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第16课 函数的零点
一、目标导引
题目1： 函数的零点为________．
题目2：函数的零点能直接算出来吗？如果不能，能否判断是否有零点，有几个呢？
问题：函数的零点是数还是点？函数的零点、方程、函数 的图象与轴交点间有何区别与联系呢？
二、知识梳理
1．函数的零点：
函数零点 内容
概念
与方程的联系
与不等式的联系
图象特点
主要方法
2．二次函数的零点与二次方程的根的关系（设判别式）：
二次方程
二次函数的图象
二次函数的零点
三、问题研讨
问题1（求函数的零点）
例题1：（1）函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A. 0 B. 1 C.2 D.3
（2）已知则函数的零点的集合为 （ ）
A． B． C． D．
问题2（求函数零点所在区间）
例题2：（1）函数的零点所在的区间为 (　　)[]
A． B． C． D．
（2）若，则函数的两个零点分别位于区间 （ ）
A．和内 B．和内
C．和内 D．和内
（3）下列函数中能用二分法求零点的是（ ）.
问题3（求函数零点的个数）
例题3：函数在内 （ ）
A．没有零点 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
问题4（含参数的函数零点问题）
例4（A）：已知函数有个不同的解，求实数的取值范围．
例题4（B）已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；
(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．
四、总结提升
五、即时检测
试题：是定义在上的以为周期的偶函数，且，则方程在区间内解的个数的最小值是 ．
第16课 函数的零点
【思维导图】
一、目标导引
题目1： 函数的零点为________．
题目2：函数的零点能直接算出来吗？如果不能，能否判断是否有零点，有几个呢？
问题：函数的零点是数还是点？函数的零点、方程的解、函数的图象与轴交点间有何区别与联系呢？
思路分析：
题目1：直接解方程，得，答案为；
题目2：直接解方程，即，方程不会求解，此时，可以考虑转化为求函数和的图像交点个数，通过画图，发现两个函数图像只有个交点，可以下结论函数的零点只有个 ．
二、知识梳理
1．函数的零点：
函数零点 内容
概念
与方程的联系
与不等式的联系
图象特点
主要方法
预设：
函数零点 内容
概念 对于函数，把使的实数叫做函数的零点
与方程的联系 方程有实数根函数有零点
与不等式的联系 不等式的边界即为连续函数的零点
图象特点 函数的图象与轴有交点函数有零点
主要方法 （1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；（2）利用函数零点的存在性定理进行判断；零点存在定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也是方程的根．（3）通过画函数图象，观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断．
2．二次函数的零点与二次方程的根的关系（设判别式）：
二次方程
二次函数的图象
二次函数的零点
预设：
二次方程 有两个不等实数根， 有两个相等实数根 没有实数根
二次函数的图象 与轴有两个交点， 与轴有唯一交点 与轴没有交点
二次函数的零点 有两个零点， 有一个零点 没有零点
三、问题研讨
问题1（求函数的零点）
例题1：（1）函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A. 0 B. 1 C.2 D.3
（2）已知则函数的零点的集合为 （ ）
A． B． C． D．
提示：（2）当时，令，得或；
时，令，得(舍去) ．
综上，，，满足条件，选．
提炼：直接通过解方程求函数零点，分段函数也是高考高频考点．
问题2（求函数零点所在区间）
例题2：（1）函数的零点所在的区间为 (　　)[]
A． B． C． D．
（2）若，则函数的两个零点分别位于区间 （ ）
A．和内 B．和内
C．和内 D．和内
答案：A
提示：，
，，，
，，即函数的两个零点分别在和内，故应选．
（3）下列函数中能用二分法求零点的是（ ）.
提炼：通过零点存在定理来判断零点所在区间时，务必敢计算，并且要善于判断端点函数值和零的大小．一般涉及到零点和区间的问题，尽量往零点存在定理方面考虑．
问题3（求函数零点的个数）
例题3：函数在内 （ ）
A．没有零点 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
答案：B
提示：转化为基本初等函数与图象的交点个数问题，图象如下：
注意到在定义域内是增函数，且时，，两个函数的图像只有一个交点，故应选．
提炼：通过函数图像判断零点个数时，画草图时尽量精确，尤其是一些临界点要理清楚来，比如本题当中纵坐标为的两条曲线中的点的高低情况要弄清楚．
问题4（含参数的函数零点问题）
例4（A）：已知函数有个不同的解，求实数的取值范围．
提示：问题等价于函数有3个零点，也等价于函数和图像有3个交点
设，则，由得或，
于是、随的变化情况如下表：
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由表可知，函数在为增函数，在为减函数，在为增函数；
当时，取极大值，当时，取极小值；
∵方程有个不同实数解，即函数与函数的图象有个交点，
∴实数的取值范围为．
提炼：方程的解不好求时，可以转化为两个函数图像交点．构造函数时，尽量构造自己熟悉的函数，便于快速准确画出草图．
例题4（C）已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；
(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．
解：(1)由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1
与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1,2)内，如图(1)所示，得
得，即.
(2)抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示
列不等式组
得即.
提炼：本题通过研究函数性质，发现函数在给定范围内单调递增，函数最多一个零点．再通过函数零点存在定理，确定端点函数值与零的大小关系．其中右端点函数值与零的大小关系，不容易判断，需要构造新的函数．
四、总结提升
1．函数零点的判定常用的方法有：
（1）利用零点存在定理；（2）数形结合研究函数图像的交点；（3）转化为方程的解．
2．研究方程的解，实质就是研究的零点．
3．转化与化归思想：函数的零点-方程的解-函数图像的交点，三者间可根据需要相互转化，如：方程解的个数问题可转化为两个函数图像交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．
4．零点存在定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图像．
五、即时检测
试题：是定义在上的以为周期的偶函数，且，则方程在区间内解的个数的最小值是 ．
答案：
提示：对称轴对称中心与周期之间的关系判定．
A
B
C
D
。
x
y
o
A
B
C
D
。
x
y
o

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