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第13课 指数函数与对数函数
一、目标导引
1．曲线分别是指数函数，，
，的图象，则满足不等式（ ）
A． B．
C． D．
2．由图可推得满足不等式（ ）
A． B．
C． D．
3．从以上的图象中，你发现了什么？
二、知识梳理
回顾基本初等函数的知识结构，并尝试整理指数函数与对数函数的知识结构：
指数函数 对数函数
解析式
分类
图象
定义域
值域
奇偶性
单调性
对称性
关系
其它性质
三、问题研讨
问题1：指数函数的图象及应用
例题1. （1）函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．， B．，
C．， D．，
（2）若关于 的方程(且)有两个不等实根，则的取值范围是________．
问题2：指数函数的性质及应用
例题2.（1）已知，，，则下列关系式中正确的是(　　)
A． B． C． D．
（2）已知函数，则
A．是偶函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数 D．是奇函数，且在R上是增函数
例题3.（1）函数在上的值域是________．
（2）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围为____．
问题3：对数函数的图象及应用
例题3. （1）函数的图象大致是(　　)
(2)若不等式在内恒成立，则实数的取值范围为________．
问题4：对数函数的性质及应用
例题4. （1）函数的定义域为(　　)
A. B. C. D.
（2）若函数在区间内单调递增，则实数 的取值范围为(　　)
A. 　　　 B. C. D.
四、总结提升
1．判断指数函数图象底数大小的问题，可以先通过令得到底数的值再进行比较．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线交点的横坐标进行判定．
2． 指数函数（且）的性质和的取值有关，一定要分清与.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数的定义域应为．对数函数的单调性和的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按和进行分类讨论．
3． 指数函数（且）与对数函数（且）互为反函数，应从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．
五、即时检测
1.函数()的图象的大致形状是(　　)
2．若(且)，则实数的取值范围是________.
第13课 指数函数与对数函数
一、目标导引
1．曲线分别是指数函数，，
，的图象，则满足不等式（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
2．由图可推得满足不等式（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
3．从以上的图象中，你发现了什么？
（1）指数函数、对数函数的性质以及它们之间的关系；
（2）底数大小：指数函数：以为特征线；对数函数：以为特征线.
二、知识梳理
回顾基本初等函数的知识结构，并尝试整理指数函数与对数函数的知识结构：
指数函数 对数函数
解析式
分类
图象
定义域
值域
奇偶性
单调性
对称性
关系
其它性质
预设：
指数函数 对数函数
解析式 （且 ） （且 ）
分类
图象
定义域
值域
奇偶性 非奇非偶函数
单调性 减函数 增函数 减函数 增函数
对称性 与的图象关于 轴对称 与的图象关于轴对称
关系 与互为反函数，它们的图象关于直线对称
其它性质 过定点 过定点
时;时 时;时 时;时 时;时
三、问题研讨
问题1：指数函数的图象及应用
例题1. （1）函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．， B．，
C．， D．，
（2）若关于 的方程(且)有两个不等实根，则的取值范围是________．
答案：（1）D （2）
提示：（2）方程(且)有两个不等实根转化为函数与
有两个交点．
①当时，如图①，所以，即；
②当时，如图②，不符合要求．
所以
提炼：(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．
(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．　
问题2：指数函数的性质及应用
例题2.（1）已知，，，则下列关系式中正确的是(　　)
A． B． C． D．
（2）已知函数，则
A．是偶函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数 D．是奇函数，且在R上是增函数
答案：（1）B （2）B
提示：（1）把化简为，而函数在R上是减函数，，
所以，即
（2），所以函数是奇函数，并且是增
函数，是减函数，增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.
例题3.（1）函数在上的值域是________．
（2）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围为____．
答案：（1） （2）
提示：（1）因为，若令，则
当时，；当时，,所以函数的值域为.
（2）设，则,.函数在区间上单调递减，即在区间上单调递减，故有，解得 .所以 的取值范围为．
提炼：指数函数的性质主要是其单调性，利用单调性可以比较大小、解不等式以及研究指数型函数的性质
问题3：对数函数的图象及应用
例题3. （1）函数的图象大致是(　　)
(2)若不等式在内恒成立，则实数的取值范围为________．
答案：(1) A (2)
提示：(1)函数的定义域为，由知函数是偶函数，则其图象关于轴对称，排除C；又由，可排除B，D.故选A.
(2)设,，要使时，不等式恒成立，只需当时，的图象在的图象下方即可．
当时，显然不成立；当时，如图所示，
只需，即，所以实数a的取值范围是．
提炼：对于一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
问题4：对数函数的性质及应用
例题4. （1）函数的定义域为(　　)
A. B. C. D.
（2）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为(　　)
A. 　　　 B. C. D.
答案：（1）C （2）C
提示：（1）要使函数有意义，应满足，所以，解得，故选C；
（2）先保证对数有意义，即，解得.
又可得二次函数的对称轴为，
由复合函数单调性可得函数的单调递增区间为 ，
因为函数在区间内单调递增，
所以，解得，故选C.
四、总结提升
1．判断指数函数图象底数大小的问题，可以先通过令得到底数的值再进行比较．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线交点的横坐标进行判定．
2． 指数函数（且）的性质和的取值有关，一定要分清与.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数的定义域应为．对数函数的单调性和的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按和进行分类讨论．
3． 指数函数（且）与对数函数（且）互为反函数，应从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．
五、即时检测
1.（指数函数图像）函数()的图象的大致形状是(　　)
答案　D
提示：　函数的定义域为，所以，当时，函数是指数函数，其底数，所以函数递减；当时，函数图象与指数函数()的图象关于 轴对称，函数递增，所以应选D.
2．（对数函数性质）若(且)，则实数的取值范围是________.
答案：
提示：　当时，，解得；
当时，，解得.

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