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微专题 自锁与摩擦角
【知识构建】
当m刚好不下滑时，mgsinθ=μmgcosθ，μ=tanθ或θ=arctanμ，
当 θ＜arctanμ时，即μ＞tanθ，无论m多大，物体永不下滑，叫自锁，θ=arctanμ叫摩擦角
原来静止的物体
①mgsinθ≤μmgcosθ，μ≥tanθ
②当施加m0后，（m0+m）gsinθ μ（m0+m）gcosθ，保持
③当施加F后，（F+m）gsinθ μ（F+m）gcosθ，保持
原来加速的物体
①μ≥tanθ，mgsinθ-μmgcosθ=ma，a= ＞0
②当施加m0后，（m0+m）gsinθ -μ（m0+m）gcosθ=（m0+m）a，a= ,保持
③当施加F后，（F+m）gsinθ -μ（F+m）gcosθ=ma，a= ，变 .
【答案】
1.②≤、不变 ③≤、不变 2.①gsinθ-μgcosθ②gsinθ-μgcosθ、不变 ③、变大
【知识拓展】
一、摩擦角
1.支承面的全约束力
当有摩擦时，支承面对平衡物体的约束力包含法向约束力FN和切向约束力FS（即静摩擦力）。
这两个分力的几何和：FRA=FN+FS 称为支承面的全约束力，它的作用线与接触面的公法线成一偏角， 如图所示。
2.摩擦角
当物块处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到由图中确定的最大值Fmax，偏角，也达到最大值
全约束力与法线间的夹角的最大值，称为摩擦角，由图可得
即∶摩擦角的正切等于静摩擦因数。摩擦角与摩擦因数一样，都是表示材料表面性质的量。
3.摩擦锥
当物块的滑动趋势方向改变时，全约束力作用线的方位也随之改变。在临界状态下，FRA的作用线将画出一个以接触点 A为顶点的圆锥面，这个圆锥面称为摩擦锥，如图所示
设物块与支承面间沿任何方向的摩擦因数都相同，即摩擦角都相等，则摩擦锥将是一个顶角为2
的圆锥。
二、自锁现象
物块平衡时，静摩擦力不一定达到最大值，可在零与最大值Fmax之间变化，所以全约束力与法线间的夹角也在零与摩擦角 之间变化，即 0≤≤
由于静摩擦力不可能超过最大值，因此全约束力的作用线也不可能超出摩擦角之外，即全约束力必在摩擦角之内。
1.自锁现象
如果作用于物块的全部主动力的合力FR的作用线在摩擦角之内，则无论这个力怎样大，物块必定保持净止，这种现象称为自锁现象。在自锁情况下，主动力的合力FR与法线间的夹角θ＜因此，FR与全约束力FRA必能满足二力平衡条件，如图所示
工程实际中常用自锁条件设计一些机构或夹具，如千斤顶、压榨机、圆锥销等，使它们保持在平衡状态下工作。
2.不发生自锁的条件
如果全部主动力的合力FR的作用线在摩擦角之外，则无论这个力怎样小，物块一定会滑动，这种现象只有在没有自锁的条件下才能发生。
在没有自锁的条件下，θ＞，支承面的全约束力FRA和主动力的合力FR不能满足二力平衡条件，如图所示
应用这个道理，可以设法避免发生自锁现象。
3.利用摩擦角测定静摩擦因数
利用摩擦角的概念，可用简单的试验方法，测定静摩擦因数，如图所示
把要测定的两种材料分别做出斜面或物块，把物块放在斜面上，并逐渐从零起增大斜面的倾角θ，直到物块刚开始下滑时为止。 这时的θ角就是要测定的摩擦角
因为当物块处于临界状态时P=-FRA θ=,由此求得摩擦系数，即fs=tan=tanθ
4.螺纹的自锁条件
斜面的自锁条件就是螺纹（图）的自锁条件。
螺纹可以看成为绕在一圆柱体上的斜面，如图所示，
就是斜面的倾角，如图 所示。螺母相当于斜面上的滑块A，加于螺母的轴向载荷P，相当物块A 的重力。要使螺纹自锁，必须使螺纹的升角θ小于或等于摩擦角
因此螺纹的自锁条件是θ≤，若螺纹千斤顶的螺杆与螺母之间的摩擦因数为fs=0.1，则fs=tan=0.1
得=5043`为保证螺旋千斤顶自锁，一般取螺纹升角θ=4°～4030′
已知∶ 拧紧时 放松时
结论∶螺旋副的自锁条件是螺旋升角≤当量摩擦角，即
高考真题练
1、（2009·宁夏卷）水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为．现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动．设F的方向与水平面夹角为，如图，在从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则（ ）
A．F先减小后增大 B．F一直增大
C．F的功率减小 D．F的功率不变
【答案】AC
【详解】
