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微专题 有外力的板块
【知识构建】
地面光滑，即板和地面的μ2=0，
受力分析 加速度 图像
当AB相对静止时
当AB相对滑动时
当AB相对静止时 a共=
当AB相对滑动时( fAB=μ1mAg) aA= aB=
【答案】
地面粗糙，即板块板μ1、板和地面的μ2
受力分析 加速度 图像
fAB=μ1mAg f地=μ2(mA+mB)g ①若fBA＞f地
①若fBA＞f地，B不动，A运动
fAB=μ1mAg f地=μ2(mA+mB)g ①若fBA＞f地 a共= aA= aB=
【答案】
3.地面粗糙，即板块板μ1、板和地面的μ2，外力F=kt，板块的加速度、板块间f1、板地间f2随时间的变化关系
外力F 加速度 板块间f1 板地间f2
F=kt 小 A、B不动a=0 f1静=f2静=kt
较大 B一起滑动 kt-μ2（mA+mB）g=（mA+mB）a共 a共 = 对B分析： f1`-μ2（mA+mB）g=（mA+mB）a共 f1静`= f2=μ2（mA+mB）g
很大 B相对滑动 对A：kt-μ1mAg=mAaA aA= 对B：μ1mAg-μ2（mA+mB）g=mBaB f1动=μ1mAg f1动=μ2（mA+mB）g
【典例分析】
1、地面光滑，即板和地面的μ2=0
【例1】（2021·浙江高一月考）如图所示，在光滑的水平面上有质量为M、长为L的长木板A，长木板的最左端放有可视为质点、质量为m的物块B，已知物块与长木板之间的动摩擦因数为，且。开始二者均处于静止状态，设最大静摩擦等于滑动摩擦力，求：
（1）若先固定长木板A，对B施加水平向右的恒力，则B到达A最右端时的速度为多大？
（2）若不固定长木板A，对B持续施加一水平向右的恒力F欲将其与A分离，此恒力至少为多大？
（3）若不固定长木板A且板长L足够长，对B持续施加一水平向右的变力，式中k是常数，试求出两物体的加速度与时间的关系。
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【详解】（1）若固定长木板A，则物块B的加速度 B到达A最右端时的速度
若AB恰能一起运动，则对木板A，则此时对AB的整体解得则欲将B与A分离，此恒力至少。
（3）
F是随着t增大而增大的。因此在t比较小的时候，F比较小，则两木块之间相对没有滑动，有共同的加速度，为当F增大到大于最大静摩擦力，两木块开始有相对滑动了，则加速度大小就改变了．对m来说F3-f=ma对M来说f=Ma2又f=μmg可以得到
【变式】(多选)（2021·武汉睿升学校高一月考）如图甲所示，一质量为M的长木板静置于光滑水平面上，其上放置一质量为m的小滑块。木板受到水平拉力F作用时，用传感器测出长木板的加速度a与水平拉力F的关系如图乙所示，重力加速度g=10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．长木板的质量M=2kg
B．小滑块与长木板之间的动摩擦因数为0.1
C．当水平拉力F=7N时，长木板的加速度大小为3m/s2
D．当水平拉力F增大时，小滑块的加速度大小不超过2m/s2
【答案】CD
【详解】AB．当时，滑块与木板相对静止，一起加速，满足当时两物体具有最大共同加速度a1=2m/s2，可得当时，滑块与木板发生相对滑动，对木板由牛顿第二定律可得整理得由图线斜率可得则当时木板的加速度a1=2m/s2，代入可得AB错误；C．当水平拉力F2=7N时，代入表达式可得长木板的加速度大小为3m/s2，C正确；D．当滑块与木板发生相对滑动后，滑块加速度不再增大，滑块的最大加速度为D正确。故选CD。
2、地面粗糙，即板块板μ1、板和地面的μ2
【例2】(多选)（2021·安徽蚌埠市·蚌埠二中高三其他模拟）如图所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平地面上。A、B间的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。现对A施加一水平拉力F，则（　　）
