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第15课 其它函数
一、目标导引
题目：
给出条件 探究问题 解答
打勾函数 （为常数） 讨论单调性
分段函数 求的值
抽象函数 （）， 求的值
复合函数 求单调递增区间
问题：请思考打勾函数、分段函数、抽象函数、复合函数的性质有哪些？并解决上述问题。
二、知识梳理
你还能说出打勾函数、分段函数、抽象函数以及复合函数的哪些性质？请举例说明。
打勾函数 分段函数 抽象函数 复合函数
解析式 （） 满足某些条件
示例
图象
定义域
值域
奇偶性 奇函数
单调性 分段讨论 同增异减
研究问题 研究函数的性质；最值问题 求函数值；方法：分类讨论 探究函数的性质； 求单调区间；换元：
三、问题研讨
问题1：打勾函数
例题1：求函数的单调区间。
问题2：抽象函数
例题2：已知奇函数在定义域内递减，则满足的实数的取值范围是 。
问题3：分段函数
例题3：设函数则满足的x的取值范围是_ ___。
问题4：复合函数
例题4：已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
四、总结提升
对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，一定要注意函数的定义域，换元时应注意新元和旧元之间的等价性．如对可化为或（）形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围。
五、即时检测
试题：函数的单调递增区间是 。
第15课 其它函数
一、目标导引
题目：
给出条件 探究问题 解答
打勾函数 （为常数） 讨论单调性
分段函数 求的值
抽象函数 （）， 求的值
复合函数 求单调递增区间
问题：请思考打勾函数、分段函数、抽象函数、复合函数的性质有哪些？并解决上述问题。
解：1.函数的定义域为，且，
当时，在定义域内恒成立，函数在区间，递增；
当时，或，
∴函数在区间，单调递增；
且，
∴函数在区间，单调递减。
2.，。
3.取，得；取，得；
于是；
取，得，。
4.定义域：，令的单调递增区间为，而为增函数，的单调递增区间为。
二、知识梳理
你还能说出打勾函数、分段函数、抽象函数以及复合函数的哪些性质？请举例说明。
预设：
打勾函数 分段函数 抽象函数 复合函数
解析式 （） 满足某些条件
示例
图象
定义域
值域
奇偶性 奇函数
单调性 分段讨论 同增异减
研究问题 研究函数的性质；最值问题 求函数值；方法：分类讨论 探究函数的性质； 求单调区间；换元：
三、问题研讨
问题1：打勾函数
例题1：求函数的单调区间。
解法一：
∴时，；时，；
∴在上单调递减，在上单调递增。
解法二：任取，且，则
当时，，即，
所以在上单调递减。
当时，，即，
所以在上单调递增。
提炼：形如的图象是打勾形状，在在
上单调递减，在上单调递增。
问题2：抽象函数
例题2：已知奇函数在定义域内递减，则满足的实数的取值范围是 。
答案：
提示：由得，∵为函数，∴，
又∵在（-1，1）内递减，∴。
提炼：解决抽象函数的不等式问题，其核心在于利用它的单调性，脱去“”。
问题3：分段函数
例题3：设函数则满足的x的取值范围是_ ___。
答案：
提示：由题意，
函数在区间，，三段区间内均单调递增，
且，，；
据此x的取值范围是：
提炼：解决分段函数的基本原则是分段进行，即自变量的取值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决问题。
问题4：复合函数
例题4：已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
答案：B
提示：，为减函数，为增函数，于是；
又由定义域得，。
提炼：复合函数的单调性可概括为“同增异减”。
四、总结提升
对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，一定要注意函数的定义域，换元时应注意新元和旧元之间的等价性．如对可化为或（）形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围。
五、即时检测
试题：函数的单调递增区间是 。
解：函数的定义域：，令，则函数的递增区间是，又在其定义域上是减函数，所以的单调递增区间为。

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