由于木箱的速度保持不变，因此木箱始终处于平衡状态，受力分析如图所示，则由平衡条件得：，两式联立解得，可见F有最小值，所以F先减小后增大，A正确；B错误；F的功率，可见在从0逐渐增大到90°的过程中tan逐渐增大，则功率P逐渐减小，C正确，D错误．
摩擦角解法∶ 用全约束力FR，等效替代木箱所受的支持力和摩擦力，则木箱等效为只受三个力作用，其中FR方向不变，与竖直方向夹角为（tan=μ）。根据平行四边形定则，这三个力构成矢量三角形如图，
随着θ 从0 逐渐增大到 90°的过程中，由图可知，F先减小后增大，且当θ=α 时F最小。因为木箱处于平衡状态，由水平方向合力为零得
F cos θ=FR cos
则 F的功率p= Fvcosθ=FRvcos
在θ从0 逐渐增大到90°的过程中，FR 逐渐减小，则功率p逐渐减小。
2、（2013·山东卷）如图所示，一质量m＝0.4kg的小物块（可视为质点），恰好能沿倾角θ＝37°斜面匀速下滑。若现在给物体施加与斜面成某一夹角的拉力F，让物块以v0＝2m/s的初速度由A点沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2s的时间物块运动到B点，A、B之间的距离L＝10m。已知sin37°=0.6，重力加速度g取10m/s2。求：
(1)物块与斜面之间的动摩擦因数μ；
(2)物块上滑时加速度a的大小及到达B点时速度vB的大小；
(3)拉力F与斜面夹角α多大时，拉力F最小及拉力F的最小值。
【答案】(1)0.75；(2)3m/s2，8m/s；(3)37°，4.8N
【详解】
(1)物块匀速下滑有(2)由运动学公式得联立式子代入数据得a=3m/s2，vB=8m/s(3)受力分析如图所示，由牛顿第二定律得又联立得当F最小时，则分母最大，由数学知识可知则对应F最小的夹角α=37°联立代入数据得F的最小值为Fmin=4.8N
摩擦角解法∶ 物体沿着斜面向上以加速度。做匀加速直线运动，等效为物体在受图中的 4 个作用力的同时，再受到一个大小为ma 方向沿斜面向下的力（即惯性力）的作用而合力为零，又用全约束反力FR。等效替代物块所受到的支持力和摩擦力，则物体受力如图。
ma与mg的合力恒定，用FS表示，则物体受力等效为图，
其中 Fs恒定，FR方向不变，由图解知当拉力F与FR。垂直时拉力F最小，则α=,（tan=μ），所以α=30°。
建立直角坐标系如图，由y方向合力为零得Fmax=macosα+mgcosα，
3、（2012·新课标卷）拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图）。设拖把头的质量为m，拖杆质量可忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数，重力加速度为。某同学用该拖把把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为。
(1)分析该拖把在水平地板上拖地时，拖把头受几个力作用？画出拖把头的受力分析图；
(2)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小；
(3)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为。已知存在一临界角若，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切。
【答案】(1)拖把头共受4个力，；(2)；(3)
【详解】
（1）拖把头共受4个力 ，重力、地面给的支持力、地面给的滑动摩擦力、某同学施加的力，如图所示
（2）竖直方向上水平方向上解得(3)若不管沿拖杆方向用多大的力不能使拖把从静止开始运动，应有可得现考察使上式成立的角的取值范围，注意到上式右边总是大于零，且当F无限大时极限为零，有使上式成立的角满足这里是题中所定义的临界角，即当时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把，临界角的正切为
摩擦角解法∶如图 所示，全约束力FR。与竖直方向的夹角在0～。之间，只要推力F与竖直方向的夹角θ≤，无论推力F多大，都可以找到一个大小和方向合适的全约束力FR，使得mg、F、FR构成一个封闭的矢量三角形，即它们的合力为零。所以临界角
考点能力突破
一、用全反力巧解匀速直线运动状态的问题
平面类
例：如图2所示，一物块置于水平地面上。当用于水平方向成60°角的力F1拉物块时，物块做匀变速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动。若F1和F2的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为（ ）
