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第17课 函数的实际应用
一、目标导引
题目：如图，有一边长为的正方形铁片，在铁片的四角各截去一个边长一样的小正方形后，沿图中虚线部分折起，做成一个无盖方盒．试问，小正方形边长为多大时，方盒体积最大？
问题：请思考，求解实际应用问题的一般步骤和规范是什么，请按规范解决上述问题．
二、知识梳理
求解实际应用题的一般步骤：
步骤 示例（以常规积累的问题为例）
1．审题
2．设末知数
3．找关系（相等、不等、函数）
4．列式（方程、不等式、函数）
5．求解，检验
6．规范作答
三、问题研讨
问题1：（模型识别）
例1：（1）一种产品的成本原为元，在今后的年内，计划使成本平均每年比上一年降低，成本是经过年数的函数，其关系式可写成 ．
（2）某轮船在航行中每小时所耗去的燃料费与该船航行速度的立方成正比，且比例系数为，其余费用与船的航行速度无关，约为每小时元，若该船以速度千米/时航行，航行每千米耗去的总费用为（元），则与的函数解析式为 ．
（3）周长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（半径为），若矩形底边长为，此框架围成的面积为，则与的函数解析式是 ．
（4）某建材商场搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过元，则超过元的部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算：
可以享受折扣优惠金额 折扣率
不超过元部分
超过元部分
某人在此商场购物总金额为元，可以获得的折扣金额为元，则关于的解析式为 ．
（5）某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（　　）
问题2：（最优化问题）
例题2．某公司租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站千米处建仓库，这两项费用和分别为万元和万元．仓库距离车站多远时，这两项费用之和最小．
步骤 过程剖析
1．审题
2．设末知数
3．找关系（相等、不等、函数）
4．列式（方程、不等式、函数）
5．求解，检验
6．规范作答
例题3：如图，两个工厂相距（单位：百米），为中点，曲线段上任意一点到的距离之和为（单位：百米），且．现计划在处建一公寓，需考虑工厂对它的噪音影响．工厂对公寓的“噪音度”与距离成反比，比例系数为；工厂对公寓的“噪音度”与距离成反比，比例系数为． “总噪音度”是两个工厂对公寓的“噪音度”之和． 经测算：当点在曲线段的中点时，“总噪音度”恰好为．
（1）设（单位：百米），求“总噪音度”关于的函数关系式，并求出该函数的定义域；
（2）当为何值时，“总噪音度”最小？
解：
四、总结提升
五、即时检测
试题：已知投资万元经销甲商品所获得的利润为；投资万元经销乙商品所获得的利润为．若投资万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于万元，则的最小值为 （　　）
A． B． C． D．
第17课 函数的实际应用
【思维导图】
一、目标导引
题目：如图，有一边长为的正方形铁片，在铁片的四角各截去一个边长一样的小正方形后，沿图中虚线部分折起，做成一个无盖方盒．试问，小正方形边长为多大时，方盒体积最大？
问题：请思考，求解实际应用问题的一般步骤和规范是什么，请按规范解决上述问题．
解：设小正方形边长为，方盒体积为，则无盖方盒底面是边长为的正方形，高为，从而有：
，其中满足：，所以
若，则；若，则
在上单调递增，在上单调递减
在处取得极大值，也是最大值
故小正方形边长为时，方盒容积的最大值为．
二、知识梳理
求解实际应用题的一般步骤：
步骤 示例（以常规积累的问题为例）
1．审题
2．设末知数
3．找关系（相等、不等、函数）
4．列式（方程、不等式、函数）
5．求解，检验
6．规范作答
预设：
步骤 示例（以常规积累的问题为例）
1．审题 题目为关于折叠无盖方盒体积问题
2．设末知数 小正方形边长为
3．找关系（相等、不等、函数） 几何体的体积：底面积，高；底面边长：；高：
4．列式（方程、不等式、函数） ，
5．求解，检验 导数问题：，
6．规范作答 小正方形边长为时，方盒容积最大为．
三、问题研讨
问题1：（模型识别）
例1：（1）一种产品的成本原为元，在今后的年内，计划使成本平均每年比上一年降低，成本是经过年数的函数，其关系式可写成 ．
（2）某轮船在航行中每小时所耗去的燃料费与该船航行速度的立方成正比，且比例系数为，其余费用与船的航行速度无关，约为每小时元，若该船以速度千米/时航行，航行每千米耗去的总费用为（元），则与的函数解析式为 ．
（3）周长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（半径为），若矩形底边长为，此框架围成的面积为，则与的函数解析式是 ．
（4）某建材商场搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过元，则超过元的部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算：
可以享受折扣优惠金额 折扣率
不超过元部分
超过元部分
某人在此商场购物总金额为元，可以获得的折扣金额为元，则关于的解析式为 ．
（5）某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（　　）
解：（1）
（2）轮船每小时耗费的燃料费为，而杂费为，即每小时耗费的总费用为，而轮船每小时走过的路程为，因而每千米耗去的总费用，．
（3）由题意知此柜架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，
矩形的长为，设其宽为，则由，
所以所围成面积，
根据实际意义知
，．
（4）当时，；
当时，；
当时，；
综上，．
提炼： 熟读题意，建立函数模型，是最难的一部分．给出不同的背景，强化文本阅读能力．
问题2：（最优化问题）
例题2．某公司租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站千米处建仓库，这两项费用和分别为万元和万元．仓库距离车站多远时，这两项费用之和最小．
步骤 过程剖析
1．审题 题目为两项费用之和最小问题
2．设末知数 仓库与车站的距离为
3．找关系（相等、不等、函数） 成反比：，， ，得成正比：，， ，得
4．列式（方程、不等式、函数） 两项费用之和，
5．求解，检验 基本不等式问题：，（也可以用导数：，）
6．规范作答 仓库应建在距离车站千米处，这两项费用之和最小．
提炼： 成正比和成反比转化为正比例和反比例函数，结合基本不等式求解（也可以用导数）．
例题3：如图，两个工厂相距（单位：百米），为中点，曲线段上任意一点到的距离之和为（单位：百米），且．现计划在处建一公寓，需考虑工厂对它的噪音影响．工厂对公寓的“噪音度”与距离成反比，比例系数为；工厂对公寓的“噪音度”与距离成反比，比例系数为． “总噪音度”是两个工厂对公寓的“噪音度”之和． 经测算：当点在曲线段的中点时，“总噪音度”恰好为．
（1）设（单位：百米），求“总噪音度”关于的函数关系式，并求出该函数的定义域；
（2）当为何值时，“总噪音度”最小？
解：（1）连接，，由已知得，，∴，
在直角三角形中，，解得，
∴，∴．
当点在曲线段的中点即时，，，
所求函数为．
（2）．
当且仅当，即时，
答：“总噪音度”y的最小值为．
提炼： 几何背景下的最值问题，需要认真审题，将所需条件利用设定的量表达出来，第二小问的最值问题也可以用函数导数解决．
四、总结提升
1．对于函数的实际应用问题，应特别关注实际问题的自变量的取值范围，准确界定函数的定义域．
2．建模过程应注意数学模型选择与求解的合理性与准确性．
3．注意实际应用问题完成的解题过程．
五、即时检测
试题：已知投资万元经销甲商品所获得的利润为；投资万元经销乙商品所获得的利润为．若投资万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于万元，则的最小值为 （　　）
A． B． C． D．
答案：
提示：设投资甲商品万元，则投资乙商品万元．
利润分别为，，
由题意知，对任意时恒成立．
（1）时，；
（2）时，分离参数得，对任意时恒成立时恒成立，而的最大值为，．故选．

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