A．当时，A相对B开始滑动
B．当时，A的加速度为
C．当时，A的加速度为
D．无论F为何值，B的加速度不会超过
【答案】CD
【详解】
AC．A刚相对B开始滑动时，有，解得，所以当时，A相对B开始滑动。A错误，C正确；B．当时，二者没有相对滑动，整体有解得B错误；D．当A与B相对滑动时，B的加速度最大，最大为。D正确。故选CD。
【变式】(多选)（2021·江西赣州市·高三一模）如图甲所示，可视为质点的小物块处于长度的长木板的最右端，、B的质量分别为与，与地面间动摩擦因数，初始时A、B均静止。用一水平向右的恒力拉动，经过后B从的左端滑离。在此过程中，、B的图像如图乙所示。取，则（　　）
A．B的加速度大小为
B．B在时的速度无法求得
C．、B之间的动摩擦因数
D．水平恒力
【答案】CD
【详解】AB．由图乙可知，图线的斜率表示A的加速度，大小为a1=6m/s2，图线下方的面积表示A的位移，大小为x1=12m，由于相对位移等于板长，故B的位移为由位移公式可得可得时B的速度为，B的加速度大小为AB错误；C．对B由牛顿第二定律可得解得A、B间的动摩擦因素，C正确；D．对A由牛顿第二定律可得代入数据解得F=22N，D正确。故选CD。
4．(多选)（2021·寿县第一中学高一开学考试）如图所示，物块A和足够长的木板B叠放在水平地面上，木板B和物块A的质量均为m，物块与木板B间的动摩擦因数为，木板与水平地面间动摩擦因数为，已知最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g。当时，用水平力F作用在木板B上，A、B恰能一起从静止开始向右做匀加速直线运动。时，水平力变成，则时（　　）
A．物块A的速度为
B．木板B的位移为
C．整个过程A摩擦力与A位移的乘积为
D．木板B的加速度为
【答案】AD
【详解】AD．在t=0至t=t0时间内，A、B恰能一起从静止开始向右做匀加速直线运动，AB间的静摩擦力恰好达到最大值，以A为研究对象，根据牛顿第二定律得得以整体为研究对象，则得解得t=t0时整体的速度为当水平力变成2F时，A相对于B向左运动，A的加速度为B的加速度为t=2t0时，物块A的速度为故AD正确；B．木板B的位移为故B错误；C．整个过程A的位移为故整个过程A摩擦力与A位移的乘积为故C错误；故选AD。
3、地面粗糙，即板块板μ1、板和地面的μ2，外力F=kt，板块的加速度、板块间f1、板地间f2随时间的变化关系
【例3】如图甲所示,静止在水平面C上足够长的木板B左端放着小物块A。某时刻,A受到水平向右的拉力F作用,F随时间t的变化规律如图乙所示。A、B间最大静摩擦力大于B、C之间的最大静摩擦力,假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则在拉力逐渐增大的过程中,下列反映A、B运动过程中的加速度aA、aB及A与B间摩擦力f1、B与C间摩擦力f2随时间变化的图线中,正确的是
(　　)
【解题指导】
(1)F较小时,A、B保持静止状态。
(2)F较大时,A、B相对静止,一起加速。
(3)F更大时,A、B相对滑动。
【解析】选A、C、D。当拉力小于B、C之间的最大静摩擦力时,A、B保持静止没有加速度,所以B项错误;此时f1=f2=F,即两个摩擦力都随拉力增大而增大,在拉力增大到等于B、C之间的最大静摩擦力至A、B间达到最大静摩擦力这段时间,A、B一起向前加速,加速度a=,对B隔离分析,f1-f2max=mBa,A、B间的静摩擦力f1=mBa+f2max=,B、C之间为滑动摩擦力保持不变,所以D项正确;当拉力再增大时,使f1达到最大静摩擦力后,A、B之间也发生了相对滑动,A、B之间变成了滑动摩擦力,即不再变化,此时A的加速度a′=F-,综上所述可知A、C项正确。
知能综合提升
1、（2022·全国高三专题练习）如图所示，质量的小车放在水平光滑的平面上，在小车左端加一水平推力，当小车向右运动的速度达到时，在小车前端轻轻地放上一个大小不计，质量为的小物块，物块与小车间的动摩擦因数，小车足够长。求：