B. C. D.
解析：两次作用力下物体都向右做匀速直线运动，两次全反力大小不同但方向相同，受力情况如图3所示，现将两次全反力F全，重力mg及拉力F矢量平移可得到如图4所示的矢量图。
因∠2+∠3=60°，有∠1=30°，又因∠4=30°，则∠4+∠2+∠3=90°
由题意知F1，F2相等，则F1，F2关于垂线段对称。
则∠2=45°；所以全反角α=15°。
既有
又tan15°=
可解得
斜面类
例：如图5所示，将质量为m的滑块放在倾角为θ的固体斜面上。滑块与斜面之间的动摩擦因数为。若滑块与斜面之间的最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g，则
将滑块由静止释放，如果，滑块将下滑
给滑块沿斜面向下的初速度，如果，滑块将减速下滑
用平行于斜面向上的力拉滑块向上匀速滑动，如果，拉力大小应是2mgsin
用平行于斜面向下的力拉滑块向下匀速滑动，如果，拉力大小应为mgsin
解析：若拉力沿斜面向上，对物体受力分析如图6（a）所示，滑块沿斜面向上匀速滑动，且，则有摩擦角，平移全反力F全，重力mg及拉力F可构成首尾相接的闭合矢量三角形，如图6（b）所示，显然F=2mgsin，选项C正确。若拉力沿斜面向下，且，则有摩擦角，此时全反力F全与重力mg重合在同一竖直线上，如图6（c）
所示，由于滑块沿斜面向下匀速滑动，显然拉力应该为0。
用全反力巧解匀变速直线运动状态问题
平面类
例：如图7所示，将质量m=0.1kg的圆环套在固定的水平直杆上。环的直径略大于杆的截面直径。环与杆间动摩擦因数。对环施加一位于竖直平面内斜面上，与杆夹角的拉力F，使圆环以a=4.4m/s2的加速度沿杆运动，求F的大小
本题可按下面两种情形进行分析求解
情形1：当F较大时，杆对圆环的弹力向下，则有杆对圆环的全反力斜向左下，如图8（a）所示，将全反力F全，重力mg及拉力F矢量平移得到如图8（b）所示的矢量三角形。则有
又
联立以上各式并代入数据可得F=9N
情形2：当F较小时，杆对圆环弹力向上，则有杆对圆环的全反力斜向左上，如图9（a）所示，将全反力F全，重力mg及拉力F矢量平移得到如图9（b）所示的矢量三角形，则有
又联立以上各式并代入数据可得F=1N
斜面类
例：如图10所示，一质量m=0.4kg的小物块，以v0=2m/s的初速度，在于斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2s的时间物块又A点运动到B点，A与B之间的距离L=10m。已知斜面倾角，物块与斜面之间的动摩擦因数。重力加速度g取10m/s2.求
物块加速度的大小及到达B点时速度的大小
拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小，最小值为多少。
解析：1：略
2：对物体受力分析，如图11所示，
可计算出摩擦角大小α=arctan=arctan
代入数据得 α=30°
根据矢量运算法则，平移全反力F全至与重力mg首尾相接，如图12所示，依题意知，外力的合力F合为一定值，所以由图12可知，只有当拉力F垂直全反力F全时取最小。
因α=30°，则有∠ABC=60°，又因∠ACB=60°，可得∠ABC=60°
从而有F’=mg，代入数据得F=4N
则最小值Fmin=（F’+F合）sin∠BAC
代入数据得Fmin=
知能综合提升
1、（2021·全国高三专题练习）如图所示，木盒中固定一质量为m的砝码，木盒和砝码在斜面上一起以一定的初速度滑行一段距离后停止。现拿走砝码，而持续加一个垂直于斜面向下的恒力F（F=mgcos θ），其他条件不变，则木盒滑行的距离将（　　）
A．不变 B．变小
C．变大 D．变大、变小均有可能
【答案】B
【详解】
设木盒的质量为M且向上滑行，放有砝码时由牛顿第二定律有
换成垂直于斜面向下的恒力F时由牛顿第二定律有
可知a2>a1，再由x= 可得x2＜x1.同理可知，若木盒向下滑行，放有砝码时，有换成垂直于斜面向下的恒力F时，有可知a2′>a1′，再由x′=可得x2′＜x1′，故B正确，ACD错误。故选B。
