的方向不同，所以末速度不同，A错误；B．导轨光滑，，所以做出的外接圆：
根据等时圆模型可知，两物体落到传送带上的时间相等，B正确；C．重力做功根据：货物质量相等，落到A点的货物高度大，重力做功多，C错误；D．重力做功的功率为重力做功与时间的比值，即：，时间相同，所以，D错误。故选B。
6．（2021·山东高三一模）如图所示，在斜面上同一竖直面内有四条光滑细杆，其中OA杆竖直放置，OB杆与OD杆等长，OC杆与斜面垂直放置，每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，四个环分别从O点由静止释放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上所用的时间依次为t1、t2、t3、t4．下列关系正确的是（ ）
A．t1t3 C．t2＝t4 D．t2【答案】D
【解析】
以OA为直径画圆，根据等时圆模型，对小滑环，受重力和支持力，将重力沿杆的方向和垂直杆的方向正交分解，根据牛顿第二定律得小滑环做初速为零的匀加速直线运动的加速度为a=gcosθ(θ为杆与竖直方向的夹角)
由图中的直角三角形可知，小滑环的位移S=2Rcosθ
所以t=，t与θ无关，
可知从圆上最高点沿任意一条弦滑到底所用时间相同，故沿OA和OC滑到底的时间相同，即t1=t3，OB不是一条完整的弦，时间最短，即t1>t2，OD长度超过一条弦，时间最长,即t2故选D
点睛：根据等时圆模型，可知从圆上最高点沿任意一条弦滑到底所用时间相同，故沿OA和OC滑到底的时间相同，OB不是一条完整的弦，时间最短，OD长度超过一条弦，时间最长．
7．（2019·沈阳市第二十八中学高三开学考试）如图所示，ab、cd是竖直平面内两根固定的细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，圆周半径为R，b点为圆周的最低点，c点为圆周的最高点．现有两个小滑环A、B分别从a、c处由静止释放，滑环A经时间t1从a点到达b点，滑环B经时间t2从c点到达d点；另有一小球C从b点以初速度v0＝沿bc连线竖直上抛，到达最高点时间为t3，不计一切阻力与摩擦，且A、B、C都可视为质点，则t1、t2、t3的大小关系为（ ）
A．t1＝t2＝t3
B．t1＝t2＞t3
C．t2＞t1＞t3
D．A、B、C三物体的质量未知，因此无法比较
【答案】A
【详解】
由已知条件知，小球C竖直上抛能达到的最高点为c点，由对称性可知，小球C运动的时间与从c点自由下落到b点的时间相等．结合等时圆的结论可知，t1＝t2＝t3，A正确．
故选A
8．（2021·全国）如图所示，AD是固定斜面体底边BC的高，F、G分别是光滑斜面AB、AC的中点，DE垂直于AB,DH垂直于AC,甲、乙两个小球（均视为质点）从斜面的顶点A分别沿斜面AB、AC同时由静止下滑，下列说法正确的是
A．当甲球运动到E点时，乙球可能运动到AG间某点
B．当甲球运动到E点时，乙球一定运动到H点
C．当甲球运动到F点时，乙球一定运动到G点
D．当甲球运动到F点时，乙球一定运动到H点
【答案】B
【解析】
设斜面AB和AC的倾角分别为α，β，AD=h，则小球在两个斜面上下滑的加速度分别为 ，，当小球甲到达E点时所需时间 ，同理乙球到达H点所需时间也为，即当甲球运动到E点时，乙球一定运动到H点，选项B正确，A错误；甲球到达F点的时间 ，同理乙球到达G点的时间为，因α不一定等于β，故当甲球运动到F点时，乙球不一定运动到G点，选项C错误；α不能等于900，故当甲球运动到F点时，乙球一定不能运动到H点，选项D错误；故选B.
