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第21课 任意角、弧度制及任意角的三角函数
一、目标导引
1.已知半径为的圆的圆心与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，交圆于点，终边与圆交于点，请把下列表格填写完整．
角的度数 角的的弧度数 OB旋转的方向 的长 点B的坐标
逆时针
顺时针
2. 已知角终边经过点，则(　　)
A. B. C. D.
二、知识梳理
任意角的三角函数知识框架的横向沟通：角与三角函数．
提出问题：理解和比较这两个体系中的内容，思考它们之间有什么内在的联系．
引导学生根据数学对象研究的一般套路，思考表格横向项目与纵向项目的确定．
角 三角函数
概念
分类
表示
关系
应用
过程中核心问题推进：
问题1：从概念上看，这两者之间有什么区别和联系？
问题2：除了概念，我们还能从哪些方面对角与三角函数进行研究呢？请同学们继续思考并在表格中表述出来．
学生填写表格的知识清单，归纳形成三角函数知识内容纵向和横向的框架体系．
问题3：角与三角函数的数学本质？（以角为自变量，以坐标之比或数量的比值为因变量的函数）
三、问题研讨
问题1（角及其表示）
例题1A：与终边相同的角为（ ）
A. B. C. D.
例题1B：下列说法正确的是（ ）
A．钝角是第二象限角 B．第二象限角比第一象限角大
C．大于的角是钝角 D．是第二象限角
[方法归纳]
问题2（三角函数的概念）
例2A. 若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
例题2B：已知角终边经过点，则的值是 ．
[方法归纳]
关于任意角三角函数的，熟记定义是解答的关键．
1条规律——三角函数值的符号规律
三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2个技巧——三角函数的定义及单位圆的应用技巧
问题3：（三角函数线）
例题3：使成立的的一个变化区间是( )
A． B． C． D．
[方法归纳]
问题4：（扇形弧长、面积公式的应用）
例题4A：在单位圆中，的圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
例题4B：已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为.
（Ⅰ）若，，求扇形的弧长；
（Ⅱ）若扇形的周长为，面积为，求扇形的圆心角；
（Ⅲ）若扇形的周长为定值，当为多少弧度时，该扇形的面积最大.
[方法归纳]
四、总结提升
1.回顾刚才的学习过程，想一想，在这些内容的沟通中渗透了哪些数学思想方法？
2.提炼复习过程中的方法：回顾本节课的整理的过程，我们经历了怎样的学习过程？
（提醒学生注意：任意角的三角函数值仅与角的终边位置有关，与点的选取无关；在解简单的三角不等式时，利用三角函数线是一种较便捷的方法；易混淆的概念：象限角、锐角、小于的角；已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况）
五、即时检测
1．（三角函数的定义）已知角的终边经过点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2. （扇形弧长、面积公式的应用）已知扇形OAB的圆心角为，其面积是,则该扇形的周长是（　　）.
A. B. C. D.
第20课 任意角、弧度制及任意角的三角函数
一、目标导引
1.已知半径为的圆的圆心与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，交圆于点，终边与圆交于点，请把下列表格填写完整．
角的度数 角的的弧度数 OB旋转的方向 的长 点B的坐标
逆时针
顺时针
答案：
角的度数 角的的弧度数 OB旋转的方向 的长 点B的坐标
逆时针
顺时针
逆时针
顺时针 0 0
2 . 已知角终边经过点，则(　　)
A. B. C. D.
解答：D
解析：由点的坐标有：，
结合三角函数的定义可知：.
二、知识梳理
任意角的三角函数知识框架的横向沟通：角与三角函数．
提出问题：理解和比较这两个体系中的内容，思考它们之间有什么内在的联系．
引导学生根据数学对象研究的一般套路，思考表格横向项目与纵向项目的确定．
角 三角函数
概念
分类
表示
关系
应用
过程中核心问题推进：
问题1：从概念上看，这两者之间有什么区别和联系？
问题2：除了概念，我们还能从哪些方面对角与三角函数进行研究呢？请同学们继续思考并在表格中表述出来．
预设：
角 三角函数
概念 角可以看成平面内的射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数
分类 按旋转方向：正角、负角、零角按图形位置：象限角、坐标轴上的角 正弦：，余弦：正切：
表示 图形：符号：，， 解析式：，，图象：三角函数曲线单位圆中的三角函数线：
关系 终边相同的角：角度制：周角的叫做的角弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度角互相转化：， 同角三角函数的基本关系式：，诱导公式：纵变横不变，符号看象限
应用 扇形的弧长公式：扇形的面积公式： 三角函数的性质
学生填写表格的知识清单，归纳形成三角函数知识内容纵向和横向的框架体系．
问题3：角与三角函数的数学本质？（以角为自变量，以坐标之比或数量的比值为因变量的函数）
三、问题研讨
问题1（角及其表示）
例题1A：与终边相同的角为（ ）
A. B. C. D.
答案:选C.
解析：角的终边位于第二象限，角的终边位于第三象限，很明显角与角终边不相同，而，故的终边与的终边相同.
例题1B：下列说法正确的是（ ）
A．钝角是第二象限角 B．第二象限角比第一象限角大
C．大于的角是钝角 D．是第二象限角
答案：A
解析：钝角的范围为，钝角是第二象限角，故A正确；
举例：﹣200°是第二象限角，60°是第一象限角，-200°＜60°，故B错误；
由钝角的范围可知C错误；
-180°＜-165°＜-90°，-165°是第三象限角，D错误．故选：A．
[方法归纳]
利用角的范围的扩展的定义来判断角的大小和所在象限．
问题2（三角函数的概念）
例2A. 若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：因为角的终边经过点，故，
所以.
例题2B：已知角终边经过点，则的值是 ．
答案：
解析：角终边经过点，根据三角函数的定义可知．
[方法归纳]
关于任意角三角函数的，熟记定义是解答的关键．
1条规律——三角函数值的符号规律
三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2个技巧——三角函数的定义及单位圆的应用技巧
问题3：（三角函数线）
例题3：使成立的的一个变化区间是( )
A． B． C． D．
答案：A
解析：如图所示
当和时，，
故使成立的的一个变化区间是.
[方法归纳]
此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.
问题4A：（扇形弧长、面积公式的应用）
例题4：在单位圆中，的圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
解答：B
解析：．
例题4B：已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为.
（Ⅰ）若，，求扇形的弧长；
（Ⅱ）若扇形的周长为，面积为，求扇形的圆心角；
（Ⅲ）若扇形的周长为定值，当为多少弧度时，该扇形的面积最大.
解：（Ⅰ），
（Ⅱ）依题意得
∴ （舍去），
故扇形的圆心角是.
（Ⅲ）由已知得
当，即弧度时，.
[方法归纳]
求扇形面积最大值问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
四、总结提升
1.回顾刚才的学习过程，想一想，在这些内容的沟通中渗透了哪些数学思想方法？
2.提炼复习过程中的方法：回顾本节课的整理的过程，我们经历了怎样的学习过程？
（提醒学生注意：任意角的三角函数值仅与角的终边位置有关，与点的选取无关；在解简单的三角不等式时，利用三角函数线是一种较便捷的方法；易混淆的概念：象限角、锐角、小于的角；已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况）
五、即时检测
1．（三角函数的定义）已知角的终边经过点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
解答：D
解析：由三角函数定义知：
，，则，故选.
2. （扇形弧长、面积公式的应用）已知扇形OAB的圆心角为，其面积是,则该扇形的周长是（　　）.
A. B. C. D.
解答：由题意得，设扇形的半径为，若扇形的圆心角为，则根据扇形的面积公式可得扇形的周长是，故选D.

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