2、（2010 湖南）如图所示，一物块置于水平地面上．当用与水平方向成60°的力F1拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成30°的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动．若F1和F2的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为（　　）
A．﹣1 B．2﹣ C．﹣ D．1﹣
解：对两种情况下的物体分别受力分析，如图 将F1正交分解为F3和F4，F2正交分解为F5和F6， 则有：F滑=F3 mg=F4+FN；F滑′=F5 mg+F6=FN′而F滑=μFNF滑′=μFN′则有F1cos60°=μ（mg﹣F1sin60°） ①F2cos30°=μ（mg+F2sin30°） ②又根据题意F1=F2 ③联立①②③解得：μ=2﹣故选B．
3、【17年新课标2】如图，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动。物块与桌面间的动摩擦因数为
A. B. C. D.
摩擦角 两次摩擦角不变：解得：
答案：C
4、如图所示，质量为m的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为F的水平向右恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，则下列说法正确的是（ ）
A．物体与斜面间的动摩擦因数为
B．物体与斜面间的动摩擦因数为
C．这一临界角的大小30°
D．这一临界角的大小60°
【答案】D
【解析】
AB、物体恰好匀速下滑时，由平衡条件有，，则，故选项A、B错误；
CD、设斜面倾角为，由平衡条件有，，静摩擦力，联立解得，要使不论水平恒力F多大，上式都成立，则有，所以，即，故选项D正确，C错误。
5、一般教室门上都安装一种暗锁，这种暗锁由外壳A、骨架B、弹簧C(劲度系数为k)、锁舌D(倾角θ＝30°)、锁槽E以及连杆、锁头等部件组成，如图甲所示。设锁舌D的侧面与外壳A和锁槽E之间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力Ffm由Ffm＝μFN(FN为正压力)求得。有一次放学后，当某同学准备关门时，无论用多大的力，也不能将门关上(这种现象称为自锁)，此刻暗锁所处的状态的俯视图如图乙所示，P为锁舌D与锁槽E之间的接触点，弹簧由于被压缩而缩短了x。
(1)试问，自锁状态时D的下表面所受摩擦力的方向；
(2)求此时(自锁时)锁舌D与锁槽E之间的正压力的大小；
(3)无论用多大的力拉门，暗锁仍然能够保持自锁状态，则μ至少要多大？
【】江西省九江第一中学2018-2019学年高一上学期期中考试物理试题
【答案】（1）方向向右（2）（3）
【解析】
（1）锁舌受力如图所示：由于锁舌由向左运动的趋势，所用锁舌所受到的最大静摩擦力，其方向向右。
（2）设锁舌受到锁槽的最大静摩擦力为，正压力为，下表面的正压力为，弹簧的弹力为，由平衡条件可得：
又有：
联立以上方程可得：
（3）无论用多大的力拉门，暗锁仍然能够保持自锁状态，说明压力无穷大，即：
解得：
参考文献
【1】章靖昊.应用摩擦角分析平衡问题的探讨——从2017年高考全国卷Ⅱ第16题说起【J】.湖南中学理，2017，32（11）∶71- 73.
【2】殷勇.巧用摩擦角解决力学问题【J】.物理教学，2012，34（12）∶37-39.
【3】薄宏超.挖掘高考热点 解密自锁现象【J】.湖南中学物理，2013，28（03）∶65-66+18.
【4】余建刚.利用摩擦角解有关竞赛题【J】.物理教师，2007（01）∶67-68.
【5】尹冠生.理论力学【M】.西北工业大学出版社

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