9．(多选)（2022·全国）下列甲、乙、丙、丁四图中的1、2、3 是三个光滑轨道，甲、乙、丙图中的三个轨道与水平面的夹角从大到小均为60°、45°、30°，甲图中三个轨道的起点高度相同，乙图中三个轨道对应的水平底边相同，丙图中三个斜轨道的长度相同，丁图中②轨道为竖直直径，①③轨道的一端分别与②轨道的底端和顶端在同一点上，另一端分别在圆周上。现让同一物体分别沿四个图中的三个光滑轨道从顶端由静止开始下滑，到达底端所用的时间分别为t1、t2、t3，下列说法正确的是（　　）
A．对于甲图有：t1C．对于丙图有：t1【答案】BC
【详解】A．设斜面的倾角为，斜面高为h， 则下滑的加速度解得下滑的位移根据解得故倾角越大下落的时间越短，A错误；B．设轨道的底边长为L，斜面的倾角为 ，则倾斜轨道的长度根据牛顿第二定律解得根据解得将θ角带入则t2设圆轨道半径为R，从轨道②下落时，根据解得从轨道③下落时，沿轨道下落时的加速度解得轨道的长根据解得从轨道①下落时，沿轨道下落时的加速度，根据牛顿第二定律解得轨道的长根据解得t1=t2=t3D错误。故选BC。
10．(多选)（2021·全国高三课时练习）如图所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，O′为圆心。每根杆上都套着一个小滑环（未画出），两个滑环从O点无初速释放，一个滑环从d点无初速释放，用t1、t2、t3分别表示滑环沿Oa、Ob、da到达a、b所用的时间，则下列关系正确的是（　　）
A．t1＝t2 B．t2>t3 C．t1【答案】BCD
【分析】
等时圆模型：物体沿着位于同一竖直圆上的所有过圆周最低点的光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间均相等，且为。
【详解】
设想还有一根光滑固定细杆ca，则ca、Oa、da三根细杆交于圆的最低点a，三根杆顶点均在圆周上，根据等时圆模型可知，由c、O、d无初速度释放的小滑环到达a点的时间相等，即。
而由ca和Ob滑动的小滑环相比较，滑行位移大小相同，初速度均为零，但，则由可知，。
故选BCD。
11．(多选)（2022·安徽芜湖市·芜湖一中）如图所示，让物体分别同时从竖直圆上的P1、P2处由静止开始下滑，沿光滑的弦轨道P1A、P2A滑到A处，P1A、P2A与竖直直径的夹角分别为θ1、θ2，则（　　）
A．物体沿P1A、P2A下滑加速度之比为sinθ1∶sinθ2
B．物体沿P1A、P2A下滑到A处的速度之比为cosθ1∶cosθ2
C．物体沿P1A、P2A下滑的时间之比为1∶1
D．若两物体质量相同，则两物体所受的合外力之比为sinθ1∶sinθ2
【答案】BC
【详解】A．对物体受力分析，根据牛顿第二定律得则两个物体加速度大小之比为A错误；BC．物体下滑的位移为，根据运动学公式有解得下滑时间与角度无关，所以下滑的时间之比为1∶1，根据可知，下滑到A处的速度之比为所以B、C正确；D．两个物体的加速度之比为，根据牛顿第二定律知，合外力之比为D错误。故选BC。
12．（2018·太原市·山西实验中学）如图所示，处于竖直平面内的某圆周的两条直径间的夹角为60°，其中直径AC水平，AD、BD间固定有光滑的细直杆，每根细直杆上各套有一个小球，小球可视为质点。两个小球分别从A、B两点由静止释放，小球从A点运动到D点所用的时间为t1，另一小球从B点运动到D点所用的时间为t2，则t1：t2等于（　　）
A．3：2 B．2：3 C． D．
【答案】C
【详解】
由几何关系得，AD与水平面的夹角为30°，设圆周的半径为R，则有根据牛顿第二定律，小球在AD上运动的加速度为根据位移公式得联立解得由几何关系得小球在BD上运动的加速度为根据联立解得则故选C。
13．（2021·全国高三专题练习）如图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于A点，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心，已知在同一时刻a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM、BM运动到M点；c球由C点自由下落到M点，则（　　）
A．a球最先到达M点 B．b球最先到达M点
C．c球最先到达M点 D．b球和c球都可能最先到达M点
【答案】C
【详解】
如图所示
令圆环半径为R，则c球由C点自由下落到M点用时满足所以对于a球令AM与水平面成θ角，则a球下滑到M时满足解得同理b球从B点下滑到M点用时也满足上式中r为过B、M且与水平面相切于M点的竖直圆的半径，r>R，综上所述可得故C正确，ABD错误。故选C。