（1）小物块放后，小物块及小车的加速度各为多大？
（2）经多长时间两者达到相同的速度？
（3）从小物块放上小车开始，经过小物块通过的位移大小为多少？（取）。
【答案】（1）， ；（2）；（3）
【详解】（1）对物块得对车得（2）设经时间两者共速，则有解得 （3）在内，物块的位移 时两者共速，速度 对整体求得加速度 则有 总位移
2.（2019·全国高三专题练习）质量为M＝1kg的木板静止在粗糙水平面上，木板与地面间的动摩擦因数为μ1，在木板的左端放置一个质量为m＝1kg、大小可忽略的铁块．铁块与木板间的动摩擦因数为μ2，取g＝10m/s2.若在铁块右端施加一个从0开始增大的水平向右的力F，假设木板足够长，铁块受木板摩擦力Ff随拉力F的变化如图所示．则两个动摩擦因数的数值为(　　)
A．μ1＝0.1 μ2＝0.4 B．μ1＝0.1 μ2＝0.2
C．μ1＝0.2 μ2＝0.4 D．μ1＝0.4 μ2＝0.4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图象分析二者的运动情况，先以整体为研究对象根据牛顿第二定律求解加速度大小，分析铁块的摩擦力随F 的变化关系，求解μ1；再以铁块为研究对象，根据滑动摩擦力的计算公式求解μ2。
【详解】
根据图线可知，当0＜F＜2N过程中，整体保持静止；当2N＜F≤6N过程中，二者以共同的加速度加速前进；当F＞6N过程中，铁块受到的摩擦力不变，说明二者打滑，发生相对运动；所以在2N＜F≤6N过程中，系统的加速度，对铁块，根据牛顿第二定律可得：F-f=ma，解得f=F+μ1g；当F=6N时f=4N，解得μ1=0.1；当F＞6N过程中，铁块的摩擦力不变，则有μ2mg=4N，解得μ2=0.4，故A正确、BCD错误。故选A。
【点睛】
本题主要是考查了牛顿第二定律的知识；利用牛顿第二定律答题时的一般步骤是：确定研究对象、进行受力分析、进行正交分解、在坐标轴上利用牛顿第二定律建立方程进行解答；注意整体法和隔离法的应用。
2、（2022·广东高三月考）如图所示，一个长度为L=1m、高度为h=0.2m的长木板静止在水平地面上，其质量M=0.4kg，一质量m=0.1kg的小物块（可视为质点）放置在其上表面的最右端。物块与长木板、长木板与地面之间动摩擦因数均为μ=0.5。已知重力加速度g=10m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现给长木板施加一个水平向右持续作用的外力F。
（1）若F恒为3N，试求长木板的加速度大小；
（2）若F=kt，k>0，在t=0时刻到物块刚从长木板上滑落的时间内，试定性画出物块与长木板间摩擦力大小随时间变化的图线，无需标注时间以及力的大小；
（3）若F为5.8N，作用1.5s后撤去，试判断物块是否能从长木板上掉下，如能，请求出小物块落地时距长木板左端的距离；如不能，求出物块距长木板右端的距离。
【答案】（1）1m/s2；（2）见解析；（3）能；0.59m
【详解】
(1)假设长木板与物块相对静止时，对物块受力分析，最大加速度对长木板与物块，由牛顿第二定律得F0=5N长木板与地面大静摩擦力为因为2.5N＜F=3N＜F0。所以物块与长木板共同加速运动，对整体有解得加速度a=1m/s2(2)当时，均静止，由牛顿第二定律可知物块受到的摩擦力为零。当时，物块和木板共同加速运动，对整体有可知加速度均匀增大，对物块，有可知摩擦力均匀增大。当时，物块相对木板滑动，摩擦力保持不变。故物块与长木板间摩擦力大小随时间变化的图线为
(3)因为F=5.8N＞F0，所以物块与长板相对滑动，对长板有加速度a1=7m/s2物块的加速度至物块与长木板分离时有解得时间t=1s＜1.5s可得，滑块可以从长木板上掉下。此时长木板速度 物块速度物块做平抛运动其落地时间平抛水平距离s2=v2t2=1m物块与长板分离后长板的加速度a3得a3=9.5m/s2在t2时间内木板向右运动距离最终小物块落地时距长木板左端的距离所以能掉下，小物块落地时距长木板左端的距离为0.59m。
