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第23课 三角函数的图象与性质
一、目标导引
已知函数，（1）求函数的周期、单调区间及对称中心和对称轴；（2）若时，求函数的值域；
提示：；从三角函数函数图象及相关性质，如定义域，值域，最值，奇偶性，周期性，单调性，对称性进行迁移等.
二、知识梳理
回顾函数及指数、对函数知识框架的纵向梳理与横向沟通.
提出问题：类比函数知识的复习梳理，应该从哪些方面构建三角函数的知识框架？
三角函数的图象和性质知识清单：
函数
图象
定义域
值域
最值 最大值
最小值
单调性 增区间
减区间
周期
奇偶性
对称性 对称轴
对称中心
注：以上.
三、问题研讨
问题1:三角函数的定义域
例题1：求函数的定义域.
提炼: 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
问题2: 三角函数的值域
例题2：函数，的最小值为___________．
提炼: 求解三角函数的值域(或最值)常见到以下几种类型的题目：①形如 的三角函数化为 的形式，再求值域(或最值)；②形如的三角函数，可先设 ,化为关于 的二次函数求值域(或最值)；③形如的三角函数，可先设 ,化为关于 的二次函数求值域(或最值);④含有三角函数的超越函数,采用求导的方法求得最值.
问题3（三角函数的图象和性质）
例题3：讨论函数的性质.
变式
周期性 的最小正周期为，则 .
奇偶性 1．若是偶函数，则的值可以为A． B． C． D．2．若是奇函数，求的取值集合.
单调性 1．求函数的单调区间.2．求函数的单调递减区间.
值域 1．求函数的值域.
对称性 1.若的一条对称轴方程是，求的取值集合.2.函数的一条对称轴是，则
其它
提炼:此题意在掌握化归思想及换元法.
4、总结提升
1．讨论形如或（其中）的函数性质，解题关键是换元（即把看成一个整体），化归为讨论简单的正弦型（余弦型）函数，通过解方程或不等式把z的取值转化为x的取值.
2．在理解掌握并运用正、余弦函数的图象与性质时，应坚持“直观性原则”与“简单化原则”.
所谓直观性原则，就是从正、余弦函数的图象入手，掌握三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值特征等性质；
所谓简单化原则，就是从正、余弦函数的周期性入手，掌握特定周期（区间）上的函数图象，进而推广到一般情形.
五、即时检测
1.（周期）函数的最小正周期是(　　)
A. B. C. D.
2．（单调性）函数的单调递增区间为(　　)
A. B.
C. D.
第23课 三角函数的图象与性质
一、目标导引
已知函数，（1）求函数的周期、单调区间及对称中心和对称轴；（2）若时，求函数的值域；
提示：；从三角函数函数图象及相关性质，如定义域，值域，最值，奇偶性，周期性，单调性，对称性进行迁移等.
二、知识梳理
回顾函数及指数、对函数知识框架的纵向梳理与横向沟通.
提出问题：类比函数知识的复习梳理，应该从哪些方面构建三角函数的知识框架？
三角函数的图象和性质知识清单：
函数
图象
定义域 R R
值域 R
最值 最大值 当时， 当时， 无
最小值 当时， 当时， 无
单调性 增区间
减区间 无
周期
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称轴 无
对称中心
注：以上.
三、问题研讨
问题1:三角函数的定义域
例题1：求函数的定义域.
解答：依题意得，即
　　 ∴　，
　　　原函数的定义域是
提炼: 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
问题2: 三角函数的值域
例题2：函数，的最小值为___________．
解：
∴，
设，则
∴，
∴时，
提炼: 求解三角函数的值域(或最值)常见到以下几种类型的题目：①形如 的三角函数化为 的形式，再求值域(或最值)；②形如的三角函数，可先设 ,化为关于 的二次函数求值域(或最值)；③形如的三角函数，可先设 ,化为关于 的二次函数求值域(或最值);④含有三角函数的超越函数,采用求导的方法求得最值.
问题3（三角函数的图象和性质）
例题3：讨论函数的性质.
变式
周期性 的最小正周期为，则 .
奇偶性 1．若是偶函数，则的值可以为A． B． C． D．2．若是奇函数，求的取值集合.
单调性 1．求函数的单调区间.2．求函数的单调递减区间.
值域 1．求函数的值域.
对称性 1.若的一条对称轴方程是，求的取值集合.2.函数的一条对称轴是，则
其它
答案：
变式答案
周期性 是周期函数，周期为
奇偶性 非奇非偶函数：（如） 1．B．2．
单调性 单调递增区间：；单调递减区间： 1．单调递增区间：；单调递减区间：2．，
值域 当时，函数的最大值为2；当时，函数的最小值为– 2 1．
对称性 对称中心为对称轴为 1、，所以2、
其它 1．解题方法：整体思想（换元）：令，得.2．拓展：五点作图法及图象变换.
提炼:此题意在掌握化归思想及换元法.
5、总结提升
1．讨论形如或（其中）的函数性质，解题关键是换元（即把看成一个整体），化归为讨论简单的正弦型（余弦型）函数，通过解方程或不等式把z的取值转化为x的取值.
2．在理解掌握并运用正、余弦函数的图象与性质时，应坚持“直观性原则”与“简单化原则”.
所谓直观性原则，就是从正、余弦函数的图象入手，掌握三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值特征等性质；
所谓简单化原则，就是从正、余弦函数的周期性入手，掌握特定周期（区间）上的函数图象，进而推广到一般情形.
五、即时检测
1.（周期）函数的最小正周期是(　　)
A. B. C. D.
答案：B
提示： ，故最小正周期．
2．（单调性）函数的单调递增区间为(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
提示：由已知得
令，得
所以的增区间为

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