2023届高考数学一轮复习(全国版)——第22课同角关系式与诱导公式学案(有答案)

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2023届高考数学一轮复习(全国版)——第22课同角关系式与诱导公式学案(有答案)

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第22课 同角关系式与诱导公式
一、目标导引
1.若,则=( )
A. B. C. D.
二、知识梳理
知识框架的横向沟通:同角三角函数的基本关系式与诱导公式
提出问题:理解和比较这两个体系中的内容,思考它们之间有什么内在的联系.
同角三角函数的基本关系式 诱导公式
符号语言
文字语言
证明方法
应用
过程中核心问题推进:
问题1:从公式的表达形式上看,这两者之间有什么区别和联系?
问题2:除了符号语言,我们还能从哪些方面对数学公式(原理)进行研究呢?请同学们继续思考并在表格中表述出来.
三、问题研讨
问题1(求值)
例题1A:
A. B. C. D.
[方法归纳]
例题1B.已知角的终边上一点的坐标为,则的值为( )
A. B. C. D.
[方法归纳]
问题2(化简)
例题2A:已知,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
[方法归纳]
例题2B:已知.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
[方法归纳]
问题3:(二类公式在化简、求值中的综合应用)
例题3A:在中,若,,求角.
[方法归纳]
例题3B.已知
(1) 化简;
(2)求满足的的取值集合.
[方法归纳]
四、总结提升
1.利用平方关系式解决问题,注意开方运算结果的符号,需要根据角的范围进行确定.
2.同角三角函数基本关系式反映的是同一个角的不同三角函数之间的必然联系,它为三角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要方法.
3.会利用方程思想解决三个式子中知一求二问题.
五、即时检测
1.(同角关系),则等于 ( )
A. B. C. D.
2.(诱导公式)已知是方程的根,是第三象限角.
(1)求 的值;
(2)已知,若是第三象限角,且,求的值.
第22课 同角关系式与诱导公式
一、目标导引
1.若,则=( )
A. B. C. D.
解答:B
解析:由诱导公式可得: ,∴,
由,得 .故选B.
二、知识梳理
知识框架的横向沟通:同角三角函数的基本关系式与诱导公式
提出问题:理解和比较这两个体系中的内容,思考它们之间有什么内在的联系.
同角三角函数的基本关系式 诱导公式
符号语言
文字语言
证明方法
应用
过程中核心问题推进:
问题1:从公式的表达形式上看,这两者之间有什么区别和联系?
问题2:除了符号语言,我们还能从哪些方面对数学公式(原理)进行研究呢?请同学们继续思考并在表格中表述出来.
预设:
同角三角函数的基本关系式 诱导公式
符号语言 , 奇变偶不变,符号看象限
文字语言 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. ,,的三角函数值,等于的同名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.的正弦(余弦)函数值,分别等于的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.
证明方法 单位圆中的三角函数线,勾股定理 圆的对称性:轴,轴,原点,直线
应用 1.已知正弦(余弦),求余弦(正弦)、正切.2.已知正切求正弦、余弦及其它形式.3.化切为弦或化弦为切. 负化正,大化小,小化锐;负角→正角→0的角→锐角
三、问题研讨
问题1(求值)
例题1A:
A. B. C. D.
答案:A
解析:利用诱导公式和特殊角的三角函数化简求值即可,
[方法归纳]
本题考查利用诱导公式和特殊角的三角函数化简求值,完整体现了负化正,大化小,小化锐的过程.
例题1B.已知角的终边上一点的坐标为,则的值为( )
A. B. C. D.
答案:B
解析:角α的终边上一点的坐标为,
它到原点的距离为r=1,
由任意角的三角函数定义知:.
[方法归纳]
本题考查任意角三角函数的求解问题,由任意角的三角函数定义先求得该点到原点的距离,再由的定义求得.
问题2(化简)
例题2A:已知,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
解答:(Ⅰ)因为 ,,由同角关系得
所以 .
(Ⅱ)
==
=
[方法归纳]
化简要求:
①化简过程是恒等变形;
②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
思路方法:
①分析结构特点,选择恰当公式;
②利用公式化成单角三角函数;
③整理得最简形式.
例题2B:已知.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
答案:(Ⅰ);(Ⅱ)为第一象限角时,;为第三象限角时,.
[方法归纳]
利用 可以实现角 正弦、余弦的互化,利用,可以实现角的弦切互化.其中法一渗透化归思想,法二渗透方程思想.
问题3:(二类公式在化简、求值中的综合应用)
例题3A:在中,若,,求角.
解析:由已知得
两式平方相加得,即
当时,,又、是三角形内角


当时,,又、是三角形内角,显然不合题意
综上,
[方法归纳]
本题首先利用诱导公式对条件进行化简,再用平方关系求解实现角正弦、余弦三角函数值,结合三角形内角的条件,去掉不符条件的解.
例题3B.已知
(1)化简;(2)求满足的的取值集合.
解析:(1)由题意得:
(2)由(1)得:

解得
[方法归纳]
本题考查利用诱导公式和二倍角公式化简、根据三角函数值域求解角的范围的问题,考查学生对于公式和函数图象的掌握.
4、总结提升
1.利用平方关系式解决问题,注意开方运算结果的符号,需要根据角的范围进行确定.
2.同角三角函数基本关系式反映的是同一个角的不同三角函数之间的必然联系,它为三角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要方法.
3.会利用方程思想解决三个式子中知一求二问题.
五、即时检测
1.(同角关系),则等于 ( )
A. B. C. D.
答案:B
2.(诱导公式)已知是方程的根,是第三象限角.
(1)求 的值;
(2)已知,若是第三象限角,且,求的值.
解析:(1)∵方程5x2-7x-6=0的根为或2,
又是第三象限角,∴sin=,
∴cos=-=,

∴原式.
(2)
.

又α是第三象限角,.
故.

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