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第25课 函数的性质
一、目标导引
1、将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是
A．是奇函数 B．的周期是
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点
二、知识梳理
2．函数(A＞0，ω＞0)的有关性质
定义域
值域
单调性
奇偶性
对称性
定义域
3.由图象求解析式
题型 步骤 示例
由图象求解析式 1．振幅A：最大值，最小值；2．周期：对称轴，对称中心，最高点，最低点，与轴交点；3．初相：由最高点、最低点或特殊点解方程．
三、问题研讨
问题1：（函数的性质）
例题1：已知函数的一系列对应值如下表：
　　
　
（Ⅰ）根据表格提供的数据求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间和对称中心；
（Ⅲ）若当时，方程 恰有两个不同的解，求实数的取值范围．
提炼：体现化归思想的应用.函数图象与性质的综合问题．此类问题常先通过三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质．
问题2（三角函数图象性质的综合应用）
例题2：已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度.
（Ⅰ）求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；
（Ⅱ）已知关于的方程在内有两个不同的解．求实数的取值范围；
问题3：三角函数模型的简单应用
例题3：某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：，．
（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；
（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．
4、总结提升
1．解决相关性质，主要通过变量替换，再回归的性质；
2．函数图象的变换（平移或伸缩变换）切记每一变换都是针对自变量而言；
五、即时检测
1.（图象与性质）若函数的部分图象如图，则ω等于(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
2.（2019年Ⅰ卷理）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数； ②在区间单调递增；
③在有4个零点； ④的最大值为2；
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
第25课 函数的性质
一、目标导引
1、 答案：D
解析：函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，为偶函数，排除A；的周期为，排除B；因为，所以不关于直线对称，排除C；故选D．
二、知识梳理
2．函数(A＞0，ω＞0)的有关性质
预设：
定义域
值域
单调性 通过整体代换可求出其单调区间
奇偶性 当时是奇函数；当时为偶函数，
对称性 通过整体代换可求出其对称中心、对称轴
3.由图象求解析式
题型 步骤 示例
由图象求解析式 1．振幅A：最大值，最小值；2．周期：对称轴，对称中心，最高点，最低点，与轴交点；3．初相：由最高点、最低点或特殊点解方程．
三、问题研讨
问题1：解：（Ⅰ）设的最小正周期为，得，由，得　
又，解得 ，
令，即，
解得，所以．
（Ⅱ）当，
即时，函数单调递增．
令，得，
　所以函数的对称中心为．
（Ⅲ）方程可化为．
因为，所以，
由正弦函数图象可知，实数的取值范围是．
问题2解：（Ⅰ）将的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，故，从而函数图象的对称轴方程为
（Ⅱ）
（其中）
依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故的取值范围是.
问题3：【解析】（Ⅰ）
.故实验室上午8时的温度为10 ℃．
（Ⅱ）因为，
又，所以，．
当时，；当时，．
于是在上取得最大值12，取得最小值8．
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
四、总结提升
1．解决相关性质，主要通过变量替换，再回归的性质；
2．函数图象的变换（平移或伸缩变换）切记每一变换都是针对自变量而言；
五、即时检测
1.答案：B　
2.答案：D　
解析：①定义域为,，所以是偶函数；
②时，单调递减；
③，因为是偶函数，，，解得或，
所以在存在3个零点；
④因为是偶函数，时，的最大值为2；

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