3．（2017·山东高三）如图甲所示，质量M=2Kg、长L=1m的木板静止在粗糙的水平地面上，在木板的左端放置一质量m=1Kg、大小可以忽略的铁块．假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力：(取g=10m／s2)
(1)若在铁块上施加一随时间于增大的水平力F，通过摩擦力传感器描绘出铁块受到木板的摩擦力Ff随时间t变化的图象如图乙所示．求木板与地面间的动摩擦因数和木板与铁块间的动摩擦因数；
(2)若在铁块上施加恒力F，使铁块从木板上滑落，求F的大小范围；
(3)若在铁块上施加向右的恒力F=8N，求铁块运动到木板右端所用的时间．
【答案】（1）μ1=0.1；μ2=0.5（2）F>6N（3）1s
【详解】
（1）由图乙可知，0-1s内，MN均没有滑动， F1=F=kt；
1s-3s，MN相对静止，但整体相对地面运动，故t=1s时，
恰好有
求得木板与地面间的动摩擦因数μ1=0.1；
3s后，MN相对滑动，m受到滑动摩擦力，有
求得木板与铁块间的动摩擦因数为μ2=0.5
（2）使铁块从木板上滑落，必须有铁块的加速度大于木板的加速度，设铁块的加速度为a1、木板的加速度为a2，
由牛顿定律，对铁块有：
对木板：
当a1>a2时，铁块才能从木板上滑落，带入数据解得：F>6N
（3）由牛顿第二定律，解得a1=3m/s2；
对木板：，解得a2=1m/s2
设铁块运动到木板右端所用的时间为t，则
解得：t=1s
4．（2019·浙江学军中学高一期末）如图甲所示,质量M=1kg的木板静止在粗糙的水平地面上，木板与地面间的动摩擦因数μ1=0.1，在木板的左端放置一个质量m=1kg、大小可忽略的铁块，铁块与木板间的动摩擦因数μ2=0.4，g取10m/s2，试求：
(1)若木板长L=1m，在铁块上加一个水平向右的恒力F=8N，经过多长时间铁块运动到木块的右端
(2)若在铁块右端施加一个从零开始连续增大的水平向右的力F，假设木板足够长，写出铁块受到木板的摩擦力的函数表达式，并在图乙中画出随拉力F大小的变化而变化的图象
【答案】（1） 1s （2）见解析
【详解】(1)假设相对滑动，则根据牛顿第二定律得，铁块的加速度大小：木块的加速度大小：由可见假设成立设经过时间铁块运动到木块的右端，则有：解得：(2)①当时，、相对静止且对地静止，有：②设时，、恰保持相对静止，此时系统的加速度为：以系统为研究对象，据牛顿第二定律有：解得：所以，当时，、相对静止，系统向右做匀加速运动，其加速度：以为研究对象，据牛顿第二定律有：解得：③当时，、发生相对运动有：所以随拉力大小的变化而变化的图象如图所示
5.（2018·重庆高三期中）如图，水平地面上有一个质量为的木板A，板长，在A的右端放置一个质量也为体积可忽略的物块B，A与地面之间动摩擦因素，A、B间动摩擦因素，开始A、B均静止，现对A施加一个水平向右的拉力F，重力加速度g取10m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）若且一直作用在A上，试问经过多久B从A上落下来；
（2）若A板足够长，当F大小合适时，会出现一个有趣的现象，无论F作用多久撤去，B在A上滑动一段时间后总是恰好回到A的最右端，试问这个合适的力F的大小。（F作用在A上时大小恒定）
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）当时AB相对滑动
对A：，解得
对B：，解得
当B从A上落下时：
解得：
（2）过程1：有F作用时
A的加速度，B的加速度，作用时间
过程2：撤去F到AB共速
A的加速度，B的加速度，
经过时间，共同速度
过程3：共速后AB又相对滑动
A的加速度，B的加速度
依题意：
解得：
又对A：
解得：

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