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第27课 三角恒等变换综合应用
一、目标导引
提出问题：【2019年高考全国Ⅰ卷文数】( )
A． 2 B． 2+ C．2 D．2+
二、知识梳理
回顾上一节课的三角恒等变换公式及其推导过程.
1．化简要求——化为一个角的一个三角函数
（1）能求出值的应求出值；
（2）使三角函数种数、项数尽量少；分母尽量不含三角函数；被开方尽量不含三角函数.
2．化简常用方法：
（1）活用公式（包括正用、逆用、变形用）；（2）切割化弦、异名（角）化同名（角）.
3．常用技巧：
（1）注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；
（2）注意利用代数上一些恒等变形法则和分数的基本性质；
（3）注意利用角与角之间的隐含关系；
（4）注意利用“1”的恒等变形.
三、综合应用
问题1:三角函数式求值
例1：（1）（ ）
A. B. C. D.
（2）求．
[提炼]　给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：
1.观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分.
2.观察名，尽可能使函数统一名称.
3.观察结构，利用公式，整体化简.
问题2：给值求值、给值求角
例题2：已知.
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.
[提炼]　1.三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：
（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.
（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系.
（3）已知三角函数时，先化简三角函数式，再利用整体代入求值.
2.解决给值求角问题应遵循的原则
(1)已知正切函数值，选正切函数．
(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且①若角的范围是，选正、余弦皆可；②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；③若角的范围是，选正弦较好．
问题3：辅助角公式
例题3：已知函数.求的值；
[提炼]
高考对辅助角公式的考查，在全国卷中尤其突出。本题以上解法中，通过辅助角公式来化简，
或在历年高考中使用频率是相当高的，应加以关注；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三最佳。
问题4：综合应用
例题4：已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论函数在上的单调性．
　
四、总结提升
1．三角函数求值、化简的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的.变换的基本方向有两个，一个是变换函数名称，可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；一个是变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式，对角进行代数形式的变换等.
2．三角恒等变换可以归纳为以下三步：
（1）找到差异：主要是指角、函数名称和运算间的差异；
（2）抓住联系：即利用有关公式，建立差异间的联系；
（3）促进转化：就是灵活选择公式，促使差异转化，可把角进行合理的拆分或“切化弦”，以达到简化统一的目的.
五、即时检测
1．（三角变换）若，且，则的值为( )
A． B． C． D．
2．（综合应用）在中，、、分别是内角、、的对边，且.求角的大小.
第27课 三角恒等变换综合应用
一、目标导引
提出问题：【答案】D
【解析】=
故选D.
问题1:三角函数式求值
例1：解：（1）由题意得，，
故选C.
（2）
，
所以，原式=
例题2：解答：（Ⅰ） ∵， ∴
　　　　　
　　　　　
　　　 （Ⅱ） ∵， ∴
　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　 ∴
例题3：【解析】
化简得， 所以.
例题4：解：（Ⅰ）
　　　　　　　　
　　　　　的最小正周期是，．
　　　　　（Ⅱ）令
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　 ∵
　　　　　　的单调增区间是，的单调减区间是．　
五、即时检测
1．答案：C
提示：两边展开得，两边平方得.
2．【解析】∵，
∴由正弦定理可得：
，
即，
∵，
∴，
∵，
∴．

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