14.（2021·山东济南市·高三二模）滑滑梯是小朋友们爱玩的游戏。有两部直滑梯AB和AC，A、B、C在竖直平面内的同一圆周上，且A为圆周的最高点，示意图如图所示，已知圆周半径为R。在圆周所在的竖直平面内有一位置P，距离A点为R且与A等高。各滑梯的摩擦均不计，已知重力加速度为g。
（1）如果小朋友由静止开始分别沿AB和AC滑下，试通过计算说明两次沿滑梯运动的时间关系；
（2）若设计一部上端在P点，下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由静止滑下时，在滑梯上运动的最短时间是多少
【答案】（1）；（2）
【详解】
（1）设AB与水平方向夹角为θ，小朋友沿AB下滑时的加速度a=gsinθAB间的距离为xAB=2Rsinθ，解得与角度无关，同理可知故（2）根据第一问的结论，画出以P点为最高点的半径为r的等时圆，如图
当两圆相切时，时间最短，易知解得r＝用第一问的结论有
15.（2022·安徽宿州市·高一期末）如图所示，在竖直平面内有半径为R和2R的两个圆，两圆的最高点相切，切点为A，B和C分别是小圆和大圆上的两个点，其中AB长为R，AC长为，现沿AB和AC建立两条光滑轨道，自A处由静止释放小球，已知小球沿AB轨道运动到B点所用时间为t1，沿AC轨道运动到C点所用时间为t2，则t1与t2之比为（　　）
A．1：2 B． C．1：1 D．
【答案】B
【详解】设AB与竖直方向的夹角为θ，则AB=R=2Rcosθ可得θ=60°由牛顿第二定律得物体沿AB下滑的加速度为a=gcosθ=5m/s2解得在AB上运动的时间为：同理设AC与竖直方向的夹角为α，则则α=45°由牛顿第二定律得物体沿AC下滑的加速度为a=gcosα=5m/s2可知物体在AC上运动的时间为则故选B。
16．(多选)（2021·全国）如图所示，圆1和圆2外切，它们的圆心在同一竖直线上，有四块光滑的板，它们的一端A搭在竖直墙面上，另一端搭在圆2上，其中B、C、D三块板都通过两圆的切点，B在圆1上，C在圆1内，D在圆1外，A板与D板最低点交于一点a（d），且两板与竖直墙面的夹角分别为30°、60°，从A、B、C、D四处同时由静止释放一个物块，它们都沿板运动，到达叫板底端的时间分别为tA、tB、tC、tD，下列判断正确的是（　　）
A．最短 B．最短 C． D．
【答案】BCD
【详解】设板与竖直方向的夹角为，沿板运动的加速度为：设上面圆1的半径为，下面圆2的半径为，则Bb轨道的长度为：根据位移时间公式得：则故从上面圆1上的任一点沿光滑直轨道达到下面圆2的任一点的时间相等；因B在圆1上，C在圆1内，D在圆1外，且板的低端堵在下面圆2上，故有；轨道Aa和Dd相交于最低点a（d），则对A、D有：，联立解得：则有：故故有：故A错误，BCD正确。故选BCD。
17．（2022·鹤壁市鹤山区高级中学高一月考）如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为α>β>θ，现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为（　　）
A．tAB＝tCD＝tEF B．tAB＞tCD＞tEF
C．tAB＜tCD＜tEF D．tAB＝tCD＜tEF
【答案】B
【详解】
方法一：
设上面圆的半径为，下面圆的半径为，则轨道的长度下滑的加速度根据位移时间公式得，，则因为，则故选B。
方法二：
物体在上面圆运动是一个典型的等时圆模型，故物体到到交点O点时，用时相等。在下半圆中，位移大小相等，，则倾斜角越大，用时越长，故整个过程中故选B。
【点睛】
根据几何关系求出轨道的长度，结合牛顿第二定律求出物块下滑的加速度，根据位移时间公式求出物块在滑动时经历的时间大小关系。
18．（2021·山东青岛市·高三二模）如图，水平面上固定光滑圆弧面ABD，水平宽度为L，高为h且满足。小球从顶端A处由静止释放，沿弧面滑到底端D经历的时间为t，若在圆弧面上放一光滑平板ACD，仍将小球从A点由静止释放，沿平板滑到D的时间为（　　）
A．t B． C． D．
【答案】B
【详解】等时圆和简谐运动模型
设该圆弧对应的半径为R，小球沿光滑圆弧面ABD运动到底端的时间相当于摆长为R的单摆周期的，则有
小球光滑斜面ACD滑到D的时间为t′，根据等时圆原理可得所以故选B。

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