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第18课 导数与函数综合应用
一、目标导引
题目：证明下列不等式：
（1）； （2）； （3）．
证明：
思考：上述不等式是否还有其它等价变形？你能整理上述问题的解题思路吗，该方法还可以解决哪些问题？
二、知识梳理
导数与函数综合应用的主要类型
主要类型 主要策略
函数的单调性、极值、最值问题
恒成立问题、存在性问题
证明不等式
含参问题
函数的零点问题
三、问题研讨
问题1：导数的简单应用（切线、单调性、极值和最值）
例题1：已知函数在处取得极值．
（1）求的单调区间；（2）若恰有两个零点，求在处的切线方程．
解：
问题2：导数与不等式
例2．设为实数，函数.
（1）求的单调区间与极值；（2）求证：当且时，.
解：
问题3：导数与函数极值点（零点）问题
例3（2018年北京文科 19）设函数.若在处取得极小值，求的取值范围.
解：
问题4：导数与恒成立、存在性问题-分类讨论
例题4设函数．
（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围．
解：
四、总结提升
五、即时检测
试题：函数在 处取得极小值．
第18课 导数与函数综合应用
一、目标导引
题目：证明下列不等式：
（1）； （2）； （3）．
证明：（1）设，
则，，，
在递减，递增；当时，取最小值，
，当且仅当时等号成立；
（2）由（1）得，当时，，．
（也可类似（1）构造函数进行证明）
（3）设，则恒成立，
在区间上为增函数，，即
思考：上述不等式是否还有其它等价变形？你能整理上述问题的解题思路吗，该方法还可以解决哪些问题？
二、知识梳理
导数与函数综合应用的主要类型
主要类型 主要策略
函数的单调性、极值、最值问题 利用导数工具解决问题
恒成立问题、存在性问题 转化为函数的最值问题
证明不等式 构造函数，转化为函数的最值问题
含参问题 分类讨论或分离变量
函数的零点问题 转化为函数的单调性、利用零点存在定理证明或求解
三、问题研讨
问题1：导数的简单应用（切线、单调性、极值和最值）
例题1：已知函数在处取得极值．
（1）求的单调区间；
（2）若恰有两个零点，求在处的切线方程．
解：（1）依题意，由已知，
即，解得．
所以，
令，得或；令，得；
所以的单调递增区间是，，单调递减区间是．
（2）由（1）知在区间，上单调递增，上单调递减．
，的极大值，
故若恰有两个零点，则的极小值必为0，
即，解得．
，，故切点坐标为，
又切线斜率，
切线的方程为，化简得．
提炼 ：零点个数问题在全国卷中是常考题型，本质是通过研究极值，图形趋势，进一步判断零点情况．
问题2：导数与不等式
例2．设为实数，函数.
（1）求的单调区间与极值；（2）求证：当且时，.
例2．【解析】
分析：本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.
（1）解：由，令，得，则的变化情况如下表：
- 0 +
↘ 极小值 ↗
所以的增区间为：，减区间为：；.
（2）证：设，则，由（1）可知，，又因为，所以恒成立，所以在R上单调递增.
所以对任意，有，即.
问题3：导数与函数极值点（零点）问题
例3（2018年北京文科 19）设函数.若在处取得极小值，求的取值范围.
解：方法一：由（Ⅰ）得.
若，则当时，；当时，.
所以在处取得极小值.
若，则当时，，所以. 所以不是的极小值点.
综上可知，的取值范围是.
方法二：.
（1）当时，令得.
随的变化情况如下表：
+ 0
↗ 极大值 ↘
∴在处取得极大值，不合题意.
（2）当时，令得.
①当，即时，，
在上单调递增， 无极值，不合题意.
②当，即时，随的变化情况如下表：
+ +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
在处取得极大值，不合题意.
③当，即时，随的变化情况如下表：
+ +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
在处取得极小值，即满足题意.
（3）当时，令得.
随x的变化情况如下表：
+
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
在处取得极大值，不合题意.
综上所述，的取值范围为.
提炼 ：本题是已知函数极值求参数取值范围问题，通过分类讨论的解的大小关系，直接求出极值，难点在于求完函数导数后，需要将导数进行因式分解，以方便求出的解．
问题4：导数与恒成立、存在性问题-分类讨论
例题4设函数．
（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围．
核心问题：（2）小题中求的取值范围便是寻求不等式恒成立的充要条件，如何寻求该充要条件便是核心问题．
核心分析：此类问题的一般特征为函数在定义域某端点的取值恰为使得不等式成立的临界值，如（2）小题中可以发现，故先寻求使不等式成立的充分条件，即使在上单调递增成立的的取值范围（），再证明在其补集上，不等式不恒成立（一般情况为存在，使得在单调递减），从而完成了必要性的证明．
易错点：没有意识到函数在定义域的端点处取得使不等式成立的临界值，导致难以寻求不等式恒成立的充分条件．
解答：（1）时，，．
当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增．
（2），由（1）知，当且仅当时等号成立．
故，
从而当，即时，，而，
于是当时，．
由可得．
从而当时，，
故当时，，而，于是当时，．
综合得的取值范围为．
事实上，（2）小题的证明可不使用（1）小题的结论进行放缩，可转化为连续利用两次“核心分析”所提及的思路进行证明．如下
另证：（2）由题意知，且， ．
令，则．
①当时，则知，，
所以在单调递增，从而，
即在上单调递增，
所以当时．
②当时，令得，即在上单调递减，
所以当时，，
所以在上单调递减，
所以当时，，这与当时矛盾．
综上所述，的取值范围为．
【规律与总结】标题所指“恒成立条件充分化”是结合特殊点（一般为区间端点）处的函数值，寻求不等式成立的充分条件，再证明其必要性．此类问题在函数与导数中具有较广泛的应用．
四、总结提升
1．注意规范：利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．
2．熟悉一般函数模型：如熟悉指数函数，对数函数，幂函数，三角函数、常数函数等基本初等函数进行四则运算或复合后的函数模型的特征、图像特点等．
3．掌握一般方法：针对知识梳理中所涉及的各类型问题，加强训练，内化理解，达到迁移运用的目的．
4．关注易错点：如函数在某个区间内单调递增，则而不是（在有限个点处取到）．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好时的情况；区分极值点和导数为的点；再如，应关注函数，图像中存在渐近线等问题．
5．利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义．
五、即时检测
试题：函数在 处取得极小值．
　　答案：
　　提示：，令得或，显然当时；当时；当时，函数在处取得极小值．

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